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**Dérivée d'une fonction composée**
Leçon : Fonction dérivée

Exercices n^o{{{numéro}}}
Chapitre du cours :	Dérivée d'une fonction composée
Exercices de niveau 12.

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Dérivée d'une fonction composée
Fonction dérivée/Exercices/Dérivée d'une fonction composée », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Exercice 1

Dans chacun des cas suivants, dériver ƒ en utilisant une formule de dérivation spécifique, que l'on précisera.

On ne se préoccupera pas de l'intervalle de dérivation.

Le résultat sera donné sous forme factorisée autant que possible.

$f_{1}:x\mapsto \left({\frac {3x-1}{5x+3}}\right)^{3}$
$f_{2}:x\mapsto \cos \left({\frac {2}{x}}\right)$
$f_{3}:x\mapsto \tan ^{4}(x)$
$f_{4}:x\mapsto x^{1/x}$

Solution

1. $f_{1}:x\mapsto \left({\frac {3x-1}{5x+3}}\right)^{3}$

On pose $u:x\mapsto {\frac {3x-1}{5x+3}}$ et $v:x\mapsto x^{3}$

On a $f_{1}=v\circ u$ .

Pour tout

x,~u'(x)={\frac {3(5x+3)-5(3x-1)}{(5x+3)^{2}}}={\frac {14}{(5x+3)^{2}}}

Pour tout

x,~v'(x)=3x^{2}

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

{\begin{aligned}f_{1}'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\&={\frac {14}{(5x+3)^{2}}}\times 3\left({\frac {3x-1}{5x+3}}\right)^{2}\\&={\frac {42(3x-1)^{2}}{(5x+3)^{4}}}\\\end{aligned}}

2. $f_{2}:x\mapsto \cos \left({\frac {2}{x}}\right)$

On pose $u:x\mapsto {\frac {2}{x}}$ et $v:x\mapsto \cos(x)$

On a $f_{2}=v\circ u$ .

Pour tout

x,~u'(x)=-{\frac {2}{x^{2}}}

Pour tout

x,~v'(x)=-\sin(x)

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

{\begin{aligned}f_{2}'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\&=-{\frac {2}{x^{2}}}\times \left(-\sin \left({\frac {2}{x}}\right)\right)\\&={\frac {2}{x^{2}}}\sin \left({\frac {2}{x}}\right)\end{aligned}}

3. $f_{3}:x\mapsto \tan ^{4}(x)$

On pose $u:x\mapsto \tan(x)$ et $v:x\mapsto x^{4}$

On a $f_{3}=v\circ u$ .

Pour tout

x,~u'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}

Pour tout

x,~v'(x)=4x^{3}

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

{\begin{aligned}f_{3}'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\&={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}\times 4\tan ^{3}(x)\\&={\frac {4\sin ^{3}(x)}{\cos ^{5}(x)}}\\\end{aligned}}

$f_{4}:x\mapsto x^{1/x}$

On commence par changer l'écriture : pour tout $x,~f_{4}(x)=\exp \left({\frac {\ln(x)}{x}}\right)$

On pose $u:x\mapsto {\frac {\ln(x)}{x}}$ et $v:x\mapsto e^{x}$

On a $f_{4}=v\circ u$ .

Pour tout

x,~u'(x)={\frac {1-\ln(x)}{x^{2}}}

Pour tout

x,~v'(x)=e^{x}

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

{\begin{aligned}f_{4}'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\&={\frac {1-\ln(x)}{x^{2}}}\exp \left({\frac {\ln(x)}{x}}\right)\\&={\frac {1-\ln(x)}{x^{2}}}x^{1/x}\\\end{aligned}}

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, dériver ƒ en utilisant une formule de dérivation spécifique, que l'on précisera.

On ne se préoccupera pas de l'intervalle de dérivation.

Le résultat sera donné sous forme factorisée autant que possible.

$f_{1}:x\mapsto \left({\frac {3x+1}{5x-3}}\right)^{3}$
$f_{2}:x\mapsto \sin \left({\frac {2}{x}}\right)$
$f_{3}:x\mapsto \tan ^{3}(x)$
$f_{4}:x\mapsto e^{-1/x}$

Solution

1. $f_{1}:x\mapsto \left({\frac {3x+1}{5x-3}}\right)^{3}$

On pose $u:x\mapsto {\frac {3x+1}{5x-3}}$ et $v:x\mapsto x^{3}$

On a $f_{1}=v\circ u$ .

Pour tout

x,~u'(x)={\frac {3(5x-3)-5(3x+1)}{(5x+3)^{2}}}=-{\frac {14}{(5x+3)^{2}}}

Pour tout

x,~v'(x)=3x^{2}

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

{\begin{aligned}f_{1}'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\&=-{\frac {14}{(5x+3)^{2}}}\times 3\left({\frac {3x+1}{5x-3}}\right)^{2}\\&=-{\frac {42(3x+1)^{2}}{(5x-3)^{4}}}\\\end{aligned}}

2. $f_{2}:x\mapsto \sin \left({\frac {2}{x}}\right)$

On pose $u:x\mapsto {\frac {2}{x}}$ et $v:x\mapsto \sin(x)$

On a $f_{2}=v\circ u$ .

