Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : signaux périodiques

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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Filtrage linéaire : signaux périodiques
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Sommaire

Méthode des trois ampèremètres[modifier | modifier le wikicode]

Montage utilisant trois ampèremètres (parfaits) et un conducteur ohmique étalon de résistance R pour déterminer le facteur de puissance d'un D.P.L. ainsi que la puissance électrique moyenne qu'il consomme en r.s.f.

......On veut déterminer le facteur de puissance d'un dipôle passif linéaire alimenté en régime sinusoïdal forcé de pulsation et d'impédance complexe non connue , en utilisant trois ampèremètres supposés parfaits (c'est-à-dire d'impédance quasi-nulle) et un conducteur ohmique étalon de résistance .

......Pour cela on réalise le montage ci-contre où les ampèremètres mesurent les intensités efficaces du courant traversant l'association parallèle du D.P.L. et du conducteur ohmique étalon, du courant traversant le D.P.L. et du courant traversant le conducteur ohmique étalon.

Détermination du facteur de puissance du D.P.L. et de la puissance électrique moyenne qu'il consomme en r.s.f.[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer le facteur de puissance du dipôle passif linéaire d'impédance non connue en fonction de , et  ;

......en déduire la puissance électrique moyenne consommée par ce dipôle en fonction de , , et .

Application à une installation E.D.F.[modifier | modifier le wikicode]

......Un abonné de l'E.D.F. (qui impose des tensions de valeur efficace et de fréquence branche

  • soit une lampe traversée par un courant d'intensité efficace ,
  • soit un moteur à caractère inductif traversé par un courant d'intensité efficace ,
  • soit les deux en parallèle, l'ensemble étant traversé par un courant d'intensité efficace  ;

......en utilisant ce qui précède (la lampe jouant le rôle du conducteur ohmique étalon) calculer le facteur de puissance du moteur, puis
......en utilisant ce qui précède ~(la lampe jouant le rôle du conducteur ohmique étalon)~ calculer les puissances électriques moyennes consommées respectivement par la lampe et le moteur ;

......quel est le facteur de puissance de l'installation en pleine charge [4] ?

Adaptation d'impédances[modifier | modifier le wikicode]

......On considère un générateur de tension sinusoïdale de fréquence représenté par le modèle générateur de tension [f.e.m. efficace complexe , impédance interne complexe [8]] ;

......ce générateur alimente un dipôle linéaire passif caractérisé par son impédance complexe [8], et [8] étant réglables.

Évaluation de l'intensité efficace du courant traversant le D.P.L.[modifier | modifier le wikicode]

......Faire un schéma de situation et

......évaluer l'intensité efficace du courant traversant le D.P.L. en fonction de , , [8], et [8].

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L.[modifier | modifier le wikicode]

......En déduire la puissance électrique moyenne absorbée par le dipôle linéaire passif d'utilisation en fonction des mêmes grandeurs que précédemment.

Condition d'adaptation d'impédances du D.P.L. et de la partie passive du générateur[modifier | modifier le wikicode]

......On dit qu'il y a adaptation d'impédance du D.P.L. sur le générateur si l'impédance complexe du D.P.L. est liée à l'impédance complexe interne du générateur telle que la puissance électrique moyenne consommée par le D.P.L. est maximale ;

......déterminer quelles doivent être les valeurs à donner à et [8] pour que la puissance électrique moyenne absorbée par le dipôle soit maximale (on précisera le lien entre [8] et [8]).

Calcul de la puissance moyenne et du facteur de puissance d'une installation parallèle (lampes et moteur) connaissant la tension efficace et les caractéristiques énergétiques des différents dipôles, puis ajout d'un condensateur en parallèle pour « relever » le facteur de puissance[modifier | modifier le wikicode]

......Une installation électrique comprend, montés en parallèle et fonctionnant sous une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence  :

  • lampes de [11] chacune et
  • un moteur électrique de rendement [12], de puissance mécanique récupérable et de facteur de puissance [13].

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge ainsi que son facteur de puissance[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge [4] ainsi que

......Déterminer son facteur de puissance.

