Relativité générale/La métrique

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La métrique d'un espace euclidien représente, dans le plan, le théorème de Pythagore sous forme différentielle :

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}$

La métrique d'une surface courbe est, selon Gauss :

$\mathrm {d} s^{2}=g_{xx}\,\mathrm {d} x^{2}+2g_{xy}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y+g_{yy}\mathrm {d} y^{2}$

où les g_ij sont les coefficients de la métrique.

Toute surface courbe peut être approchée localement par le paraboloïde osculateur qui devient le plan tangent z = 0 lorsque les courbures principales k_x et k_y s'annulent :

$z={\frac {1}{2}}\left(k_{x}x^{2}+k_{y}y^{2}\right)$

En effet, dans le référentiel utilisé, les axes Ox et Oy sont dans le plan tangent z = 0, l'origine des coordonnées, x = 0, y = 0 étant le point de contact. La courbure de Gauss est, par définition le produit des courbures principales :

$K=k_{x}k_{y}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}$

Pour être en coordonnées de Riemann, il reste à orienter les axes Ox et Oy de telle sorte que la métrique soit diagonale (le calcul est donné dans) :

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\left[1-K\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]\,\mathrm {d} y^{2}$

où K = k_xk_y est la courbure de Gauss. Dans cette expression, on a g_xx = 1, g_xy = 0 et

$g_{yy}=1-K\left(x^{2}+y^{2}\right)$

Il n’est pas nécessaire de déterminer les directions principales pour pouvoir travailler en coordonnées de Riemann car les lois de la physique sont, par hypothèse, invariantes par changement de référentiel. Il n'est donc pas nécessaire non plus de déterminer les changements d'échelles nécessaires pour obtenir des coefficients de la métrique égaux à un au point de contact entre la surface courbe et le plan de Riemann. On retrouve la métrique euclidienne caractérisée par le théorème de Pythagore pour K = 0 mais aussi à l'origine (x = 0, y = 0), quelle que soit la valeur de K. En coordonnées de Riemann, on a la même métrique pour tous les paraboloïdes de même courbure de Gauss, y compris la sphère, approximée localement par un paraboloïde de révolution.