Relativité restreinte/Composition des vitesses

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La transformation de Lorentz sous forme différentielle peut s'écrire:

$dx=\gamma \left(dx'+vdt'\right)=\gamma \left(v'_{x}+v\right)dt'$

$dt=\gamma \left(dt'+{\frac {vdx'}{c^{2}}}\right)=\gamma \left(1+{\frac {vv'_{x}}{c^{2}}}\right)dt'$

où ${\textstyle v_{x}=dx/dt}$ est la vitesse "absolue" de la cinématique classique dans le référentiel R et ${\textstyle v'_{x}=dx'/dt'}$ la vitesse relative dans R. On a posé ${\textstyle :\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\qquad \mathrm {et} \qquad \beta =v/c}$.

En faisant le rapport v_x et v'_x, on a pour des vitesses colinéaires :

$\mathbf {v_{x}={\frac {dx}{dt}}={\frac {v+v'_{x}}{1+{\frac {vv'_{x}}{c^{2}}}}}}$

où v_x est la vitesse "absolue" et v'_x la vitesse relative.

En relativité, toutes les vitesses sont relatives, c’est pourquoi la vitesse absolue est à remplacer par la vitesse v_x dans le référentiel R de l'observateur. La vitesse relative v'_x est la vitesse dans le référentiel R' mobile par rapport à l'observateur. La vitesse v est la vitesse du référentiel R' dans le référentiel R. Cette formule donne bien une limitation de vitesse, comme on le voit en remplaçant v'_x par c pour obtenir v_x=c. Pour une vitesse de la lumière infinie, on retrouve l'addition galiléenne des vitesses.