Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs d'aires 3

Toutes les courbes représentatives considérées sont supposées tracées dans un repère orthonormé.

Exercice 22-1

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)={\frac {x^{2}}{4}}$ ;

$g(x)=-{\frac {x^{2}}{4}}+x+12$.

Solution

$g(x)-f(x)=-{\frac {x^{2}}{2}}+x+12=-{\frac {(x+4)(x-6)}{2}}$.

$\int _{-4}^{6}(g-f)=\left[-2\left({\frac {x}{2}}\right)^{3}+2\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+12x\right]_{-4}^{6}=-2(27+8)+2(9-4)+12(6+4)=60$.

 

Exercice 22-2

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=\cos x$ ;

$g(x)={\frac {2x}{\pi }}+1$.

Solution

$\int _{-\pi }^{0}|f-g|=2\int _{-\pi /2}^{0}(f-g)=2\left[\sin x-{\frac {x^{2}}{\pi }}-x\right]_{-\pi /2}^{0}=-2\left(-1-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=2-{\frac {\pi }{2}}$.

 

Exercice 22-3

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=x^{4}$ ;

$g(x)={\sqrt[{4}]{x}}$.

Solution

$\int _{0}^{1}(g-f)=\left[{\frac {4x^{5/4}-x^{5}}{5}}\right]_{0}^{1}={\frac {3}{5}}$.

 

Exercice 22-4

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=x^{4}-x^{2}+1$ ;

$g(x)=-{\frac {x^{4}}{2}}+2$.

Solution

$g(x)-f(x)=-{\frac {3x^{4}}{2}}+x^{2}+1$ s'annule pour $x=\pm a$, avec $a:={\sqrt {b}},\quad b:={\frac {1+{\sqrt {7}}}{3}}$.

$\int _{-a}^{a}(g-f)=a\left(-{\frac {3b^{2}}{5}}+{\frac {2b}{3}}+2\right)={\sqrt {\frac {1+{\sqrt {7}}}{3}}}\times {\frac {4(19+{\sqrt {7}})}{45}}$.

 

Exercice 22-5

Déterminer l'aire du sous-ensemble du plan délimité par les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ définies par :

$f(x)=x^{2}$ ;

$g(x)=x+2$.

Solution

$g(x)-f(x)=-(x-2)(x+1)$.

$\int _{-1}^{2}(g-f)=\left[-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{2}}{2}}+2x\right]_{-1}^{2}={\frac {9}{2}}$.

 

Exercice 22-6

On considère la fonction $f_{a,b}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ définie par :

$f_{a,b}=a\sin x+b\sin ^{3}x$

1°  Calculer $f_{a,b}^{'}(x)$ et $f_{a,b}^{''}(x)$.

2°  En déduire l'expression générale des primitives de la fonction $f_{a,b}$.

3°  Quelle est, parmi les fonctions données, celles dont la courbe représentative $C$ passe par le point $A\left({\frac {\pi }{2}},\,0\right)$ et a une tangente au point d'abscisse zéro parallèle à la première bissectrice ? Soit f cette fonction.

4°  Étudier alors la variation de $f$ et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O,\,{\vec {i}},\,{\vec {j}})$. L'unité de longueur est 2 cm.

5°  Calculer l’aire comprise entre la courbe $C$, l'axe des abscisses et les parallèles à $(Oy)$ passant par les points d'abscisses $0$ et ${\frac {\pi }{2}}$, respectivement, et donner le résultat en centimètres carrés.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 22-7

1°  Soit $f_{a}$ la fonction définie par :

$f_{a}(x)={\frac {(x+1)^{2}}{x^{2}+ax+1}}$

où $a$ est un nombre réel donné.

Pour quelles valeurs de $a$ cette fonction est-elle définie sur $\mathbb {R}$ tout entier ?

En supposant qu'il en est ainsi, étudier la variation de cette fonction.

2°  Construire la courbe $C_{0}$ représentant la fonction $f_{0}$.

Démontrer que la courbe $C_{0}$ a un centre de symétrie $A$.

Déterminer la tangente en $A$ à la courbe.

3°  Soit $M$ le point de $C_{0}$ représentant le maximum de la fonction $f_{0}$.

Calculer l'aire de la surface comprise entre l'arc ${\overset {\displaystyle \frown }{AM}}$ de $C_{0}$ et sa corde.

On notera que $f_{0}(x)$ peut s'écrire sous la forme :

$f_{0}(x)=1+{\frac {2x}{x^{2}+1}}$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 22-8

1°  Déterminer toutes les racines du polynôme $2x^{3}+x^{2}-3$, en remarquant qu'il s'annule pour $x=1$.

2°  Étudier la fonction $f$ définie par :

$f(x)={\frac {x^{3}+x^{2}+3}{x}}$

et en construire la courbe représentative $C$ dans un repère orthonormal.

3°  Préciser la position de la courbe $C$ par rapport à la parabole $P$ d'équation $y=x^{2}+x$.

4°  Calculer, en fonction de $a\quad (a>1)$, l'aire de la région limitée par la courbe $C$, la parabole $P$, la droite $x=1$ et la droite $x=a$.

5°  Déterminer $a$, à $0{,}01$ près, pour que cette aire soit égale à $1$.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}