Série entière/Exercices/Rayon de convergence et polynôme

Soit $P$ un polynôme non nul de $\mathbb {C} [X]$ et $\sum a_{n}z^{n}$ une série entière. Montrer que les rayons de convergence des séries entières $\sum P(n)a_{n}z^{n}$ et $\sum a_{n}z^{n}$ sont les mêmes.

Solution

Soient $R$ le rayon de convergence de $\sum a_{n}z^{n}$ et $R'$ celui de $\sum P(n)a_{n}z^{n}$.

• Pour tout $\rho >R$, $\sum |a_{n}|\rho ^{n}$ diverge et a fortiori, $\sum |P(n)a_{n}|\rho ^{n}$ diverge, donc $R'\leq R$.
• Pour tout $\rho <R$, soit $r$ strictement compris entre $\rho$ et $R$. Alors $\sum |a_{n}|r^{n}$ converge et a fortiori, $\sum |P(n)a_{n}|\rho ^{n}$ converge, donc $R\leq R'$.

Donc $R'=R$.