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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Résolution idéale au plus près de systèmes non-linéaires à base de fonctions : Premier petit système non linéaire à 3 équations Résolution idéale au plus près de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Premier petit système non linéaire à 3 équations », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
{
y
1
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
1
w
)
y
2
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
2
w
)
y
3
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1=k\times \sin ^{2n+1}(1w)\\y2=k\times \sin ^{2n+1}(2w)\\y3=k\times \sin ^{2n+1}(3w)\end{cases}}}
Avec k,n et w inconnues à déterminer soit exactement , soit au mieux, soit au plus près. Système qui se compacte en :
{
y
1
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
1
w
)
y
2
y
1
=
(
2
cos
(
w
)
)
2
n
+
1
y
3
y
1
=
(
−
1
+
4
cos
2
(
w
)
)
2
n
+
1
{\displaystyle {\begin{cases}y1=k\times \sin ^{2n+1}(1w)\\{\frac {y2}{y1}}=\left(2\cos(w)\right)^{2n+1}\\{\frac {y3}{y1}}=\left(-1+4\cos ^{2}(w)\right)^{2n+1}\end{cases}}}
En éliminant
2
c
o
s
(
w
)
{\displaystyle 2cos(w)}
y
3
y
1
=
(
−
1
+
(
y
2
y
1
)
2
2
n
+
1
)
2
n
+
1
{\displaystyle {\frac {y3}{y1}}=\left(-1+\left({\frac {y2}{y1}}\right)^{\frac {2}{2n+1}}\right)^{2n+1}}
Qui peut s'écrire afin de rendre les deux membres positifs :
y
3
y
1
=
(
−
1
+
(
y
2
y
1
)
2
2
n
+
1
)
2
n
+
1
{\displaystyle {\frac {y3}{y1}}=\left(-1+({\frac {y2}{y1}})^{\frac {2}{2n+1}}\right)^{2n+1}}
y
3
y
1
>
0
{\displaystyle {\frac {y3}{y1}}>0}
−
y
3
y
1
=
−
(
−
1
+
(
y
2
y
1
)
2
2
n
+
1
)
2
n
+
1
{\displaystyle -{\frac {y3}{y1}}=-\left(-1+({\frac {y2}{y1}})^{\frac {2}{2n+1}}\right)^{2n+1}}
−
y
3
y
1
<
0
{\displaystyle -{\frac {y3}{y1}}<0}
D'où l’on extrait :
n
=
1
2
×
(
1
−
L
o
g
y
3
y
1
L
o
g
(
−
1
+
(
y
2
y
1
)
2
2
n
+
1
)
)
{\displaystyle n={\frac {1}{2}}\times \left(1-{\frac {Log{\frac {y3}{y1}}}{Log\left(-1+({\frac {y2}{y1}})^{\frac {2}{2n+1}}\right)}}\right)}
y
3
y
1
>
0
{\displaystyle {\frac {y3}{y1}}>0}
n
=
1
2
×
(
1
−
L
o
g
(
−
y
3
y
1
)
L
o
g
(
−
(
−
1
+
(
y
2
y
1
)
2
2
n
+
1
)
)
)
{\displaystyle n={\frac {1}{2}}\times \left(1-{\frac {Log(-{\frac {y3}{y1}})}{Log\left(-\left(-1+({\frac {y2}{y1}})^{\frac {2}{2n+1}}\right)\right)}}\right)}
y
3
y
1
<
0
{\displaystyle {\frac {y3}{y1}}<0}
On trouvera n par itérations successives. Système simplifié avec n=0 :
{
y
1
=
k
×
sin
(
w
)
y
2
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
=
k
×
sin
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1=k\times \sin(w)\\y2=k\times \sin(2w)\\y3=k\times \sin(3w)\end{cases}}}
Il existe une solution si et seulement si :
{
−
1
<
y
2
2
y
1
<
+
1
y
3
y
1
=
(
−
1
+
(
y
2
y
1
)
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}-1<{\frac {y2}{2y1}}<+1\\{\frac {y3}{y1}}=\left(-1+({\frac {y2}{y1}})^{2}\right)\end{cases}}}
{
y
1
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
1
w
)
y
2
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
2
w
)
y
3
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1=k\times \sin ^{2n+1}(1w)\\y2=k\times \sin ^{2n+1}(2w)\\y3=k\times \sin ^{2n+1}(3w)\end{cases}}}
Ceci est une résolution entre au plus près et au mieux.
