Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes

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Signaux physiques (PCSI)/Oscillateurs amortis : association d'impédances complexes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On y traite aussi des associations de sources réelles de tension ou (et) de courant complexes associés au r.s.f. [1].

Sommaire

Impédance complexe équivalente de l'association série de « deux impédances complexes », généralisation[modifier | modifier le wikicode]

Association série de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

......On se place en complexe associé au r.s.f. et on considère l'association série de deux D.P.L. d'impédances complexes et traversés par un même courant d'intensité instantanée complexe , la tension instantanée complexe aux bornes de chacun des dipôles (en convention récepteur) étant respectivement et  ;

......la tension instantanée complexe aux bornes de l'association série étant la somme des tensions instantanées complexes individuelles et selon et

......la loi d'Ohm [2] en complexe s'appliquant à chacun des dipôles selon respectivement et , nous en déduisons
...... c'est-à-dire
......la proportionnalité de et prouvant l'applicabilité de la loi d'Ohm [2] en complexe à l'association série de deux D.P.L. et précisant l'impédance complexe équivalente de cette association série

.

Exemples : impédance complexe d'une bobine réelle d'auto-inductance L et de résistance rB, impédance complexe d'un R C série[modifier | modifier le wikicode]

Ces exemples ne sont évidemment pas exhaustifs.

Impédance complexe d'une bobine réelle d'auto-inductance L et de résistance rB[modifier | modifier le wikicode]

......La modélisation d'une bobine réelle en association série d'un conducteur ohmique de résistance et d'une bobine parfaite d'inductance propre

.

......Sous avec une résistance et une inductance propre on obtient

  • une impédance complexe en dont on tire
  • une impédance en c'est-à-dire [3] et
  • une avance de phase de la tension sur l'intensité [4].

Impédance complexe d'un R C série[modifier | modifier le wikicode]

......Le D.P.L. d'un R C série étant une association série d'un conducteur ohmique de résistance et d'un condensateur parfait de capacité

[5].

......Sous avec une résistance et une capacité on obtient

  • une impédance complexe [6] en dont on tire
  • une impédance en c'est-à-dire [7] et
  • une avance de phase de la tension sur l'intensité [8] soit littéralement et, à partir de l'expression numérique de l'impédance complexe, [9].

Généralisation : association série de plus de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

......On généralise sans difficulté la propriété d'équivalence précédente à plus de deux D.P.L. et on retient la proposition suivante :

......« l'association série de n D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) d'impédances complexes respectives est un D.P.L. d'impédance complexe équivalente

 ».

Exemple : impédance complexe d'un R L C série[modifier | modifier le wikicode]

......L'impédance complexe d'un R L C série vaut donc  dont la forme algébrique s'écrit selon

 ;

......on remarque que

  • à B.F. le R L C série se comporte comme un condensateur parfait car [10] et
  • à H.F. il se comporte comme une bobine parfaite car [10] ;

......enfin pour la fréquence particulière (c'est-à-dire la fréquence propre du R L C série) les impédances complexes de la bobine parfaite et du condensateur parfait se compensant [11], le R L C série est purement résistif .

Impédance complexe équivalente de l'association parallèle de « deux impédances complexes »[modifier | modifier le wikicode]

Association parallèle de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

......On se place en complexe associé au r.s.f. et on considère l'association parallèle de deux D.P.L. d'impédances complexes et aux bornes desquels on a une même tension instantanée complexe , l'intensité instantanée complexe du courant traversant chacun des dipôles (en convention récepteur) étant respectivement et  ;

......l'intensité instantanée complexe du courant traversant l'association parallèle étant la somme des intensités instantanées complexes individuelles et selon et

......la loi d'Ohm [2] en complexe s'appliquant à chacun des dipôles selon respectivement et , nous en déduisons
...... c'est-à-dire
......la proportionnalité de et prouvant l'applicabilité de la loi d'Ohm [2] en complexe à l'association parallèle de deux D.P.L. et précisant l'impédance complexe équivalente de cette association parallèle telle que soit

.

