Similitude/Étude des similitudes directes

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Rappel

Propriété

Une similitude directe qui n'est pas une translation est pleinement définie par son centre $\Omega$, son rapport $k$ et son angle $\alpha$.

Écriture complexe d'une similitude directe

Proposition

Une transformation $f$ est une similitude directe si et seulement s'il existe $(a,b)\in \mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C}$ tel que pour un point $M(z)$ et son image $\displaystyle M'(z')$, on ait toujours : $z'=az+b$.

Démonstration

• Montrons d’abord qu'une similitude directe $f$ s'écrit bien sous la forme recherchée. Si $f$ est une translation, le couple $(1,b)$ convient, où $b$ désigne l'affixe du vecteur de la translation. Dans les autres cas, soient $\Omega (\omega ),k,\alpha$ les éléments caractéristiques de $f$. On a donc :
  $z'-\omega =k\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \alpha }(z-\omega )$.
  En posant $a=k\operatorname {e} ^{\mathrm {i} \alpha }$ et $b=(1-a)\omega$, on obtient la relation recherchée.
• Montrons maintenant que réciproquement, toute transformation $f$ de la forme $z'=az+b$ (avec $a\neq 0$) est une similitude directe.
  • Si $a=1$, $f$ est une translation (dont le vecteur a pour affixe $b$).
  • Si $a\neq 1$, l'unique solution de $z=az+b$ est $\omega :={\frac {b}{1-a}}$ donc $f$ admet pour unique point fixe le point $\Omega$ d'affixe le nombre complexe $\omega$.
    La définition de $f$ se réécrit alors $z'=az+\omega (1-a)$, ou encore : $z'-\omega =a(z-\omega )$, ce qui prouve que $f$ est une similitude directe (de centre $\Omega$, de rapport $|a|$ et d'angle $\arg(a)$).

 

Remarque

Avoir bien compris cette démonstration permet de retrouver rapidement les formules qui relient (dans les deux sens) le couple $(a,b)$ aux caractéristiques géométriques de $f$ — vecteur, ou triplet (centre, rapport, angle) — plutôt que de les apprendre par cœur.