Pour tout

x,~u'(x)=-{\frac {2}{x^{2}}}

Pour tout

x,~v'(x)=\cos(x)

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

{\begin{aligned}f_{2}'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\&=-{\frac {2}{x^{2}}}\times \cos \left({\frac {2}{x}}\right)\\&=-{\frac {2}{x^{2}}}\cos \left({\frac {2}{x}}\right)\end{aligned}}

3. $f_{3}:x\mapsto \tan ^{3}(x)$

On pose $u:x\mapsto \tan(x)$ et $v:x\mapsto x^{3}$

On a $f_{3}=v\circ u$ .

Pour tout

x,~u'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}

Pour tout

x,~v'(x)=3x^{2}

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

{\begin{aligned}f_{3}'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\&={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}\times 3\tan ^{2}(x)\\&={\frac {3\sin ^{2}(x)}{\cos ^{4}(x)}}\\\end{aligned}}

4; $f_{4}:x\mapsto e^{-1/x}$

On pose $u:x\mapsto -{\frac {1}{x}}$ et $v:x\mapsto e^{x}$

On a $f_{4}=v\circ u$ .

Pour tout

x,~u'(x)={\frac {1}{x^{2}}}

Pour tout

x,~v'(x)=e^{x}

On applique alors la formule de dérivation. Pour tout x :

{\begin{aligned}f_{4}'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\&={\frac {1}{x^{2}}}e^{-1/x}\end{aligned}}