Exemples : impédance complexe d'un R L parallèle, impédance complexe d'un R C parallèle[modifier | modifier le wikicode]

Ces exemples ne sont évidemment pas exhaustifs.

Impédance complexe d'un R L parallèle[modifier | modifier le wikicode]

......Le D.P.L. d'un R L parallèle étant une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance et d'un bobine parfaite d'inductance propre

.

......Sous avec une résistance et une inductance propre on obtient

  • une impédance complexe en dont on tire
  • une impédance en c'est-à-dire [12] et
  • une avance de phase de la tension sur l'intensité [13] littéralement et, numériquement, [14].

Impédance complexe d'un R C parallèle[modifier | modifier le wikicode]

......Le D.P.L. d'un R C parallèle étant une association parallèle d'un conducteur ohmique de résistance et d'un condensateur parfait de capacité

[15].

......Sous avec une résistance et une capacité on obtient

  • une impédance complexe en dont on tire
  • une impédance en c'est-à-dire [16] et
  • une avance de phase de la tension sur l'intensité [13] soit littéralement et, numériquement, [17].

Admittance complexe équivalente de l'association parallèle de plus de deux « admittances complexes »[modifier | modifier le wikicode]

Admittance complexe équivalente de l'association parallèle de deux « admittances complexes »[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant établi que l'association parallèle de deux D.P.L. d'impédances complexes respectives et est équivalente à un D.P.L. d'impédance complexe d'une part et

......d'autre part l'admittance complexe d'un D.P.L. étant l'inverse de son impédance complexe, on en déduit que l'admittance complexe du D.P.L. équivalent à l'association parallèle de deux D.P.L. soit finalement la propriété suivante :

......« l'association parallèle de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) d'admittances complexes respectives et est un D.P.L. d'admittance complexe équivalente

 » [18].

Généralisation : association parallèle de plus de deux D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

......On généralise sans difficulté la propriété d'équivalence précédente à plus de deux D.P.L. et on retient la proposition suivante :

......« l'association parallèle de n D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) d'admittances complexes respectives est un D.P.L. d'admittance complexe équivalente

 ».

Exemple : admittance complexe d'un R L C parallèle[modifier | modifier le wikicode]

......L'admittance complexe d'un R L C parallèle vaut donc [19] dont la forme algébrique s'écrit selon

 ;

......on remarque que

  • à B.F. le R L C parallèle se comporte comme une bobine parfaite car [10] et
  • à H.F. il se comporte comme un condensateur parfait car [10] ;

......enfin pour la fréquence particulière (c'est-à-dire la fréquence propre du R L C parallèle) les admittances complexes de la bobine parfaite et du condensateur parfait se compensant [11], le R L C parallèle est purement résistif .

Notion de dualité « série - parallèle » appliquée en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

......La notion de dualité « série - parallèle » en électricité ayant été introduite dans le paragraphe intitulé « initiation à la dualité série - parallèle en électricité » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », ses principales grandeurs et relations duales généralisables à l'électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) sont précisées ci-dessous [20] :

association série association parallèle
intensité instantanée complexe commune traversant les dipôles tension instantanée complexe commune aux bornes des dipôles
intensité efficace complexe commune
traversant les dipôles
tension efficace complexe commune
aux bornes des dipôles
impédance complexe d'un D.P.L. admittance complexe d'un D.P.L.
forme trigonométrique de l'impédance complexe d'un D.P.L.
avec impédance du D.P.L.
forme trigonométrique de l'admittance complexe d'un D.P.L. [21]
avec admittance du D.P.L.
conducteur ohmique d'impédance complexe conducteur ohmique d'admittance complexe
condensateur parfait de capacité C d'impédance complexe bobine parfaite d'inductance propre L d'admittance complexe
bobine parfaite d'inductance propre L d'impédance complexe condensateur parfait de capacité C d'admittance complexe
impédance complexe équivalente de l'association série de n D.P.L. admittance complexe équivalente de l'association parallèle de n D.P.L.
admittance complexe équivalente de l'association série de deux D.P.L. [22] impédance complexe équivalente de l'association parallèle de deux D.P.L. [23]
exemple impédance complexe d'un R L C série exemple admittance complexe d'un R L C parallèle

Impédance complexe d'un R L C série, impédance, résistance et réactance[modifier | modifier le wikicode]

Rappel : impédance complexe d'un R L C série en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

.

