Leçons de niveau 18

Relativité générale/Le tenseur de Riemann

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Le tenseur de Riemann
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Chapitre no 4
Leçon : Relativité générale
Chap. préc. :La métrique
Chap. suiv. :Les équations d'Einstein dans le vide
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Relativité générale/Le tenseur de Riemann
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Gauss a trouvé une formule de la courbure K d'une surface par un calcul assez compliqué mais plus simple en coordonnées de Riemann où elle est égale au tenseur de Riemann qui s'écrit alors, en deux dimensions.

Vérifions, pour le paraboloïde, que le tenseur de Riemann est bien égal à la courbure totale de Gauss K :

On a aussi, par dérivation partielle des coefficients de la métrique du paraboloïde :

On a bien zéro puisque gxx = 0. On dérive de même gyy :

On obtient une équation de Laplace triviale pour gxx et une équation de Poisson pour gyy.