Introduire une inconnue supplémentaire d afin d’avoir formellement plus d'inconnues que d'équations ( 2 ou 3 inconnues conduirait à un système avec une infinité de solutions ) :
Résoudre les 3 systèmes d'équation possibles ainsi créés qui recouvrent les configurations possibles avec, dans chacun des 3 systèmes, une donnée pivot exacte donc sans écart :
{
y
1
+
d
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
1
w
)
y
2
−
d
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
2
w
)
y
3
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+d=k\times \sin ^{2n+1}(1w)\\y2-d=k\times \sin ^{2n+1}(2w)\\y3=k\times \sin ^{2n+1}(3w)\end{cases}}}
{
y
1
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
1
w
)
y
2
+
d
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
2
w
)
y
3
−
d
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1=k\times \sin ^{2n+1}(1w)\\y2+d=k\times \sin ^{2n+1}(2w)\\y3-d=k\times \sin ^{2n+1}(3w)\end{cases}}}
{
y
1
−
d
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
1
w
)
y
2
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
2
w
)
y
3
+
d
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1-d=k\times \sin ^{2n+1}(1w)\\y2=k\times \sin ^{2n+1}(2w)\\y3+d=k\times \sin ^{2n+1}(3w)\end{cases}}}
Ceci est une résolution entre au plus près et au mieux.
Ou plus généralement, avec la condition que u soit minimum en valeur absolue :
{
y
1
−
d
∗
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
1
w
)
y
2
−
d
∗
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
2
w
)
y
3
+
u
d
∗
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1-d*=k\times \sin ^{2n+1}(1w)\\y2-d*=k\times \sin ^{2n+1}(2w)\\y3+ud*=k\times \sin ^{2n+1}(3w)\end{cases}}}
{
y
1
+
u
d
∗
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
1
w
)
y
2
−
d
∗
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
2
w
)
y
3
−
d
∗
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+ud*=k\times \sin ^{2n+1}(1w)\\y2-d*=k\times \sin ^{2n+1}(2w)\\y3-d*=k\times \sin ^{2n+1}(3w)\end{cases}}}
{
y
1
−
d
∗
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
1
w
)
y
2
+
u
d
∗
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
2
w
)
y
3
−
d
∗
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1-d*=k\times \sin ^{2n+1}(1w)\\y2+ud*=k\times \sin ^{2n+1}(2w)\\y3-d*=k\times \sin ^{2n+1}(3w)\end{cases}}}
Ceci est la résolution au plus près au sens de la minimisation de la somme des carrés des écarts et plus loin encore.
