Leçons de niveau 15

Relativité restreinte/Métrique de Minkowski

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Métrique de Minkowski
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Chapitre no 3
Leçon : Relativité restreinte
Chap. préc. :Démonstration de la transformation de Lorentz
Chap. suiv. :Paradoxe des jumeaux de Langevin
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Relativité restreinte/Métrique de Minkowski
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Wikipédia possède un article à propos de « Espace de Minkowski ».

L'espace euclidien est caractérisé par la validité du théorème de Pythagore qu'on écrit sous la forme d'une métrique, soit, en deux dimensions:

En y faisant y=ict, on obtient la métrique de Minkowski qui caractérise l'espace pseudo euclidien de la relativité restreinte :

où l'on a fait apparaître la vitesse relative v du référentiel R' par rapport au référentiel R. On écrit souvent la métrique de Minkowski sous la forme :

où τ est le temps propre et t le temps-coordonnée. Pour simplifier l'écriture, on prend parfois c=1, mais il faut en tenir compte dans toute vérification par les équations aux dimensions. Écrivons la transformation de Lorentz sous forme différentielle, dans l'hypothèse où v est constante (référentiels R et R' galiléens) :

.

En remplaçant, dans la métrique de Minkowski, dx et dt en fonction de dx' et dt' grâce à la transformation de Lorentz, on obtient :

.

Développons et simplifions :

.

La métrique de Minkowski ayant subi la transformation de Lorentz s'écrit donc :

.

On retrouve la métrique de départ, aux apostrophes près. La métrique de Minkowski est conservée dans un changement de référentiel par la transformation de Lorentz.