En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Rayon de convergence 1 Série entière/Exercices/Rayon de convergence 1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Déterminer le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes :
Solution
On peut utiliser le critère de d'Alembert. Soit
.
Le rayon de convergence est .
Solution
Soit . D'Alembert : donc .
Solution
Soit . D'Alembert : donc , comme pour la première série entière ci-dessus.
Solution
C'est bien une série entière de la forme mais on ne peut donc pas appliquer directement la règle de d'Alembert ! Les rapports ne sont pas définis car . On considère donc la série entière de la variable y, , de la forme
On peut appliquer le critère de d'Alembert pour déterminer son rayon de convergence.
donc a pour rayon de convergence 4.
Si converge absolument,
si diverge.
En posant , on en déduit que
si donc si converge absolument,
si diverge.
D'où
Solution
Même obstacle et même stratégie que dans l'exemple précédent :
avec et .
donc le rayon de convergence de est et celui de est .