Choix du condensateur à mettre en parallèle sur l'installation en pleine charge pour « relever » son facteur de puissance[modifier | modifier le wikicode]

......Pour que l'installateur ne soit pas en infraction vis à vis du distributeur qui exige que le facteur de puissance de toute installation soit [20], l'installateur met, en parallèle sur l'installation, un condensateur de capacité adaptée.

......Déterminer les valeurs possibles de capacité de condensateur à mettre en parallèle sur l'installation précédente pour que le critère imposé par le distributeur soit réalisé.

Chute de tension en ligne entre l'installation et le distributeur, minimisation des pertes en ligne[modifier | modifier le wikicode]

......Une installation électrique comprend, montés en parallèle et fonctionnant sous une tension sinusoïdale de valeur efficace et de fréquence  :

  • lampes de [11] chacune et
  • un moteur électrique de rendement [12], de puissance mécanique récupérable et de facteur de puissance [13].

......On peut établir que l'intensité efficace complexe traversant l'installation en pleine charge [4] est en [24].

......L'installation précédente est reliée à l'usine productrice d'électricité par une ligne équivalente à la fréquence de à un conducteur ohmique de résistance en série avec une bobine parfaite d'inductance propre de réactance .

Détermination de la tension efficace imposée par l'usine productrice d'électricité pour que la tension efficace aux bornes de l'installation soit celle indiquée[modifier | modifier le wikicode]

......Déterminer la tension efficace délivrée par l'usine productrice d'électricité pour que celle aux bornes de l'installation en pleine charge soit .

Proportion de puissance électrique moyenne perdue dans la ligne sur la puissance électrique moyenne consommée dans l'installation en pleine charge, influence du facteur de puissance de cette dernière[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne en fonction de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge , la tension efficace aux bornes de l'installation , le facteur de puissance de l'installation en pleine charge et de la résistance de la ligne puis

......montrer l'intérêt de « relever » le facteur de puissance c'est-à-dire d'avoir un facteur de puissance plus grand à puissance électrique moyenne consommée égale et tension efficace inchangée ; quel facteur de puissance serait idéal pour que les pertes soient les plus faibles possibles.

Influence des divers facteurs pour diminuer au maximum la puissance électrique moyenne perdue dans la ligne[modifier | modifier le wikicode]

......Comment le distributeur peut-il agir sur les autres facteurs ou pour diminuer au maximum les pertes en ligne ?

Puissance électrique moyenne consommée dans un pont d'impédances[modifier | modifier le wikicode]

Schéma d'un pont d'impédances en r.s.f. soumis à une tension instantanée d'entrée entre A et B et de sortie entre F et G fermée sur un conducteur ohmique de résistance R, les D.P.L. du pont étant respectivement à partir de A et dans le sens horaire, un condensateur de capacité C, une bobine d'auto-inductance L, puis les deux mêmes dans le même ordre

......On considère le pont d'impédances ci-contre fonctionnant en r.s.f. sous une tension instantanée d'entrée entre et égale à la f.e.m. instantanée sinusoïdale du générateur de fonction supposé parfait [30], la sortie du pont entre et étant fermée sur un conducteur ohmique de résistance  ;

......le pont est constitué des D.P.L. [numérotés de à à partir de dans le sens trigonométrique] suivants :

  • une bobine parfaite d'inductance propre ,
  • un condensateur parfait de capacité ,
  • une bobine parfaite de même inductance propre et
  • un condensateur parfait de même capacité .

Détermination de la puissance électrique moyenne consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique[modifier | modifier le wikicode]

......Exprimer la puissance électrique moyenne consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique et représenté ci-contre, en fonction de , , , et [31].

Recherche d'une condition sur la fréquence pour que la puissance électrique moyenne consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique soit extrémale (par résonance ou anti-résonance)[modifier | modifier le wikicode]

......Pour quelle valeur de la puissance électrique moyenne consommée par le réseau dipolaire linéaire passif formé du pont d'impédances fermé sur le conducteur ohmique est-elle extrémale ?