Notion de résistance et de réactance d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et d'impédance complexe connue[modifier | modifier le wikicode]

......Quand l'impédance complexe d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) est écrite sous sa forme algébrique, on appelle

  • résistance du D.P.L., la partie réelle de l'impédance complexe soit et
  • réactance  du D.P.L., la partie imaginaire de l'impédance complexe soit ,

......toutes deux exprimées en  ;

......ainsi la forme algébrique de l'impédance complexe s'écrit .

Résistance et réactance d'un R L C série en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

......Il faut donc mettre l'impédance complexe sous sa forme algébrique et on en tire :

  • la résistance du R L C série toujours [24] égale à la résistance du conducteur ohmique [25] et
  • la réactance du R L C série pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle [26].

Impédance et avance de phase de tension sur intensité d'un R L C série en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π), lien avec la résistance et la réactance de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

......L'impédance complexe sous sa forme trigonométrique étant et sous sa forme algébrique avec d'une part et d'autre part nous en déduisons :

  • l'impédance du R L C série [l'impédance est minimale pour [11] la pulsation propre du R L C série et elle devient infiniment grande à T.B.F. et à T.H.F. [27]] et
  • l'avance de phase de la tension aux bornes du R L C série sur l'intensité le traversant [28] [la tension aux bornes du R L C série et l'intensité le traversant sont en phase pour [11] la pulsation propre du R L C série et elle devient en quadrature retard à T.B.F. [29], [30] et en quadrature avance à T.H.F. [31], [32]].

Admittance complexe d'un R L C série en r.s.f. de fréquence fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

......Il est possible que l'on ait besoin de déterminer l'admittance complexe d'un R L C série dans l'hypothèse où il serait en parallèle sur deux autres D.P.L., on trouverait

[33]
soit encore [34].

Notion de conductance et de susceptance d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et d'admittance complexe connue[modifier | modifier le wikicode]

......Quand l'admittance complexe d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) est écrite sous sa forme algébrique, on appelle

  • conductance du D.P.L., la partie réelle de l'admittance complexe soit et
  • susceptance  du D.P.L., la partie imaginaire de l'admittance complexe soit [35],

......toutes deux exprimées en  ;

......ainsi la forme algébrique de l'admittance complexe s'écrit .

Conductance et susceptance d'un R L C série en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

......Il faut donc mettre l'admittance complexe sous sa forme algébrique d'où la nécessité de multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit [36] et on en tire :

  • la conductance du R L C série toujours [37], [38] différente de la conductance du conducteur ohmique [39] et
  • la susceptance du R L C série [40] pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle [41].

Admittance complexe d'un R L C parallèle, admittance, conductance et susceptance[modifier | modifier le wikicode]

Tous les résultats de ce paragraphe pourront être retrouvés par dualité de l'impédance complexe d'un R' L' C' série.

Rappel : admittance complexe d'un R L C parallèle en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

.

Rappel de la notion de conductance et de susceptance d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) et d'admittance complexe connue[modifier | modifier le wikicode]

......Quand l'admittance complexe d'un D.P.L. en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) est écrite sous sa forme algébrique, on appelle

  • conductance du D.P.L., la partie réelle de l'admittance complexe soit et
  • susceptance  du D.P.L., la partie imaginaire de l'admittance complexe soit ,

......toutes deux exprimées en  ;

......ainsi la forme algébrique de l'admittance complexe s'écrit .

Conductance et susceptance d'un R L C parallèle en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

......Il faut donc mettre l'admittance complexe sous sa forme algébrique et on en tire :

  • la conductance du R L C parallèle toujours [37] égale à la conductance du conducteur ohmique [42] et
  • la susceptance du R L C parallèle pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle [43].