Introduire 3 inconnues supplémentaires a b et c, une par donnée y, représentant respectivement les écarts algébriques de chaque donnée y1 y2 et y3 à la solution au mieux y1+a y2+b et y3+c, ceci avec la condition que
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}
{
y
1
+
a
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
1
w
)
y
2
+
b
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
2
w
)
y
3
+
c
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+a=k\times \sin ^{2n+1}(1w)\\y2+b=k\times \sin ^{2n+1}(2w)\\y3+c=k\times \sin ^{2n+1}(3w)\end{cases}}}
A
{
y
1
+
d
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
−
d
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
=
k
×
sin
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+d=k\times \sin(1w)\\y2-d=k\times \sin(2w)\\y3=k\times \sin(3w)\end{cases}}}
{
y
1
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
+
d
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
−
d
=
k
×
sin
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1=k\times \sin(1w)\\y2+d=k\times \sin(2w)\\y3-d=k\times \sin(3w)\end{cases}}}
{
y
1
−
d
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
+
d
=
k
×
sin
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1-d=k\times \sin(1w)\\y2=k\times \sin(2w)\\y3+d=k\times \sin(3w)\end{cases}}}
RESOLUTIONS ( détails sera tapé ultérieurement ):
A
d
=
y
1
2
−
y
2
2
+
y
3
y
1
2
y
1
+
2
y
2
+
y
3
{\displaystyle d={\frac {y1^{2}-y2^{2}+y3y1}{2y1+2y2+y3}}}
B
d
=
−
(
2
y
2
+
y
1
)
+
(
2
y
2
+
y
1
)
2
+
4
(
y
1
2
+
y
1
y
3
)
)
2
{\displaystyle d={\frac {-(2y2+y1)+{\sqrt {(2y2+y1)^{2}+4(y1^{2}+y1y3)}})}{2}}}
d
=
−
(
2
y
2
+
y
1
)
−
(
2
y
2
+
y
1
)
2
+
4
(
y
1
2
+
y
1
y
3
)
)
2
{\displaystyle d={\frac {-(2y2+y1)-{\sqrt {(2y2+y1)^{2}+4(y1^{2}+y1y3)}})}{2}}}
C
d
=
y
1
2
−
y
2
2
+
y
3
y
1
y
1
+
y
3
{\displaystyle d={\frac {y1^{2}-y2^{2}+y3y1}{y1+y3}}}
Les trois situations et quatre solutions sont possibles. Là sera de faire ou non un choix , dont celui ultime de ne garder seulement que la solution donnant une |d| minimum ( de type au plus près ). k et w sont facilement tirées ensuite :
A
c
o
s
(
w
)
=
y
2
−
d
2
(
y
1
+
d
)
{\displaystyle cos(w)={\frac {y2-d}{2(y1+d)}}}
A
k
=
y
1
+
d
s
i
n
(
w
)
{\displaystyle k={\frac {y1+d}{sin(w)}}}
B
c
o
s
(
w
)
=
y
2
+
d
2
y
1
{\displaystyle cos(w)={\frac {y2+d}{2y1}}}
B
k
=
y
1
s
i
n
(
w
)
{\displaystyle k={\frac {y1}{sin(w)}}}
C
c
o
s
(
w
)
=
y
2
2
(
y
1
−
d
)
{\displaystyle cos(w)={\frac {y2}{2(y1-d)}}}
C
k
=
y
1
−
d
s
i
n
(
w
)
{\displaystyle k={\frac {y1-d}{sin(w)}}}
Un peu plus généralement, avec la condition que u soit minimum en valeur absolue :
{
y
1
−
d
∗
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
−
d
∗
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
+
u
d
∗
=
k
×
sin
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1-d_{*}=k\times \sin(1w)\\y2-d_{*}=k\times \sin(2w)\\y3+ud_{*}=k\times \sin(3w)\end{cases}}}
{
y
1
+
u
d
∗
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
−
d
∗
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
−
d
∗
=
k
×
sin
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+ud_{*}=k\times \sin(1w)\\y2-d_{*}=k\times \sin(2w)\\y3-d_{*}=k\times \sin(3w)\end{cases}}}
{
y
1
−
d
∗
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
+
u
d
∗
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
−
d
∗
=
k
×
sin
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1-d_{*}=k\times \sin(1w)\\y2+ud_{*}=k\times \sin(2w)\\y3-d_{*}=k\times \sin(3w)\end{cases}}}
Après résolution en u , puis en d , il s'agira pour trouver la solution au plus près [
