Rudiments d'acoustique architecturale/Théorie de Sabine

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La méthode de Sabine est une approche statistique qui suppose que l’énergie réverbérée est uniformément répartie dans la salle.

(En réalité l’énergie réverbérée peut être plus forte contre les parois et plus faible dans les recoins des salles.)

L’énergie réverbérée étant uniformément répartie dans la salle, son niveau sera la même en tout point de la salle alors que le niveau du son direct décroîtra au fur et à mesure que l’on s’éloigne de la source.

Définition de la distance critique

On appelle distance critique, la distance à laquelle le niveau de pression du son direct d'une source est égal au niveau de pression du son réverbéré.

En employant la théorie de Sabine, on associe à chaque surface, mobilier, personne, objet, etc.. une grandeur appelée "aire d’absorption équivalente", ou plus simplement "absorption", dont l’unité est le mètre carré (m²). Elle est égale à l’aire d’une surface totalement absorbante qui absorberait la même quantité d’énergie sonore que l’objet considéré.

L’absorption totale d’une salle est égale à la somme de toutes les absorptions de toutes les surfaces et objets apparents qui composent la salle.

Considérons une surface d’aire S et de coefficient d’absorption α. On montre que l’absorption A de cette surface est donnée par la formule :

$A=S.\alpha$.

Pour le calcul de l’absorption, on doit considérer la surface que viennent réellement frapper les ondes sonores. Par exemple, si on laisse pendre au plafond 1 m² de tissu, nous compterons une surface de 2 m² car les ondes sonores frappent le tissu des deux côtés. Si ce même tissus est étendu par terre, recouvert d’un tonneau dont la base a une aire de 0,4 m², nous ne compterons pour le tissu que 0,6 m².

Si A_tot est l’absorption totale d’une salle et S_tot est la surface totale de la salle, on peut définir un coefficient d’absorption α_moy par la formule.

$\alpha _{moy}={\frac {A_{tot}}{S_{tot}}}$.

On montre que la théorie de Sabine est d’autant plus précise que α_moy est proche de 0. En pratique, on considère que la théorie de sabine donne des valeurs correctes pour α ≤ 0,2. Pour des valeurs supérieures de α et selon la précision recherchée des résultats, on préférera utiliser la théorie d’Eyring. Toutefois la théorie de Sabine présente l’avantage de la simplicité.

On montre que la distance critique appelée aussi rayon critique r_c est donné par la formule :

$r_{c}={\sqrt {\frac {A.Q}{50}}}$.

Considérons une source sonore de puissance P dans une salle d’absorption A. La théorie de sabine considère que l’intensité du son réverbéré est le même en tout point de la salle.

Si on appelle I_r l’intensité du son réverbéré, on montre que :

$I_{r}={\frac {P}{A}}$.

Nous savons qu’en l’absence de réverbération L’intensité et la pression sont liées par la formule :

$I={\frac {p^{2}}{400}}$.

Cette formule n’est plus vraie pour le son réverbéré.

Si l’on appelle p_r la pression du son réverbéré, nous avons :

$I_{r}={\frac {p_{r}^{2}}{4\times 400}}$.

Soit L_ir, le niveau d’intensité réverbérée. On a par définition :

$L_{ir}=10\log \left({\frac {I_{r}}{10^{-12}}}\right)$.

En remplaçant I_r par P/A , on obtient :

$L_{ir}=10\log \left({\frac {P}{A.10^{-12}}}\right)=10\log \left({\frac {P}{10^{-12}}}\right)-10\log(A)$.

Comme le niveau de puissance de la source est donné par :

$L_{w}=10\log \left({\frac {P}{10^{-12}}}\right)$.

On obtient finalement :

$L_{ir}=L_{w}-10\log \left(A\right)$.

Soit L_pr, le niveau de pression réverbérée. On a par définition :

$L_{pr}=20\log \left({\frac {P_{r}}{2.10^{-5}}}\right)$.

Reprenons la formule :

$L_{ir}=10\log \left({\frac {I_{r}}{10^{-12}}}\right)$.

Comme :

$I_{r}={\frac {p_{r}^{2}}{4\times 400}}$.

on obtient :

$L_{ir}=10\log \left({\frac {p_{r}^{2}}{1600.10^{-12}}}\right)=20\log \left({\frac {p_{r}}{40.10^{-6}}}\right)=20\log \left({\frac {p_{r}}{2.10^{-5}}}\right)-20log(2)$.

Comme 20log(2) = 6,0206, on peut écrire :

$L_{ir}=L_{pr}-6$.

Nous voyons que contrairement au son direct, pour le son réverbéré, le niveau d’intensité n’est plus égal au niveau de pression.

Compte tenu de la formule :

$L_{ir}=L_{w}-10\log \left(A\right)$.

On en déduit aussi :

$L_{pr}=L_{w}-10\log \left(A\right)+6$.

Comme le niveau de pression n’est pas égal au niveau d’intensité pour le son réverbéré, on conviendra que lorsque l’on parle de niveau réverbéré, il s’agira du niveau de pression.

Définition du temps de réverbération

On appelle temps ou durée de réverbération le temps que met le niveau de pression pour diminuer de 60 dB après l'extinction de la source.

Dans la théorie de Sabine, le temps de réverbération est donné par la formule :

$TR={\frac {0,16V}{A}}$.

Cette formule porte le nom de formule de Sabine.

• V est le volume de la pièce en m³.
• A l’absorption de la pièce en m².
• TR est le temps de réverbération en secondes.