Fonction dérivée

@@ Ligne 5 : / Ligne 5 : @@
   | numero    = 7
   | niveau    = 12
+  | chapitre  = [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée|Dérivée d'une fonction composée]]
-  | chapitre  =
 }}
 == Exercice 1 ==
-Dans chacun des cas suivant, dériver <math>f</math> en utilisant une formule de dérivation spécifique, que l'on précisera.
+Dans chacun des cas suivants, dériver ƒ en utilisant une formule de dérivation spécifique, que l'on précisera.
-On ne se préoccupera pas  de l'intervalle de dérivation.
+On ne se préoccupera pas de l'intervalle de dérivation.
 Le résultat sera donné sous forme factorisée autant que possible.
-'''1.''' <math>f(x)= (\frac{3x-1}{5x+3})^3</math>
+#<math>f_1:x\mapsto \left(\frac{3x-1}{5x+3}\right)^3</math>
+#<math>f_2:x\mapsto \cos\left(\frac{2}{x}\right)</math>
+#<math>f_3:x\mapsto \tan^4(x)</math>
+#<math>f_4:x\mapsto x^{1/x}</math>
+{{Solution|contenu=
-'''2.''' <math>f(x) = cos(\frac{2}{x})</math>
+;1. <math>f_1:x\mapsto \left(\frac{3x-1}{5x+3}\right)^3</math>
+On pose <math>u:x\mapsto\frac{3x-1}{5x+3}</math> et <math>v:x\mapsto x^3</math>
-'''3.''' <math>f(x)=tan^4(x)\,</math>
-'''4.''' <math>f(x)=e^{\frac{1}{x}}</math>
+On a <math>f_1=v\circ u</math>.
+:Pour tout <math>x,~u'(x)=\frac{3(5x+3)-5(3x-1)}{(5x+3)^2}=\frac{14}{(5x+3)^2}</math>
+:Pour tout <math>x,~v'(x)=3x^2</math>
+On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
-{{Solution}}
+:<math>\begin{align}
+f_1'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
+&=\frac{14}{(5x+3)^2}\times 3\left(\frac{3x-1}{5x+3}\right)^2\\
+&=\frac{42(3x-1)^2}{(5x+3)^4}\\
+\end{align}</math>
+----
+;2. <math>f_2:x\mapsto \cos\left(\frac{2}{x}\right)</math>
+On pose <math>u:x\mapsto\frac{2}{x}</math> et <math>v:x\mapsto \cos(x)</math>
+On a <math>f_2=v\circ u</math>.
+:Pour tout <math>x,~u'(x)=-\frac2{x^2}</math>
+:Pour tout <math>x,~v'(x)=-\sin(x)</math>
+On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
+:<math>\begin{align}
+f_2'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
+&=-\frac2{x^2}\times\left(-\sin\left(\frac{2}{x}\right)\right)\\
+&=\frac2{x^2}\sin\left(\frac{2}{x}\right)
+\end{align}</math>
+----
+;3. <math>f_3:x\mapsto \tan^4(x)</math>
+On pose <math>u:x\mapsto\tan(x)</math> et <math>v:x\mapsto x^4</math>
+On a <math>f_3=v\circ u</math>.
+:Pour tout <math>x,~u'(x)=\frac1{\cos^2(x)}</math>
+:Pour tout <math>x,~v'(x)=4x^3</math>
+On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
+:<math>\begin{align}
+f_3'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
+&=\frac1{\cos^2(x)}\times 4\tan^3(x)\\
+&=\frac{4\sin^3(x)}{\cos^5(x)}\\
+\end{align}</math>
+----
+#<math>f_4:x\mapsto x^{1/x}</math>
+On commence par changer l'écriture : pour tout <math>x,~f_4(x)=\exp\left(\frac{\ln(x)}x\right)</math>
+On pose <math>u:x\mapsto\frac{\ln(x)}x</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>
+On a <math>f_4=v\circ u</math>.
+:Pour tout <math>x,~u'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}</math>
+:Pour tout <math>x,~v'(x)=e^x</math>
+On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
+:<math>\begin{align}
+f_4'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
+&=\frac{1-\ln(x)}{x^2}\exp\left(\frac{\ln(x)}x\right)\\
+&=\frac{1-\ln(x)}{x^2}x^{1/x}\\
+\end{align}</math>
+}}
 == Exercice 2 ==
-Dans chacun des cas suivant, dériver <math>f</math> en utilisant une formule de dérivation spécifique, que l'on précisera.
+Dans chacun des cas suivants, dériver ƒ en utilisant une formule de dérivation spécifique, que l'on précisera.
 On ne se préoccupera pas  de l'intervalle de dérivation.
@@ Ligne 32 : / Ligne 95 : @@
 Le résultat sera donné sous forme factorisée autant que possible.
-'''1.''' <math>f(x)= (\frac{3x+1}{5x-3})^2</math>
+#<math>f_1:x\mapsto \left(\frac{3x+1}{5x-3}\right)^3</math>
+#<math>f_2:x\mapsto \sin\left(\frac{2}{x}\right)</math>
+#<math>f_3:x\mapsto \tan^3(x)</math>
+#<math>f_4:x\mapsto e^{-1/x}</math>
+{{Solution|contenu=
-'''2.''' <math>f(x) = sin(\frac{2}{x})</math>
+;1. <math>f_1:x\mapsto \left(\frac{3x+1}{5x-3}\right)^3</math>
-'''3.''' <math>f(x)=tan^3(x)\,</math>
+On pose <math>u:x\mapsto\frac{3x+1}{5x-3}</math> et <math>v:x\mapsto x^3</math>
-'''4.''' <math>f(x)=e^{-\frac{1}{x}}</math>
+On a <math>f_1=v\circ u</math>.
+:Pour tout <math>x,~u'(x)=\frac{3(5x-3)-5(3x+1)}{(5x+3)^2}=-\frac{14}{(5x+3)^2}</math>
+:Pour tout <math>x,~v'(x)=3x^2</math>
+On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
-{{Solution}}
+:<math>\begin{align}
+f_1'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
+&=-\frac{14}{(5x+3)^2}\times 3\left(\frac{3x+1}{5x-3}\right)^2\\
+&=-\frac{42(3x+1)^2}{(5x-3)^4}\\
+\end{align}</math>
+----
+;2. <math>f_2:x\mapsto \sin\left(\frac{2}{x}\right)</math>
+On pose <math>u:x\mapsto\frac{2}{x}</math> et <math>v:x\mapsto \sin(x)</math>
+On a <math>f_2=v\circ u</math>.
+:Pour tout <math>x,~u'(x)=-\frac2{x^2}</math>
+:Pour tout <math>x,~v'(x)=\cos(x)</math>
+On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
+:<math>\begin{align}
+f_2'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
+&=-\frac2{x^2}\times\cos\left(\frac{2}{x}\right)\\
+&=-\frac2{x^2}\cos\left(\frac{2}{x}\right)
+\end{align}</math>
+----
+;3. <math>f_3:x\mapsto \tan^3(x)</math>
+On pose <math>u:x\mapsto\tan(x)</math> et <math>v:x\mapsto x^3</math>
+On a <math>f_3=v\circ u</math>.
+:Pour tout <math>x,~u'(x)=\frac1{\cos^2(x)}</math>
+:Pour tout <math>x,~v'(x)=3x^2</math>
+On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
+:<math>\begin{align}
+f_3'(x)&=u'(x)\cdot (v'\circ u)(x)\\
+&=\frac1{\cos^2(x)}\times 3\tan^2(x)\\
+&=\frac{3\sin^2(x)}{\cos^4(x)}\\
+\end{align}</math>
+----
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+On pose <math>u:x\mapsto-\frac{1}{x}</math> et <math>v:x\mapsto e^x</math>
+On a <math>f_4=v\circ u</math>.
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+On applique alors la formule de dérivation. Pour tout ''x'' :
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+&=\frac1{x^2} e^{-1/x}
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+{{Bas de page
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+  | leçon     = [[Fonction dérivée]]
+  | chapitre  = [[Fonction dérivée/Dérivée d'une fonction composée|Dérivée d'une fonction composée]]
+}}
 [[Catégorie:Fonction dérivée]]