Admittance et avance de phase de tension sur intensité d'un R L C parallèle en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π), lien avec la conductance et la susceptance de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

......L'admittance complexe sous sa forme trigonométrique étant et sous sa forme algébrique avec d'une part et d'autre part nous en déduisons :

  • l'admittance du R L C parallèle [l'admittance est minimale pour [11] la pulsation propre du R L C parallèle et elle devient infiniment grande à T.B.F. et à T.H.F. [44]] et
  • l'avance de phase de la tension aux bornes du R L C parallèle sur l'intensité le traversant [45] [la tension aux bornes du R L C parallèle et l'intensité le traversant sont en phase pour [11] la pulsation propre du R L C série et elle devient en quadrature avance à T.B.F. [46], [47] et en quadrature retard à T.H.F. [48], [49]].

Impédance complexe d'un R L C parallèle en r.s.f. de fréquence fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

......Il est possible que l'on ait besoin de déterminer l'impédance complexe d'un R L C parallèle dans l'hypothèse où il serait en série avec d'autres D.P.L., on trouverait

[33]
soit encore [50].

Résistance et réactance d'un R L C parallèle en r.s.f. de fréquence f = ω/(2π)[modifier | modifier le wikicode]

......Il faut donc mettre l'impédance complexe sous sa forme algébrique d'où la nécessité de multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur soit [51] et on en tire :

  • la résistance du R L C parallèle toujours [24], [52] différente de la résistance du conducteur ohmique [53] et
  • la réactance du R L C parallèle pouvant prendre n'importe quelle valeur réelle [54].

Lois d'Ohm généralisées en électricité complexe associée au r.s.f. pour des D.A.L. (en convention générateur), impédance complexe interne, modèles générateur de tension et de courant[modifier | modifier le wikicode]

Modèle générateur de tension du G.B.F. en électricité complexe associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

......Un G.B.F. [55] a une f.e.m. T-périodique et un D.P. interne linéaire au sens de l'A.R.Q.S. ;

......quand la f.e.m. est sinusoïdale de pulsation on peut associer au G.B.F. un modèle générateur de tension en complexe « association d'une source de tension parfaite de f.e.m. instantanée complexe est la f.e.m. efficace complexe, en série avec un D.P.L. d'impédance complexe interne dont le module est l'impédance interne (de valeur usuelle  » ;

......en convention générateur on peut appliquer, aux grandeurs instantanées complexes, la loi d'Ohm [2] généralisée


est la tension instantanée complexe aux bornes du G.B.F. avec la tension efficace complexe et
est l'intensité instantanée complexe du courant délivré par le G.B.F. avec l'intensité efficace complexe ;

......si on divise par , on obtient la loi d'Ohm [2] généralisée en valeurs efficaces complexes

.

Modèle générateur de courant du G.B.F. en électricité complexe associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

......On peut aussi modéliser un G.B.F. en générateur de courant (même si c'est nettement moins utilisé qu'en régime permanent) ;

......en régime sinusoïdal forcé de pulsation on peut associer au G.B.F. un modèle générateur de courant en complexe « association d'une source de courant parfaite de c.e.m. instantané complexe est le c.e.m. efficace complexe, en parallèle avec un D.P.L. d'impédance complexe interne dont le module est l'impédance interne (de valeur usuelle  » ;

......en convention générateur on peut appliquer, aux grandeurs instantanées complexes, la loi d'Ohm [2] généralisée


est l'intensité instantanée complexe du courant délivré par le G.B.F. avec l'intensité efficace complexe et
est la tension instantanée complexe aux bornes du G.B.F. avec la tension efficace complexe ;

......si on divise par , on obtient la loi d'Ohm [2] généralisée en valeurs efficaces complexes

.

Lien entre les modèles générateurs de tension et de courant du G.B.F. en électricité complexe associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

......Le D.P.L. interne est le même dans les deux modèles, d'impédance complexe interne  ;

......le c.e.m. instantané complexe est lié à la f.e.m. instantanée complexe et l'impédance complexe interne selon

[56] ;

......si on divise par , on obtient le lien entre c.e.m. et f.e.m. efficaces complexes ainsi que l'impédance complexe interne

[56].

