Similitude/Définition des similitudes

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Définition

Soit ƒ une application du plan dans lui-même.

Similitude

On dit que ƒ est une similitude si ƒ conserve le rapport des distances ou, ce qui est équivalent, les angles non orientés.

Conséquences

• ƒ conserve les configurations géométriques usuelles.
• Il existe un réel $k>0$, appelé le rapport de la similitude ƒ, tel que : si A et B sont deux points du plan et A' et B' leurs images respectives par ƒ, alors $A'B'=k\times AB$.
• La composée d'une similitude de rapport k et d'une similitude de rapport k' est une similitude de rapport kk'.

Exemples

• Toute homothétie de rapport h est une similitude de rapport k = |h|.
• Les similitudes de rapport 1 sont les isométries.

Classification

Similitudes directes et indirectes

Soit ƒ une similitude, on dit que ƒ est une similitude directe (respectivement : indirecte) si ƒ conserve (respectivement : retourne) les angles orientés.

Exemple

Les homothéties sont des similitudes directes.

Remarques

• La composition des similitudes suit la « règle des signes » (+ pour les directes et – pour les indirectes) : par exemple, la composée de deux similitudes indirectes est une similitude directe.
• Pour toute similitude directe ƒ, il existe un angle orienté α, appelé l'angle de la similitude directe ƒ, tel que : si A et B sont deux points du plan et A' et B' leurs images respectives par ƒ, alors $({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {A'B'}})=\alpha$.

Décomposition

Notion de déplacement/antidéplacement

Définition

Les déplacements (resp. antidéplacements), sont les isométries directes (resp. indirectes).

Exemples

• Les translations et les rotations sont des déplacements.
• Les symétries axiales sont des antidéplacements.

Décomposition d'une similitude

Propriété

Soit ƒ une similitude de rapport $k\neq 1$. Alors, ƒ possède un unique point fixe $\Omega$, appelé son centre, et ƒ est la composée de l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ par une isométrie qui commute avec cette homothétie et qui est :

• la rotation de centre $\Omega$ et d'angle α, si ƒ est une similitude directe d'angle α ;
• une symétrie orthogonale dont l'axe passe par $\Omega$, si ƒ est une similitude indirecte.