......Préciser alors sa valeur ;

......s'agit-il de résonance de puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. (c'est-à-dire d'un maximum de ou

......s'agit-il d'antirésonance de puissance électrique moyenne consommée par le R.D.L.P. (c'est-à-dire d'un minimum de [on discutera suivant les valeurs de  ?

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 et 1,2 En effet on choisit la phase à l'origine de la tension commune (correspondant à une convention récepteur à ajouter sur le schéma) la phase à l'origine de l'intensité du courant traversant le conducteur ohmique est aussi nulle d'après la loi d'Ohm.
  2. 2,0 et 2,1 Plus précisément c'est le cosinus de l'avance de phase de la tension commune sur l'intensité du courant traversant le D.P.L. d'impédance qui nous intéresse mais est l'opposé de la phase à l'origine de l'intensité.
  3. En utilisant la formule d'Euler relative au cosinus ou, en adoptant la notation de l'électricité pour l'imaginaire unité, .
  4. 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 et 4,9 C'est-à-dire quand tous les éléments de l'installation fonctionne simultanément.
  5. On ne pouvait pas appliquer la formule trouvée à la question précédente, ne connaissant pas .
  6. La puissance électrique moyenne consommée par deux dipôles en parallèle est la somme des puissances électriques moyennes consommées par chaque dipôle.
  7. On pouvait déterminer le facteur de puissance comme dans la 1ère question de l'exercice en cherchant à évaluer à partir de la loi des nœuds en valeurs efficaces complexes, la connaissance de du moteur ainsi que son caractère inductif la tension aux bornes du moteur est en avance de phase sur l'intensité du courant qui le traverse soit permettent de trouver en d'où et par suite le facteur de puissance de l'installation en pleine charge vaut .
  8. 8,00 8,01 8,02 8,03 8,04 8,05 8,06 8,07 8,08 8,09 et 8,10 Usuellement les impédances complexes dépendent de la pulsation par l'intermédiaire de leur réactance, pour simplifier la notation nous ne précisons pas directement la dépendance.
  9. 9,0 et 9,1 Claude Servais Mathias Pouillet (1790 - 1868) physicien et homme politique français, on lui doit essentiellement des travaux portant sur la compressibilité des gaz et sur les lois expérimentales relatives à l'intensité du courant électrique dans un circuit fermé (il sut préciser la notion de résistance électrique, montrer que les générateurs sont composés d'une force électromotrice pure et d'une résistance intérieure et il établit la loi qui porte son nom).
  10. La loi de Pouillet en complexe s'applique pour déterminer l'intensité instantanée (ou efficace) complexe du courant circulant dans un circuit série ne comprenant que des D.L. en électricité complexe associée au même r.s.f. (c'est-à-dire que les sources de tension doivent correspondre à la génération de f.e.m. instantanées complexes de même pulsation), elle résulte de l'application de la loi des mailles en complexe avec choix du sens de f.e.m. complexe dans le sens du courant (en accord avec l'algébrisation habituelle) et s'énonce en valeurs instantanées complexes ou en valeurs efficaces complexes (à retenir et à savoir utiliser sans hésitation).
  11. 11,0 et 11,1 Il s'agit de puissance électrique moyenne consommée.
  12. 12,0 et 12,1 Le rendement d'un moteur électrique est le rapport entre la puissance mécanique récupérable et la puissance électrique moyenne consommée par le moteur.
  13. 13,0 13,1 et 13,2 On admet qu'un moteur est inductif (ce qui veut dire que sa réactance est inductive), en effet un moteur électrique fonctionne grâce aux phénomènes d'induction que nous étudierons dans les chapitres de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) ».
  14. 14,0 et 14,1 La phase à l'origine de la tension commune ayant été choisie nulle soit .
  15. 15,0 et 15,1 L'intensité du courant traversant le moteur étant retard de phase de sur la tension commune, le moteur étant inductif, elle est donc égale à .
  16. En effet .
  17. En effet avec l'avance de phase de la tension sur l'intensité du courant traversant le moteur.