Pont diviseur de tension (P.D.T.) en électricité complexe associée au r.s.f., représentation de Thévenin équivalente vue de la sortie du pont diviseur de tension complexe alimenté en entrée[modifier | modifier le wikicode]

Présentation du P.D.T. en électricité complexe associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de situation d'un pont diviseur de tension en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) alimenté en entrée par une tension ue(t) et donnant en sortie une tension us(t)

......Un pont diviseur de tension (P.D.T.) en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f/(2π) est un quadripôle linéaire passif, alimenté en entrée par une tension instantanée complexe entre les bornes E et M de laquelle deux D.P.L. d'impédances complexes et sont montés en série quand la sortie définie aux bornes S et M de est ouverte (le pont diviseur de tension étant dit « en sortie ouverte ») mais si cette sortie aux bornes de S et M est fermée sur une « charge » [57], [58], le D.P.L. d'impédance complexe est en série avec l'association parallèle « D.P.L. d'impédance complexe et charge de sortie », la tension instantanée complexe recueillie aux bornes de cette association étant .

......Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.T. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente soit :

  • tension instantanée complexe d'entrée de tension efficace complexe d'entrée et
  • intensité instantanée complexe du courant d'entrée d'intensité efficace complexe d'entrée  ;

......les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.T. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.T. est branché soit :

  • tension instantanée complexe de sortie de tension efficace complexe de sortie et
  • intensité instantanée complexe du courant de sortie d'intensité efficace complexe de sortie [59].

Générateur de Thévenin en électricité complexe associée au r.s.f. équivalent au réseau dipolaire « P.D.T. alimenté en entrée par ue(t) et vu des bornes de sortie »[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du résultat[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

......Le but recherché est la détermination de l'expression de en fonction de , et les composants passifs du P.D.T. et pour cela on utilise :

  • la loi de maille [64] soit  dans laquelle on élimine par
  • la loi de nœud [65] ou, en explicitant l'intensité instantanée complexe du courant traversant en fonction de par loi d'Ohm [2] en complexe , la nouvelle expression de loi de nœud soit

......en reportant dans l'équation de maille ou, en regroupant les termes en tension instantanée complexe de sortie, ou encore soit finalement,
......dans la mesure où est non nulle [60], dans laquelle on reconnaît le générateur de Thévenin [61] en complexe équivalent au R.D. en convention générateur à savoir

  • de f.e.m. instantanée complexe (de Thévenin) [66] et
  • d'impédance complexe (de Thévenin) [67] ;

......si [60], l'équation de maille transformée se réécrivant permet d'en déduire ou établissant une équivalence avec une source de courant parfaite en complexe.

......Commentaires : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Thévenin [61] en complexe équivalent au R.D. « P.D.T. complexe alimenté en entrée par ue(t) et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées et dans la mesure où le générateur de Thévenin [61] en complexe existe c'est-à-dire si [60], en effet :

  • d'une part la f.e.m. instantanée complexe de Thévenin étant la tension instantanée complexe de sortie ouverte, c'est la fraction de la tension instantanée complexe d'entrée,
  • d'autre part l'impédance complexe de Thévenin étant l'impédance complexe du R.D. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif [68] c'est-à-dire quand on a remplacé la tension instantanée complexe d'entrée par un court-circuit, le R.D.P. « P.D.T. complexe court-circuité en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association parallèle des D.P.L. d'impédances complexes et [69] soit .

Le résultat le plus utilisé : P.D.T. en sortie ouverte alimenté en entrée par ue(t) »[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

......Il suffit de faire dans le résultat du générateur de Thévenin [61] en complexe précédemment démontré en se souvenant que son existence suppose , toutefois nous allons refaire la démonstration dans le cas particulier d'une sortie ouverte.

