Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques

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Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques
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Exercices no23
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chapitre du cours : Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Circuits électriques dans l'ARQS : dipôles linéaires
Exo suiv. :Circuits électriques dans l'ARQS : résistance de sortie, résistance d'entrée
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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Circuits électriques dans l'ARQS : associations de conducteurs ohmiques
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Sommaire

Résistance équivalente d'un treillis métallique invariant par symétrie et antisymétrie axiales électriques[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un treillis métallique entre A et B à 24 brins identiques de résistance r

......On considère le treillis métallique ci-contre dont tous les côtés ont une même valeur de résistance .

......On se propose de déterminer, de 4 façons différentes utilisant les invariances électriques du réseau par symétrie ou antisymétrie axiales, la résistance entre et .

......Déterminer l'invariance de la répartition des courants traversant le réseau par symétrie axiale et

......en déduire deux façons différentes permettant d'évaluer la résistance du réseau.

......De même déterminer l'invariance de la répartition des courants traversant le réseau par antisymétrie axiale et

......en déduire deux autres façons différentes permettant d'évaluer la résistance du réseau.

Utilisation de l'invariance électrique du réseau par symétrie axiale[modifier | modifier le wikicode]

Mise en œuvre de la 1ère méthode d'utilisation de l'axe de symétrie par suppression de courts-circuits traversés par aucun courant[modifier | modifier le wikicode]

......À l'aide de schémas équivalents successifs déterminer la résistance du réseau entre et .

Mise en œuvre de la 2ème méthode d'utilisation de l'axe de symétrie en court-circuitant les points symétriques[modifier | modifier le wikicode]

......À l'aide de schémas équivalents successifs déterminer la résistance du réseau entre et .

Utilisation de l'invariance électrique du réseau par antisymétrie axiale[modifier | modifier le wikicode]

Mise en œuvre de la 1ère méthode d'utilisation de l'axe d'antisymétrie par suppression de courts-circuits traversés par aucun courant[modifier | modifier le wikicode]

......À l'aide de schémas équivalents successifs déterminer la résistance du réseau entre et .

Mise en œuvre de la 2ème méthode d'utilisation de l'axe d'antisymétrie en court-circuitant les points de cet axe[modifier | modifier le wikicode]

......À l'aide de schémas équivalents successifs déterminer la résistance du réseau entre et .

Résistances équivalentes, suivant les bornes considérées, d'un conducteur cubique invariant par symétrie ou antisymétrie planes électriques[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un réseau de fils métalliques en forme cubique, chaque côté étant de même résistance r

......Un réseau électrique de forme cubique dont chaque côté est un fil métallique de même résistance (voir figure ci-contre) peut être alimenté de trois manières différentes :

  • entre et ,
  • entre et ou
  • entre et .

......On se propose d'évaluer, dans chaque cas, la résistance équivalente du réseau après utilisation de ses invariances électriques.

Résistance du réseau cubique entre A et D[modifier | modifier le wikicode]

......Rechercher les plans de symétrie et d'antisymétrie de la répartition des courants, puis

......en déduire la résistance du réseau cubique entre et par la méthode la mieux adaptée.

Résistance du réseau cubique entre A et C[modifier | modifier le wikicode]

......Rechercher les plans de symétrie et d'antisymétrie de la répartition des courants, puis

......en déduire la résistance du réseau cubique entre et par la méthode la mieux adaptée.

Résistance du réseau cubique entre A et B[modifier | modifier le wikicode]

......On pourrait procéder de même mais ce serait plus laborieux ; il est en fait judicieux

......de constater l'invariance électrique du réseau par rotation autour de d'un angle à préciser où puis,

......de simplifier le réseau par courts-circuits adaptés,

......pour en déduire la résistance du réseau cubique entre et .

Lois de Kirchhoff, utilisation des symétries électriques[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un circuit fermé à 5 nœuds et 8 branches possédant une symétrie axiale

......Ci-contre un circuit fermé à 5 nœuds et 8 branches possédant une symétrie axiale.

Expression des intensités I et i[modifier | modifier le wikicode]

......Après avoir simplifié le circuit ci-contre par étude des invariances de la répartition des courants par symétrie axiale, trouver les expressions des intensités et en fonction de et .

Mêmes questions en ajoutant une diode idéale dans la branche MN[modifier | modifier le wikicode]

......On dispose entre et en plus du conducteur ohmique de résistance , d'une diode à jonction idéale [27].

......Déterminer dans les deux hypothèses possibles de branchement de cette diode.

Groupement de piles, optimisation[modifier | modifier le wikicode]

......On dispose de piles identiques de f.e.m. et de résistance interne . On réalise le branchement en parallèle entre et de dipôles comprenant chacun piles montées en série [32].

......Déterminer et pour que l'intensité du courant circulant dans un conducteur ohmique de résistance , branché entre et , soit maximale dans le cas particulier numérique suivant : , , et  ;

......préciser la valeur de l'intensité du courant délivrée par la batterie de piles avec les valeurs de et de précédemment trouvées quand celle-ci alimente le conducteur ohmique de résistance .