  18. Laisser l'argument d'une exponentielle complexe en degrés est un abus d'écriture pour lequel l'unité doit impérativement subsister car l'absence d'unités signifierait que l'argument de l'exponentielle complexe est le radian.
  19. La différence de résultats est due aux approximations intermédiaires dans les A.N., sans arrondi on trouverait bien sûr le même résultat.
  20. On peut en effet montrer que la proportion de puissance électrique moyenne perdue dans les lignes de transport situées en amont du compteur électrique mesurant la puissance électrique moyenne consommée par l'utilisateur sur cette dernière est d'autant plus grande que le facteur de puissance de l'installation du particulier est faible, avec la particularité que cette puissance électrique moyenne perdue dans les lignes n'est pas mesurée par le compteur de puissance du particulier, donc n'est pas payée directement par lui (mais répercutée sur tous les abonnés sans que le particulier en question n'en tire aucun avantage) ;
    ...lors de l'installation faite par un professionnel, celle-ci est conforme et le distributeur peut le vérifier à tout instant, mais lorsqu'un particulier modifie ou crée lui-même une installation, elle peut ne pas l'être si le particulier n'y prend pas garde, alors si le distributeur se rend compte du problème lors d'une vérification il est, d'une part, autorisé à verbaliser le particulier et d'autre part il exigera que ce dernier rende son installation conforme !
    ...Comme le facteur de puissance de l'installation dépend des appareils en fonctionnement et que chaque appareil peut ne pas avoir un facteur de puissance constant, le distributeur n'impose pas un facteur de puissance égal à 1 (ce qui serait l'idéal) mais impose qu'il ne puisse être (en fonctionnement permanent) inférieur à .
  21. Laisser les angles limites en degrés est un abus d'écriture pour lequel l'unité doit impérativement subsister, dans ces conditions l' doit aussi être exprimé en .
  22. Le sens des inégalités ne change pas car la fonction est croissante.
  23. La plus petite valeur de capacité donnant la plus petite valeur d'intensité efficace du courant traversant le condensateur et maintenant le caractère inductif de l'ensemble « installation - condensateur » car et
    ...la plus grande valeur de capacité donnant la plus grande valeur d'intensité efficace du courant traversant le condensateur ainsi que le caractère capacitif à l'ensemble « installation - condensateur » car .
  24. 24,0 et 24,1 Il n'est pas demandé d'établir cette expression car cela a été fait dans l'exercice précédent « détermination de la puissance électrique moyenne consommée par l'installation en pleine charge … » de cette série d'exercices.
  25. Ou loi d'additivité de tensions pour des dipôles en série.
  26. est la tension efficace complexe aux bornes de l'installation en pleine charge.
  27. D'où la nécessité de « relever » le facteur de puissance par adjonction d'un condensateur bien choisi monté en parallèle sur l'installation revoir la question « choix du condensateur à mettre en parallèle … » de l'exercice précédent.
  28. Pour des questions de sécurité évidentes, cette haute tension efficace ne peut être fournie à l'installation, elle est donc, avant distribution locale, abaissée à par « transformateur abaisseur de tension » (un transformateur parfait a un rendement égal à 1 ce qui correspond au fait que la puissance électrique moyenne reçue par le primaire et provenant de la ligne est intégralement transférée au secondaire et disponible dans l'installation, les transformateurs étant étudiés dans les chapitres de la leçon « Induction et forces de Laplace (PCSI) », toutefois à puissance électrique moyenne conservée, la tension efficace aux bornes du primaire nettement plus grande que celle aux bornes du secondaire, correspond à une intensité efficace traversant le primaire ainsi que la ligne, nettement plus faible que celle traversant le secondaire ainsi que l'installation, d'où une diminution effective de la puissance perdue dans la ligne sans modification de la puissance électrique moyenne consommée dans l'installation).