......Démonstration : La sortie étant ouverte ,

......Démonstration : les D.P.L. d'impédances complexes et étant montés en série sont traversés par le même courant d'intensité instantanée complexe supposée finie,

......Démonstration : la loi d'Ohm [2] en complexe appliquée au D.P.L. d'impédance complexe conduit à et

......Démonstration : celle appliquée à l'association série des D.P.L. d'impédances complexes et à mais étant de valeur finie, ne sera de valeur finie que si , nous voyons donc la nécessité pour que reste de valeur finie que soit non nulle,

......Démonstration : d'où en éliminant par de valeur finie si , l'expression de la tension instantanée complexe de sortie ouverte [71].

......Commentaires : C'est de cette expression [72] que l'on tire le nom « pont diviseur de tension en complexe » (et en sortie ouverte) car est la tension instantanée complexe aux bornes de et montées en série et la tension instantanée complexe aux bornes de [73], tension ne représentant que la fraction de  ;

......Commentaires : si on s'intéressait à la tension instantanée complexe aux bornes de au lieu de celle aux bornes de , on reconnaîtrait de même un pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de d'où, en permutant les indices et , le résultat suivant [72], [63].

Simplification de circuits par reconnaissance de pont(s) diviseur(s) de tension en électricité complexe associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

Dans tout ce paragraphe le « P.D.T. alimenté en entrée par ue(t) et fermé sur une charge » est équivalent à un générateur de Thévenin [61] en complexe
c'est-à-dire que nous supposons [74].

Pont diviseur de tension alimenté en entrée par ue(t) et fermé sur une charge d'impédance complexe connue[modifier | modifier le wikicode]

......On souhaite déterminer la tension instantanée complexe de sortie d'un « P.D.T. en complexe alimenté en entrée par et fermé sur une charge d'impédance complexe  » en fonction de la tension instantanée complexe d'entrée , des impédances complexes du pont et de l'impédance complexe d'utilisation ; il y a deux façons de procéder :

  • Remarquer que est en sur , remplacer cette association parallèle par son impédance complexe équivalente et reconnaître un R.D. en sortie ouverte « P.D.T. en complexe alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de  » …
  • Remplacer le R.D. « P.D.T. en complexe alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » par son générateur de Thévenin [61] équivalent en complexe et reconnaître dans le nouveau circuit un R.D. en sortie ouverte « P.D.T. en complexe alimenté en entrée par , d'impédance complexe d'attaque [75] et en sortie ouverte aux bornes de  » …

1ère résolution : remplacer l'impédance complexe du P.D.T. en parallèle sur l'impédance complexe de la charge de sortie par son impédance complexe équivalente[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un P.D.T. en complexe alimenté en entrée par ue(t) et fermé sur une impédance complexe Zu(jω), traitement en considérant Zéq(jω) = Z1(jω) // Zu(jω) en sortie ouverte d'un P.D.T. en complexe alimenté en entrée par ue(t)

......Voir schéma de situation ci-contre :

......On utilise que l'impédance complexe de la charge est montée en sur , et on remplace l'association parallèle par son D.P.L. équivalent d'impédance complexe puis, on considère le nouveau P.D.T. en complexe alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de [76] soit

...... ou, en multipliant haut et bas par ,

[77], [63].

2ème résolution : utiliser le générateur de Thévenin du P.D.T. alimenté en entrée par ue(t)[modifier | modifier le wikicode]

P.D.T. en complexe alimenté en entrée par ue(t) et fermé sur une impédance complexe Zu(jω), traitement en considérant le générateur de Thévenin [61] en complexe équivalent [eTh(t), zTh(jω)] puis Zu(jω) en sortie ouverte d'un P.D.T. en complexe alimenté en entrée par eTh(t)

......On remplace le R.D.L. « pont diviseur de tension en complexe alimenté en entrée par et vu des bornes de sortie » par le générateur de Thévenin [61] équivalent en complexe

  • de f.e.m. de Thévenin et
  • d'impédance complexe de Thévenin ,

......on obtient alors le schéma ci-contre dans lequel on reconnaît un P.D.T. en complexe alimenté en entrée par et en sortie ouverte aux bornes de soit : ou, par simplification évidente

[78], [63], [77].

