Leçons de niveau 18

Relativité générale/Les équations d'Einstein dans le vide

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Les équations d'Einstein dans le vide
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Chapitre no 5
Leçon : Relativité générale
Chap. préc. :Le tenseur de Riemann
Chap. suiv. :Ondes gravitationnelles
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L'hypothèse d'Einstein est que la courbure de l'espace-temps est nulle dans le vide qui est donc un espace plat. Cela se traduit par l'équation d'Einstein sans second membre. Lorsqu'on applique les équations d'Einstein à l'univers, on doit tenir compte de la présence de matière (étoiles, gaz…), ce qui entraîne un second membre non nul. Dans un espace de dimension supérieure à deux, on doit utiliser le tenseur de Ricci au lieu de celui de Riemann. Les équations d'Einstein s'écrivent, dans le vide :

Rik est une fonction compliquée des différentes composantes du tenseur de Riemann Rijkl et des coefficients de la métrique gik. Le tenseur de Ricci, comme celui de Riemann ne dépend que des coefficients de la métrique, de sorte que les symboles de Christoffel sont des intermédiaires superflus. En deux dimensions, le tenseur de Ricci a deux composantes, et , chacune proportionnelle au tenseur de Riemann . Il n'y a, en deux dimensions, qu'une seule équation d'Einstein. Pour annuler le tenseur de Ricci, il suffit donc d'annuler celui de Riemann :

Comme, en deux dimensions et en coordonnées de Riemann, le tenseur de Riemann est égal à la courbure de Gauss K, l'équation d'Einstein dit que, en deux dimensions, la courbure est nulle, l'équation de Poisson devient celle de Laplace. Les deux coefficients de la métrique satisfont alors à l'équation de Laplace Δgxx = 0 et Δgyy = 0. On peut donc dire que l'équation de Laplace décrit un espace plat alors que celle de Poisson correspond à un espace courbe. En deux dimensions, l'équation de Laplace diverge à l'infini sauf si les coefficients de la métrique sont constants, c'est-à-dire pour un espace plat. En trois dimensions, ce n'est plus le tenseur de Riemann qui s'annule mais celui de Ricci (espace Ricci-plat). Le calcul est trop compliqué pour pouvoir être présenté ici. En quatre dimensions, il l'est encore plus. Aucun mathématicien ne semble avoir obtenu les équations d'Einstein en coordonnées radiales plus le temps (r et t, sans longitude φ ni colatitude ϑ ) comme pour l'équation de Laplace radiale.