Relativité restreinte/Métrique de Minkowski

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L'espace euclidien est caractérisé par la validité du théorème de Pythagore qu'on écrit sous la forme d'une métrique, soit, en deux dimensions:

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}$

En y faisant y=ict, on obtient la métrique de Minkowski qui caractérise l'espace pseudo euclidien de la relativité restreinte :

$\mathbf {ds^{2}=dx^{2}+d(ict)^{2}} =dx^{2}-c^{2}dt^{2}=-c^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)dt^{2}$

où l'on a fait apparaître la vitesse relative v du référentiel R' par rapport au référentiel R. On écrit souvent la métrique de Minkowski sous la forme :

$d\tau ^{2}=dt^{2}-{\frac {dx^{2}}{c^{2}}}=\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)dt^{2}$

où τ est le temps propre et t le temps-coordonnée. Pour simplifier l'écriture, on prend parfois c=1, mais il faut en tenir compte dans toute vérification par les équations aux dimensions. Écrivons la transformation de Lorentz sous forme différentielle, dans l'hypothèse où v est constante (référentiels R et R' galiléens) :

$dx=\gamma \left(dx'+vdt'\right)\qquad dt=\gamma \left(dt'+{\frac {vdx'}{c^{2}}}\right)$.

En remplaçant, dans la métrique de Minkowski, dx et dt en fonction de dx' et dt' grâce à la transformation de Lorentz, on obtient :

$ds^{2}=dx^{2}-c^{2}dt^{2}=\gamma ^{2}\left(dx'+vdt'\right)^{2}-c^{2}\gamma ^{2}\left(dt'+{\frac {vdx'}{c^{2}}}\right)^{2}=\gamma ^{2}\left[\left(dx'+vdt'\right)^{2}-c^{2}\left(dt'+{\frac {vdx'}{c^{2}}}\right)^{2}\right]$.

Développons et simplifions :

$ds^{2}=\gamma ^{2}\left(dx'^{2}+v^{2}dt'^{2}+2vdx'dt'-c^{2}dt'^{2}-{\frac {v^{2}dx'^{2}}{c^{2}}}-2vdt'dx'\right)={\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)\left(dx'^{2}-c^{2}dt'^{2}\right)$.

La métrique de Minkowski ayant subi la transformation de Lorentz s'écrit donc :

$ds^{2}=dx'^{2}-c^{2}dt'^{2}$.

On retrouve la métrique de départ, aux apostrophes près. La métrique de Minkowski est conservée dans un changement de référentiel par la transformation de Lorentz.