Pont diviseur de courant (P.D.C.) en électricité complexe associée au r.s.f., représentation de Norton équivalente vue de la sortie du pont diviseur de courant complexe alimenté en entrée[modifier | modifier le wikicode]

Présentation du P.D.C. en électricité complexe associée au r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de situation d'un pont diviseur de courant en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f = ω/(2π) alimenté en entrée par un courant d'intensité instantanée complexe ie(t) et donnant en sortie un courant d'intensité instantanée complexe is(t)

......Un pont diviseur de courant (P.D.C.) en électricité complexe associée au r.s.f. de fréquence f/(2π) est un quadripôle linéaire passif, alimenté en entrée par un courant d'intensité instantanée complexe entrant par la borne E et traversant deux D.P.L. d'impédances complexes et lesquels sont montés en parallèle quand la sortie en série avec est court-circuitée (le pont diviseur de courant étant dit « en sortie court-circuitée ») mais si cette sortie est fermée sur une « charge » [57], [58], le D.P.L. d'impédance complexe est en parallèle avec l'association série « D.P.L. d'impédance complexe et charge de sortie », l'intensité instantanée complexe du courant sortant par la borne S étant .

......Les grandeurs électriques d'entrée sont définies en convention récepteur pour l'entrée du P.D.C. et simultanément en convention générateur pour la source qui l'alimente soit :

  • intensité instantanée complexe du courant d'entrée d'intensité efficace complexe d'entrée et
  • tension instantanée complexe d'entrée de tension efficace complexe d'entrée  ;

......les grandeurs électriques de sortie sont définies en convention générateur pour la sortie du P.D.C. et simultanément en convention récepteur pour la charge aux bornes de laquelle le P.D.C. est branché soit :

  • intensité instantanée complexe du courant de sortie d'intensité efficace complexe de sortie et
  • tension instantanée complexe de sortie de tension efficace complexe de sortie [79].

Générateur de Norton en électricité complexe associée au r.s.f. équivalent au réseau dipolaire « P.D.C. alimenté en entrée par ie(t) et vu des bornes de sortie »[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du résultat[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration[modifier | modifier le wikicode]

......Le but recherché est la détermination de l'expression de en fonction de , et les composants passifs du P.D.C. et pour cela on utilise :

  • la loi de nœud [81] dans laquelle on élimine par
  • la loi de maille [64] soit  ou, en explicitant la tension instantanée complexe d'entrée en fonction de par loi d'Ohm [2] en complexe , la nouvelle expression de loi de maille dont on tire  ;

......en reportant dans l'équation de nœud ou, en regroupant les termes en intensité instantanée complexe de sortie, ou encore soit finalement
......dans la mesure où est non nulle [60], dans laquelle on reconnaît le générateur de Norton [80] en complexe équivalent au R.D. en convention générateur à savoir

  • de c.e.m. instantané complexe (de Norton) [82] et
  • d'impédance complexe (de Norton) [83] ;

......si [60], l'équation de nœud transformée se réécrivant permet d'en déduire ou établissant une équivalence avec une source de tension parfaite en complexe.

......Commentaires : Il est relativement facile de retrouver les caractéristiques du générateur de Norton [80] en complexe équivalent au R.D. « P.D.C. complexe alimenté en entrée par ie(t) et vu des bornes de sortie » si on les a oubliées et dans la mesure où le générateur de Norton [80] en complexe existe c'est-à-dire dans l'hypothèse [60], en effet :

  • d'une part le c.e.m. instantané complexe de Norton étant l'intensité instantanée complexe de sortie court-circuitée, c'est la fraction [84] de l'intensité instantanée complexe d'entrée,
  • d'autre part l'impédance complexe de Norton étant l'impédance complexe du R.D. vue des bornes de sortie quand ce dernier est rendu passif [85] c'est-à-dire quand on a remplacé la tension instantanée complexe d'entrée par un interrupteur ouvert, le R.D.P. « P.D.C. complexe ouvert en entrée et vu des bornes de sortie » est alors l'association série des D.P.L. d'impédances complexes et [86] dont on tire .

Le résultat le plus utilisé : P.D.C. en sortie court-circuitée alimenté en entrée par ie(t) »[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème