Relativité restreinte/Transformation des accélérations

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En cinématique classique les accélérations ne dépendent pas de la vitesse du référentiel galiléen utilisé puisque puisque sa vitesse étant constante, sa dérivée, l'accélération, est nulle. En relativité, du fait de la contraction des longueurs et de la dilatation du temps, le changement de référentiel galiléen change l'accélération.

Soient dv_x/dt et dv'_x/dt', les accélérations d’une particule d’abscisses x et x’ dans les référentiels R de l’observateur et R’ mobile. Comme l’accélération est la dérivée seconde de l’espace par rapport au temps et que, comme les référentiels sont galiléens par hypothèse, γ est une constante, cela donne ${\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\left({\frac {x'}{\gamma }}\right)}{d\left(\gamma t'\right)^{2}}}=\gamma ^{-3}{\frac {d^{2}x'}{dt'^{2}}}=\gamma ^{-3}{\frac {dv'_{x}}{dt'}}=\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {dv'_{x}}{dt'}}$

En liant le référentiel R' à une particule accélérée, on a v=v_x, c'est-à-dire que les référentiels R et R' ne sont plus rigoureusement galiléens. Aux faibles vitesses, on est dans le domaine newtonien, γ≈1, les accélérations sont pratiquement égales dans R et R'. Aux vitesses proches de celle de la lumière, l'accélération, vue de R, est faible, la vitesse étant limitée à c, la variation de γ≈0 est faible. Ce n'est qu'aux vitesses intermédiaires que la variation de γ peut n'être pas négligeable. Cette approximation semble valable d’après les mesures, rares malgré les sommes astronomiques dépensées pour les accélérateurs de particules. En posant v'=v'_x, on a: $\gamma ^{3}{\frac {dv}{dt}}={\frac {dv'}{dt'}}$ En utilisant l'identité due, semble-t-il, à Lorentz, $d\left(\gamma v\right)=\gamma dv+vd\gamma ={\frac {1}{\sqrt[{}]{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\left(\ 1+{\frac {\frac {v^{2}}{c^{2}}}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)dv=\gamma ^{3}dv$ on obtient: $\mathbf {{\frac {d\left(\gamma v\right)}{dt}}={\frac {dv'}{dt'}}}$ v' étant la vitesse dans le référentiel propre, elle doit y être nulle, alors que l'accélération ne l'est pas. C'est comme dans un ascenseur ou dans une voiture où on ressent l'accélération alors qu'on y est immobile.