Conceptualisation par des expériences simples/Statique des fluides

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Hypothèses de base

Nous assumerons tout au long de ce chapitre que les fluides étudiés sont homogènes, isotropes et incompressibles.

Équations fondamentales de l'hydrostatique

Expérience n°1:

Le Baromètre de Torricelli

Baromètre à mercure de Torricelli

Mise en contexte:

Le Baromètre à mercure fut inventé par Torricelli, Il permet entre autre de mesurer les différences de pression atmosphériques. D'un point de vue météorologique, ces différences de pression dans l'air permettent de prévoir le temps qu'il fait. Pour en savoir plus ce référer à l'article Wikipédia: Baromètre.

Le principe de fonctionnement du Baromètre de Torricelli est simple et peut être reproduit à la maison. Malheureusement le mercure étant un liquide 'toxique' et coûteux, sont utilisation n'est pas conseillée. Nous avons donc remplacer le mercure par de l'eau pour expliciter le phénomène étudier ici.

Expérience:

Alors comment ça marche ? voici une question que l'on se pose souvent lorsqu'on se retrouve devant un phénomène nouveau à expliquer.

Nous avons donc d'un côté une bassine remplie partiellement avec de l'eau, et de l'autre une bouteille d'eau dans laquelle on aura prit soin de laisser un peu d'air. Le principe est de renverser la bouteille d'eau dans la bassine de telle façon qu'il n'y ai pas trop d'eau qui s’échappe de la bouteille lors de la manipulation (On conseil de remplir la bouteille, de la boucher, puis de la déboucher que lorsque que le goulot est immerger dans l'eau de la bassine).

On observe alors que l'eau ne s'écoule pas dans la bouteille. Intuitivement on aurait pu pensé que la bouteille allait se vider.

Pourquoi ?

Nous allons nous pencher uniquement sur ce que se passe aux deux interfaces entre l'air et l'eau. d'un côté nous avons l'air de la pièce, qui est à la pression atmosphérique et de l'autre côté nous avons l'air dans la bouteille. Le faite que le niveau d'eau soit plus élevé dans la bouteille que dans la bassine, tient au faite que la pression est plus faible dans la bouteille que dans l'air que l'on respire. On a donc modifié la pression de l'air dans la bouteille rien qu'en l’emprisonnant entre l'eau et la bouteille.

Là ou l'idée de Torricelli est astucieuse, c'est qu'avec un fluide très lourd comme le mercure (densité 13 fois plus importante que l'eau), il est possible d'avoir une pression nul entre la bouteille et le mercure, pour une hauteur d'environ 76 cm (la hauteur serait d'environ 10m avec de l'eau). La différence entre la pression intérieure et extérieur est alors optimale. Les variations de la pression atmosphérique feront alors varier la hauteur de mercure dans la bouteille. Il suffit alors d'associer une graduation pour pouvoir quantifier la pression de l'air. Puis associer un intervalle de pression au temps qu'il fait dehors.

Pour bien visualiser le phénomène, on souffler sur la surface libre du mercure ce qui applique une pression supplémentaire qui fait varier la hauteur de mercure. On peut en quelque sorte prédire le temps.

Lois physiques:

Schéma baromètre de Torricelli

Voyons les lois qui se cachent derrière ce phénomène:

Pour simplifier l'étude nous ne prendrons pas en compte le poids de la bouteille et le faite qu'on la tienne. On considérera que le système est en équilibre comme le montre le schéma ci-contre.

La loi fondamentale de l'hydrostatique valable en tout point m du fluide nous donne dans ce cas:

Pm + ρfgzm = Cte 

ce qui implique:

PA + ρfgzA = PB + ρfgzB
Avec PA = Patm ; zA = 0 

Il nous reste donc deux inconnues, P_B et z_B, il nous suffit d'en avoir une pour avoir l'autre.

PB = Patm - ρfgzB
zB = (Patm - PB)/ρfg

'ATTENTION' ici nous résonnons avec les grandeurs scalaires, il n'en reste pas moins qu'une analyse vectorielle est préférable pour être sur de ne pas intervertir le sens d'application des forces de pression.

