Similitude/Exercices/Problèmes de constructions

Exercice 7-1

Le plan complexe $𝒫$ est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$. On note $A$ le point d'affixe $2$.

Soit $\phi :𝒫\to 𝒫$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime }$ d'affixe :

$z^{\prime }=\frac{3+\mathrm{i}\sqrt{3}}{4}z+\frac{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$.

1°  Déterminez :

a)  l'affixe de l'image $\phi (A)$ du point $A$ ;

b)  l'affixe du point $P$ tel que $\phi (P)=O$.

2°  Déterminez la nature et les éléments caractéristiques de $\phi$.

3°  Lorsque $M\ne A$ et $M^{\prime }=\phi (M)$ :

a)  démontrez que le triangle $AM{M}^{\prime }$ est rectangle en $M^{\prime }$ et précisez les angles du triangle $AM{M}^{\prime }$ ;

b)  le point $M$ étant donné, déduisez-en une construction au compas du point $M^{\prime }$.

Solution

1°  a)  $\phi (A)=A$.

b)  L'affixe de $P$ est $-\frac{\frac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}}{\frac{3+\mathrm{i}\sqrt{3}}{4}}=\frac{2\mathrm{i}}{\sqrt{3}}$.

2°  $\phi$ est la similitude directe de centre $A$, de rapport $\left|\frac{3+\mathrm{i}\sqrt{3}}{4}\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}$ et d'angle $\arg \frac{3+\mathrm{i}\sqrt{3}}{4}=\arg \frac{\sqrt{3}+\mathrm{i}}{2}=\frac{\pi }{6}$.

3°  a)  $\frac{AM}{AM}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$ et $(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{A{M}^{\prime }})=\frac{\pi }{6}$, donc $AM{M}^{\prime }$ est rectangle en $M^{\prime }$ et $(\overrightarrow{M{M}^{\prime }},\overrightarrow{MA})=\frac{\pi }{3}$.

b)  Soit $AM{M}^{″}$ équilatéral direct. $M^{\prime }$ est à l'intersection de $[M{M}^{″}]$ et du cercle de diamètre $[AM]$.

 

Exercice 7-2

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct d'origine $O$.

$r$ est un réel strictement positif.

On considère les points $A(-1,0)$, $A^{\prime }(r,0)$ et $I(0,-r)$.

Soient $𝒞$ le cercle de centre $A$ et de rayon $1$ et ${𝒞}^{\prime }$ le cercle de centre $A^{\prime }$ et de rayon $r$.

1. Déterminez le centre et le rayon du cercle ${𝒞}_1$ transformé du cercle ${𝒞}^{\prime }$ par la similitude $s$ de centre $I$, de rapport $\frac{1}{\sqrt{2}}$ et d'angle $\frac{\pi }{4}$.
2. Dans cette question, $r<2\sqrt{2}$. Construisez deux triangles isocèles $IM{M}^{\prime }$ rectangles en $M$, tels que $M\in 𝒞$ et $M^{\prime }\in {𝒞}^{\prime }$.

Solution

1. ${𝒞}_1$ a pour centre $O$ et pour rayon $\frac{r}{\sqrt{2}}$.
2. Il suffit de prendre pour $M$ l'un des deux points de ${𝒞}_1\cap 𝒞$ et pour $M^{\prime }$, son antécédent par $s$.

 

Exercice 7-3

Soient $d$ et $d^{\prime }$ deux droites distinctes et $A$ un point de $d^{\prime }$ extérieur à $d$.

On se propose de construire $B\in d$ et $C\in d^{\prime }$ tels que $ABC$ soit isocèle et rectangle en $B$.

1. En utilisant une similitude convenable, prouvez que pour tout triangle direct $ABC$ isocèle et rectangle en $B$, le point $B$ est sur $d$ si et seulement si $C$ est sur une droite fixe $\mathrm{\Delta }$.
2. Montrer de même que pour tout triangle indirect $ABC$ isocèle et rectangle en $B$, le point $B$ est sur $d$ si et seulement si $C$ est sur une droite fixe ${\Delta }^{\prime }$.
3. En déduire un procédé de construction à la règle et au compas d'un triangle $ABC$ solution du problème.

Solution

1. Soit $s$ la similitude directe de centre $A$, d'angle $\frac{\pi }{4}$ et de rapport $\sqrt{2}$. Pour tout triangle direct $ABC$ isocèle et rectangle en $B$, on a $s(B)=C$ donc $B\in d\iff C\in \mathrm{\Delta }:=s(d)$.
2. Idem en utilisant la similitude indirecte $s^{\prime }$ de centre $A$, d'angle $-\frac{\pi }{4}$ et de rapport $\sqrt{2}$.
3. On construit facilement $\mathrm{\Delta }$ et ${\Delta }^{\prime }$. Puisqu'elles sont perpendiculaires, au moins l'une des deux coupe $d^{\prime }$, en un point $C$. On prend ensuite, selon le cas, $B=s^{-1}(C)$ ou $B=s{\text{'}}^{-1}(C)$ (qui se trouve sur $d$ et sur la médiatrice de $[AC]$).