Réseau dipolaire linéaire actif branché sur un dipôle non linéaire[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un R.D.L.A. fermé sur un D.N.L.P. (plus particulièrement une varistance)

......On considère le circuit représenté ci-contre, comprenant, outre des dipôles linéaires, une « varistance (ou V.D.R.) » [37] ;

......on donne l'équation de la caractéristique statique de la « varistance (ou V.D.R.) » en convention récepteur [38] est exprimée en et en .

Détermination du générateur de Thévenin équivalent au R.D.L.A. NM aux bornes duquel est branchée la varistance[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer la f.e.m. [39] et la résistance du générateur de Thévenin équivalent au réseau dipolaire linéaire actif [40] par application de la méthode qui vous semble la plus appropriée puis

......écrire la loi d'Ohm généralisée de ce générateur de Thévenin équivalent (en convention générateur).

Détermination du point de fonctionnement de la varistance[modifier | modifier le wikicode]

......Représenter le circuit équivalent en remplaçant le R.D.L.A. par son générateur de Thévenin équivalent.

......Déterminer le signe de l'intensité du courant traversant la varistance à partir de celui de la f.e.m. et en déduire aussi le signe de la tension à ses bornes, puis

......écrire l'équation de la caractéristique statique de la « varistance (ou V.D.R.) » en convention récepteur ;

......à partir de la loi d'Ohm généralisée du générateur de Thévenin équivalent et de l'équation de la caractéristique statique de la « varistance (ou V.D.R.) », en déduire le point de fonctionnement de la « varistance (ou V.D.R.) ».

Détermination de l'intensité du courant traversant un conducteur ohmique dans un réseau à deux sources de tension[modifier | modifier le wikicode]

Recherche de l'intensité du courant traversant le conducteur ohmique de résistance r branché dans un réseau linéaire à deux sources de tension

......Les générateurs du circuit ci-contre sont de résistance interne nulle.

......Cherchant à déterminer l'intensité du courant circulant dans le conducteur ohmique de résistance , nous nous proposons de remplacer le R.D.L.A. [44] par son générateur de Thévenin équivalent, lequel délivre un courant à la branche extérieure constituée du conducteur ohmique de résistance .

Générateur de Thévenin équivalent au R.D.L.A. AB aux bornes duquel est branché le conducteur ohmique de résistance r[modifier | modifier le wikicode]

......Redessiner le circuit fermé ci-contre en termes de « R.D.L.A. AB » fermé sur la « charge de résistance r » [45], le R.D.L.A. délivrant un courant d'intensité à la charge extérieure, puis,

......déterminer, par la méthode qui vous semble la mieux adaptée, le générateur de Thévenin équivalent au R.D.L.A. délivrant un courant d'intensité .

Détermination de l'intensité i du courant traversant le conducteur ohmique de résistance r[modifier | modifier le wikicode]

......Tracer le schéma équivalent en remplaçant le R.D.L.A. par son générateur de Thévenin équivalent puis

......en déduire l'intensité du courant que ce générateur de Thévenin délivre au conducteur ohmique de résistance .

Détermination de l'intensité du courant traversant un conducteur ohmique dans un réseau à deux sources de tension et une source de courant[modifier | modifier le wikicode]

Recherche de l'intensité du courant traversant le conducteur ohmique de résistance R3 branché dans un réseau linéaire à deux sources de tension et une source de courant

......Les sources de tension et de courant du circuit ci-contre sont idéales.

......Cherchant à déterminer l'intensité du courant circulant dans le conducteur ohmique de résistance , nous nous proposons de remplacer le R.D.L.A. [50] par son générateur de Norton équivalent, lequel délivre un courant à la branche extérieure constituée du conducteur ohmique de résistance .

Générateur de Norton équivalent au R.D.L.A. AB aux bornes duquel est branché le conducteur ohmique de résistance R3[modifier | modifier le wikicode]

......Redessiner le circuit fermé représenté ci-contre en termes de « R.D.L.A. AB » fermé sur la « charge de résistance R3 » [51], le R.D.L.A. délivrant un courant d'intensité à la charge extérieure, puis,

......déterminer, par la méthode qui vous semble la mieux adaptée, le générateur de Norton équivalent au R.D.L.A. délivrant un courant d'intensité .

Détermination de l'intensité i du courant traversant le conducteur ohmique de résistance R3[modifier | modifier le wikicode]

......Tracer le schéma équivalent en remplaçant le R.D.L.A. par son générateur de Norton équivalent puis

......en déduire l'intensité du courant que ce générateur de Norton délivre au conducteur ohmique de résistance .

......A.N. : , , , , , et .

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. En effet partant de les courants se dirigeant vers et vers son symétrique ayant même intensité et traversant la même résistance arrivent en et en son symétrique au même potentiel ; on peut renouveler cette démonstration pour tous les points symétriques.
  2. Par exemple présence d'une association triangle entre , et ou entre , et en passant par ou encore entre , et ainsi que les associations triangle symétriques par rapport à  ;
    ...il y a également la présence d'associations étoile entre , et de centre ou entre , et de centre ou encore entre , et passant par de centre