Pour le plaisir on peut déterminer les hauteurs d'eau et de mercure qu'il faudrait pour avoir une pression nul, et donc faire le vide d'air dans la bouteille.

zeau = 10,33 m
zmercure = 0,76 m

Avec:

Patm = 101325 Pa
g = 9,81 m.s-2
ρeau = 1000 Kg.m-3

ρ_mercure = 13545 Kg.m^-3

Expérience n°2:

La bouteille qui ne veut pas couler

==== Mise en contexte: ====

L'expérience qui suit permet, après l'expérience n°1, de mettre en évidence l'importance du sens d'application de la force de pesanteur, et donc de traiter ce genre de problème avec des grandeurs vectorielles.

Expérience:

Avec le même montage que celui utilisé dans l'expérience n°1, on plonge totalement la bouteille dans la bassine, de sorte que le niveau d'eau dans la bouteille soit au dessous du niveau d'eau dans la bassine.

Si on lâche alors la bouteille, elle remonte jusqu'à la surface. ( il est préférable de prendre une bouteille en plastique pour minimiser le poids de cette dernière. Nous faisons ici l'hypothèse que l'influence du poids est négligeable.)

Cela est due qu'à l'inverse de l'expérience n°1, la hauteur d'eau à l'intérieur de la bouteille est plus faible que la hauteur d'eau à l'extérieur. Cela implique donc, que là ou précédemment, la pression à l'intérieur de la bouteille était plus faible que la pression à l'extérieur, on se retrouve avec le phénomène inverse. la pression interne est maintenant plus élevée.

Lois physiques:

Une bouteille qui veut pas couler

comme précédemment dans l'expérience n°1 nous ne prendrons pas en compte le poids de la bouteille et le faite qu'on la tienne. On considérera que le système est en équilibre comme le montre le schéma ci-contre.Nous avons donc:

PA + ρfgzA = PB + ρfgzB
Avec 
PA = Patm ; zA = 0 

Mais ici z_B ≤ 0 ce qui donne:

PB = Patm + ρfgzB 

'ATTENTION' ici nous nous sommes basé sur l'équation fondamentale de l'hydrostatique pour comprendre le phénomène. IL serait tout aussi vrai de résonner en force. On retrouverait alors le principe de la poussé d'Archimède dont nous parlerons un peu plus loin.

Expérience n°3:

Le Cric hydraulique

==== Mise en contexte: ====

Le Cric hydraulique est un outil que l'on retrouve chez tous les mécaniciens,et chez de nombreux particuliers. Très pratique pour lever des objets lourds comme les voitures il est de nos jours couramment utilisé. Le principe qui ce cache derrière cette merveille de la technologie, qui par ailleurs est très simple, se retrouve également dans les vérins hydrauliques présent sur de nombreuses machines. Ce principe met en avant un des liens fondamentales entre la pression et la force.

Expérience:

L'expérience ici est très simple. Prenons pour bien comprendre une voiture, et un homme. admettons que la voiture ai une masse d'une tonne. il est évident que l'homme ne peut pas à lui seul soulever la voiture. Néanmoins avec le cric il y arrive aisément. Alors que ce cache t'il derrière cela ?

Pour bien voir le phénomène prenons deux seringues de diamètres différents. ces deux seringues sont reliées par un tuyau. Le tout est remplit avec de l'eau, de telle sorte que la plus grosse des seringues soit pleine d'eau et que l'autre soit vide ou quasiment vide (le tuyau lui, doit être plein).

Lorsque deux personnes engagent un duel pour savoir qui sera le plus fort, on remarque que quelque soit la taille, les muscles, l'age, etc. C'est toujours la personne qui à la plus petite seringue qui gagne. Naturellement, cette expérience est à réaliser dans les limites de la décence. Si l'on confronte un bodybuildeur à une enfant, il se peut que la différence, entre la force de l'un et la force de l'autre soit trop grande pour être contrebalancée par la différence de diamètre des seringues.

Expliquons:

Une des définitions la plus usuelle pour une pression est de la considérer comme une force que l'on applique sur une surface. Cela se traduit mathématiquement par une force divisée par une surface. Donc plus la force appliquée sur la seringue est grande plus la pression sera grande. A l'inverse, plus la surface (ou encore le diamètre dans notre cas) de la seringue est importante, plus la pression sera faible.