  29. Comme il est difficile de jouer sur la longueur, le distributeur choisit la plus grande section possible selon (résistance d'un cylindre de longueur et dont la section droite est d'aire , le matériau étant de résistivité , cette formule étant établie ultérieurement dans un chapitre de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »), il y a toutefois une limite supérieure à l'aire admissible de la section droite car, plus l'aire est grande, plus le poids des fils est important et plus il faut de pylônes pour soutenir ceux-ci ; le distributeur choisit donc l'option la moins coûteuse.
  30. C'est-à-dire tel que son impédance de sortie est considérée comme négligeable.
  31. Il peut être intéressant de répondre à la question « dans quel dipôle la puissance est-elle consommée ?.~» et
    ... Il peut être intéressant de calculer l'intensité efficace traversant ce dipôle dans le but d'évaluer cette puissance.
  32. La f.e.m. efficace complexe s'identifiant à la f.e.m. efficace car la phase à l'origine de la f.e.m. instantanée sinusoïdale est nulle.
  33. 33,0 33,1 et 33,2 Léon Charles Thévenin (1857 - 1926) ingénieur français en télégraphie, à l'origine des simplifications des circuits électriques par linéarisation, on lui doit essentiellement le « théorème portant son nom » énoncé en .
  34. 34,0 34,1 34,2 34,3 et 34,4 Jacob Millman (1911 - 1991) électronicien américain né en Russie à Novohrad-Volynskyï (maintenant en Ukraine), devenu américain par suite de l'émigration de ses parents, on lui doit essentiellement le théorème portant son nom.
  35. 35,00 35,01 35,02 35,03 35,04 35,05 35,06 35,07 35,08 35,09 35,10 35,11 et 35,12 Ceci nécessite que c'est-à-dire ou ou .
  36. À tracer effectivement.
  37. Ou parallèle, la pulsation propre du L C série ou parallèle étant la même égale à .
  38. Revoir le paragraphe « exemple d'utilisation du théorème de Millman de l'électricité complexe … pont de type Wheatstone … étude du cas très particulier [ou  » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ;
    ...dans le cas présent, comme et on a , ces deux conditions étant les mêmes on aboutit à la même expression d'intensité instantanée complexe du courant arrivant par le nœud et repartant par le nœud et [contrairement au cas très particulier évoqué dans la note du paragraphe « exemple d'utilisation du théorème de Millman de l'électricité complexe … pont de type Wheatstone … retour sur les cas très particuliers ou  » du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » où on avait et avec et ce qui conduisait à une intensité instantanée complexe nécessairement infinie.
  39. 39,0 et 39,1 Edward Lawry Norton (1898 - 1983) ingénieur en électricité américain, à qui on doit essentiellement le « théorème portant son nom » énoncé en .
  40. 40,0 et 40,1 Ce qui peut encore être écrit selon ou,
    ...en remplaçant par , le c.e.m. efficace complexe .
  41. Ce qui peut encore être écrit selon ou,
    ...en remplaçant par , le c.e.m. efficace complexe .
  42. Ce qui peut encore être écrit selon ou,
    ...en remplaçant par , le c.e.m. efficace complexe .
  43. En effet est égal à .
  44. D'où la tension efficace complexe aux bornes du conducteur ohmique .
  45. On remarque alors que l'avant dernière expression se retrouve comme cas particulier du résultat général établi sous condition en y faisant , en effet on trouve alors [néanmoins faire dans une expression démontrée sous condition est mathématiquement incorrect, seule la détermination par modélisation de Norton l'étant].
  46. En effet cette expression a été établie pour mais sa détermination directe quand a donné un résultat identique à celui qu'on obtiendrait dans l'expression générale en faisant .
  47. En effet ne dépend que de et s'annule pour les zéros de et .
  48. En effet la nullité de la dérivée peut correspondre à un maximum ou un minimum c'est-à-dire un extrémum mais encore à un point d'inflexion de la courbe avec une tangente parallèle à l'axe des abscisses (c'est-à-dire un maximum pour les valeurs de gauche et minimum pour les valeurs de droite ou vice versa).
  49. En effet le remplacement de par dans le dénominateur de conduit à et par suite à la simplification haut et bas par .