Dans notre système reliant les deux seringues, comme le diamètre de l'une est plus petit que le diamètre de l'autre, la surface sur laquelle on pousse (ou plus exactement la surface d'application de la force) est plus faible pour la première que pour la deuxième. Cela implique qu'il faut moins de force pour pousser sur la petite seringue que sur la grosse.

Lois physiques:

(schéma des seringues + de l'homme assit sur sont support à venir.)

Toujours d'après l'équation fondamentale de l'hydrostatique, nous pouvons écrire à l'équilibre de notre système:

PA - PB = 0 

Or:

PA = FA/SA ; PB = FB/SB

Avec

SA = πD2A/4 ;  SB = πD2B/4

Ce qui nous donne au final:

FA = FB x (SA/SB)

Ou encore:

FA = FB x (D2A/D2B)

On peut faire un petit calcul pour bien se rendre compte du potentiel de cette propriété des fluides.

Prenons un homme de 80Kg assit sur un support qui appuie sur un piston d'1cm de diamètre. Se piston est relier à un piston 1m de diamètre par un tuyau. Sur ce deuxième piston on place aussi un support.

Ici négligeons toutes autres forces que le poids de l'homme et le poids du chargement présent sur l'autre partie du système. Soit:

FHomme = MHommeg ; Fcharge = Mchargeg

Cela nous donne:

Mcharge = MHomme x (100cm2/1cm2)

Mcharge = 800 000Kg

Si l'on considère la masse du système négligeable, alors notre homme peut soulever rien qu'en restant assit 10000 fois sa masse soit 800tonnes. ce qui correspond à environs 1000 vaches, 800 voitures, ou encore une dizaine d'avions A320.

Pour approfondir:

• Leçon n°3: statique des fluides/équation fondamentale de l'hydrostatique

Poussée d’Archimède

Expérience n°4:

Poids apparent/poids réel (La pierre traîtresse...)

==== Mise en contexte: ====

Archimède fut un grand savant de l'antiquité grec. Il est considéré comme le père de la statique, avec ces études sur les corps plongés dans les liquides, mais aussi l'étude des palans, des poulies, des engrenages et autres outils de levage. Ici nous allons nous intéresser à la poussée d'Archimède, Pour bien comprendre à quoi cette poussée correspond, laissons place à l'expérimentation

Expérience:

Nous allons commencer par une application simple et parlante de la poussée d'Archimède. Nous avons d'une part une bassine d'eau suffisamment grande pour contenir une pierre relativement lourde. Il faut que le niveau d'eau soit assez important pour que la pierre soit totalement immergée. (Nous conseillons d'avoir au moins 20cm d'eau au dessus de la pierre, pour bien mettre en avant le phénomène. Même si celui-ci ne dépend pas de la hauteur d'eau.)

L'expérience consiste donc à sous peser la pierre dans l'eau puis en dehors de l'eau. On ce rend alors compte que la pierre parait moins lourde dans l'eau qu'à l'extérieur de l'eau. Ce n'est pas qu'une impression...

Lorsque l'on plonge un objet solide dans un liquide ce dernier exerce sur l'objet une force proportionnel au volume de liquide déplacé. lorsque l'objet est totalement immergé alors ce volume correspond au volume de l'objet, mais quand il s'agit d'un bateau par exemple, cela ne correspond qu'au volume du bateau qui est sous le niveau de l'eau.

Lorsqu'on sous pèse la pierre dans l'eau il y a la force de nos bras, le poid de la pierre et cette force de réaction qui agissent sur la pierre (On considère que nous somme en équilibre). Le poids apparent de la pierre,(celui que l'on ressent avec nos bras) est alors égal au poids de la pierre moins cette force de réaction qu'exerce le liquide sur l'objet étudier.

Lois physiques:

(schéma explicatif à venir.)

La poussée d'Archimède s'exprime ainsi:

${\overrightarrow {F}}_{Archi}=-m_{fluide}{\overrightarrow {g}}=-\rho _{fluide}V{\overrightarrow {g}}$

La direction de la poussé d'Archimède, elle, est toujours dirigée du fluide vers le solide, et est normal à la surface d'application.

Plaçons nous dans un premier temps dans la configuration ou la pierre est plongé dans l'eau:

Notre système étant à l'équilibre, nous pouvons négligé les forces de pression car elle s'annulent entre elles. Nous avons donc le poids de la pierre, la poussé d'Archimède et la force de nos bras qui empéche la pierre de couler. Cela donne d'après le principe fondamental de l'hydrostatique:

${\overrightarrow {P}}_{pierre}=\rho _{p}V{\overrightarrow {g}}$
${\overrightarrow {F}}_{Archi}=-\rho _{eau}V{\overrightarrow {g}}$
${\overrightarrow {F}}_{bras}+{\overrightarrow {F}}_{Archi}+{\overrightarrow {P}}_{pierre}={\overrightarrow {0}}$
Avec $\rho$ la masse volumique des différent corps ;$V$ le volume immergé du solide étudier ; et ${\overrightarrow {g}}$ la gravité.

Nous avons donc d'un point de vue scalaire:

$F_{bras}=\rho _{p}Vg-\rho _{eau}Vg=Vg(\rho _{p}-\rho _{eau})$

Maintenant si nous changeons de milieu liquide que nous faisons la même étude dans l'air nous obtenons:

${\overrightarrow {F}}_{bras}+{\overrightarrow {F}}_{Archi}+{\overrightarrow {P}}_{pierre}={\overrightarrow {0}}$
$F_{bras}=\rho _{p}Vg-\rho _{air}Vg=Vg(\rho _{p}-\rho _{air})$

Ici nous faisons donc la différence entre le poids réel de la pierre:

$P_{reel}=\rho _{p}Vg$

et son poids apparent:

$P_{apparent}=Vg(\rho _{p}-\rho _{liquide})$

Faisons une petite application numérique pour visualiser le phénomène.

posons: $V=10^{-3}m^{3};g=10m.s^{-2};\rho _{eau}=1000kg.m^{-3};\rho _{air}=1,3kg.m^{-3};etenfin\rho _{pierre}=2500kg.m^{-3}$

Cela nous donne dans l'air:

$P_{reel}=25N\approx P_{apparent}=24,997N$ 

Et dans l'eau:

$P_{reel}=25N\not \approx P_{apparent}=15N$

La force que nous devons développer pour soulever un objet dans l'eau est donc bien moins important que dans l'air.

Expérience n°5:

Un œuf ça flotte ?

==== Mise en contexte: ====

Nous avons vue dans l'expérience précédente que tout fluide dans lequel on plonge un solide, réagit à cette intrusion en exercent une force sur celui-ci. On appel cette force la poussée d'Archimède.

Cette force est présente que les objets flottent ou coulent. Le faite qu'il flottent ou qu'ils coulent dépend de leur masse volumique. c'est à dire, leur masse divisée par leur volume. En effet quelque soit la taille d'un caillou, il coule, et quelque soit la taille d'un bout de bois il flotte. Cela vient du faite qu'un caillou ou une pierre a une masse volumique plus grande que l'eau alors que le bois a une masse volumique plus faible.

D'autre part on sait que certain liquide flotte ou coule par rapport à l'eau. Par exemple on à tous pu constaté que lorsqu'on verse de l'huile dans une casserole de pattes celle-ci reste à la surface. Cela veut dire que l'huile a une masse volumique plus faible que l'eau. Il ne faut pas confondre masse et masse volumique. pour bien comprendre la différence il suffit dans un bocal de verser 2cm d'eau et 8cm d'huile. Il y a alors plus d'huile que d'eau et la masse de l'huile est plus importante que la masse d'eau, toutefois c'est l'eau qui reste en dessous. C'est que la masse volumique de l'eau reste plus grande que celle de l'huile.

La question à laquelle nous allons essayer de répondre ici est: la nature du fluide peut elle jouer sur la poussé d'Archimède ? Un objet peut il flotter dans un liquide et couler dans un autre ?

Expérience:

Cette expérience peut être réalisé dans n'importe quelle cuisine pour peu qu'il y ai des œufs. Il suffit d'avoir deux récipients, de l'eau, du sel et un œuf (dur de préférence, cela minimisera les dégas s'il est cassé lors de la manipulation). On remplit les deux récipients avec de l'eau de telle sorte que l’œuf puisse être totalement immergé. On verse une bonne quantité de sel dans un des deux récipients (le mieux c'es qu'il en reste toujours au fond). Il faut attendre 4 à 5min en remuent pour s'assurer que le sel se dissolve bien dans l'eau.

Nous avons donc un récipient avec de l'eau du robinet, et un avec de l'eau salée. Si l'on plonge l’œuf dans l'un puis l'autre, on constat qu'il flotte dans l'eau salée et qu'il coule dans l'eau du robinet. Etant donné que c'est le même œuf, cela ne peut venir que de l'ajout du sel dans l'eau. Ici nous avons le même phénomène que dans la mer morte ou l'on voit les genres flotter. C'est également grâce à ce phénomène qu'il est plus facile de faire la planche dans la méditerrané ou l'océan que dans une piscine.

Expliquons:

L'eau salée par définition est un mélange d'eau et de sel. C'est un liquide puisque le sel se dissout dans l'eau. Or avant que le sel ne se dissolve dans l'eau, il coule au fond du récipient. Cela veut dire que sa masse volumique est plus grande que celle de l'eau. Lorsqu'on mélange les deux pour obtenir de l'eau salée, on va avoir une masse volumique comprise entre celle de l'eau et celle du sel. Elle sera donc pus grande que la masse volumique de l'eau seule.

d'autre part, l’œuf coule dans l'eau cela veut dire que sa masse volumique est plus grande que celle de l'eau. Mais comme il flotte dans l'eau salée sa masse volumique sera plus faible cette fois. La masse volumique d'un œuf est donc comprise entre la masse volumique de l'eau et celle de l'eau salée.

Pour compléter cette expérience il est relativement facile de faire calculer la masse volumique des différent composant grâce à un bécher graduer, et une balance. La graduation du bécher permet de déterminer le volume, et la balance la masse. Pour ce qui est du volume de l’œuf il suffit de le plonger dans l'eau et de relever la variation du volume d'eau. cette variation sera le volume de l’œuf.

Lois physiques:

(schéma explicatif à venir.)

Pour rappel la poussé d'Archimède s'exprime ainsi:

${\overrightarrow {F}}_{Archi}=-m_{fluide}{\overrightarrow {g}}=-\rho _{fluide}V{\overrightarrow {g}}$

Et la direction de la poussé d'Archimède, elle, est toujours dirigée du fluide vers le solide, et est normal à la surface d'application.

Ici nous allons déterminer si l’œuf flotte ou si il coule. Pour cela nous utilisons la poussé d'Archimède.

Si ${\overrightarrow {F}}_{Archi}\geq {\overrightarrow {P}}_{oeuf}$ alors l’œuf coule

Si ${\overrightarrow {F}}_{Archi}\leq {\overrightarrow {P}}_{oeuf}$ alors l’œuf flotte

Cela correspond à vérifier les expressions suivantes en développent la poussée d'Archimède:

$\rho _{oeuf}Vg-\rho _{liquide}Vg\geq 0\Rightarrow \rho _{oeuf}-\rho _{liquide}\geq 0$

ou

$\rho _{oeuf}Vg-\rho _{liquide}Vg\leq 0\Rightarrow \rho _{oeuf}-\rho _{liquide}\leq 0$ 

si l'on fait l'application numérique cela nous donne:

Avec: $\rho _{eau}=1000kg.m^{-3};\rho _{eau\;salee}\approx 1200kg.m^{-3};et\rho _{oeuf}\approx 1100kg.m^{-3}$

Soit:

Dans l'eau: $\textstyle {\rho _{oeuf}-\rho _{eau}=(1100-1000)=100kg.m^{-3}\geq 0}$ l’œuf coule donc.

Dans l'eau salée: $\textstyle {\rho _{oeuf}-\rho _{eau\;salee}=(1100-1200)=-100kg.m^{-3}\leq 0}$ Cette fois l’œuf flotte.

Pour approfondir:

• Leçon n°3: statique des fluides/Poussée d’Archimède

Bibliographie