(
2
+
c
2
)
d
∗
2
{\displaystyle {\sqrt {(2+c^{2})d_{*}^{2}}}}
(
2
+
c
2
)
d
2
{\displaystyle (2+c^{2})d^{2}}
(
2
+
u
2
)
d
∗
2
{\displaystyle (2+u^{2})d_{*}^{2}}
d
=
0
{\displaystyle d=0}
Tout à fait généralement, avec la condition que
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}
{
y
1
+
a
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
+
b
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
+
c
=
k
×
sin
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+a=k\times \sin(1w)\\y2+b=k\times \sin(2w)\\y3+c=k\times \sin(3w)\end{cases}}}
AU CAS où on aurait en plus
a
+
b
+
c
=
0
{\displaystyle a+b+c=0}
Cela se traduit par le système suivant qui exprime que les trois dérivées partielle du tout par rapport à chaque paramètre variable sont nulles :
{
∂
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
∂
a
=
0
∂
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
∂
b
=
0
∂
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
∂
c
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial (a^{2}+b^{2}+c^{2})}{\partial a}}=0\\{\frac {\partial (a^{2}+b^{2}+c^{2})}{\partial b}}=0\\{\frac {\partial (a^{2}+b^{2}+c^{2})}{\partial c}}=0\end{cases}}}
Si on exprime par exemple c en fonction de a et b soit c(a,b), on aura à résoudre :
{
∂
(
a
2
+
b
2
+
c
2
(
a
,
b
)
)
∂
a
=
0
∂
(
a
2
+
b
2
+
c
2
(
a
,
b
)
)
∂
b
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}(a,b)\right)}{\partial a}}=0\\{\frac {\partial \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}(a,b)\right)}{\partial b}}=0\end{cases}}}
Soit à résoudre au plus près ce système simplifié de degré 1 :
{
y
1
+
a
=
k
×
sin
(
1
w
)
y
2
+
b
=
k
×
sin
(
2
w
)
y
3
+
c
=
k
×
sin
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+a=k\times \sin(1w)\\y2+b=k\times \sin(2w)\\y3+c=k\times \sin(3w)\end{cases}}}
Adjoindre la condition de minimalisation ( D ) de la somme des carrés des écarts afin d'obtenir la solution au plus près ( il sera aussi envisagé la somme des puissances 4 des écarts : voir la remarque sur la méthode des moindres carrés sur Recherche:Paradoxes et problèmes mathématiques anciens et nouveaux. Importance de la méthode de résolution :
{
y
1
+
a
=
k
×
sin
(
1
w
)
(
A
)
y
2
+
b
=
k
×
sin
(
2
w
)
(
B
)
y
3
+
c
=
k
×
sin
(
3
w
)
(
C
)
D
D
=
a
2
+
b
2
+
c
2
m
i
n
i
m
u
m
(
D
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+a=k\times \sin(1w)&(A)\\y2+b=k\times \sin(2w)&(B)\\y3+c=k\times \sin(3w)&(C)\\DD=a^{2}+b^{2}+c^{2}minimum&(D)\\\end{cases}}}
La condition se calcule en annulant les dérivées partielles du terme à minimaliser par rapport à chaque paramètre à déterminer :
{
y
1
+
a
=
k
×
sin
(
1
w
)
(
A
)
y
2
+
b
=
k
×
sin
(
2
w
)
(
B
)
y
3
+
c
=
k
×
sin
(
3
w
)
(
C
)
∂
D
D
∂
a
=
0
(
D
a
)
∂
D
D
∂
b
=
0
(
D
b
)
∂
D
D
∂
c
=
0
(
D
c
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+a=k\times \sin(1w)&(A)\\y2+b=k\times \sin(2w)&(B)\\y3+c=k\times \sin(3w)&(C)\\{\frac {\partial DD}{\partial a}}=0&(Da)\\{\frac {\partial DD}{\partial b}}=0&(Db)\\{\frac {\partial DD}{\partial c}}=0&(Dc)\\\end{cases}}}
APPLICATION :
Dans le cas présent de sinus, on peut exprimer
c
2
=
f
(
a
,
b
)
{\displaystyle c^{2}=f(a,b)}
D
D
=
a
2
+
b
2
+
f
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle DD=a^{2}+b^{2}+f^{2}(a,b)}
développer et réduire tout d’abord (B) et (C) par rapport à (A) pour s'affranchir de k ( phénomène d'échelle ).
D'où le système résultant résolvable
{
y
2
+
b
y
1
+
a
=
2
cos
(
w
)
(
1
)
y
3
+
c
y
1
+
a
=
−
1
+
4
cos
2
(
w
)
(
2
)
∂
D
D
(
a
,
b
)
∂
a
=
0
(
3
)
∂
D
D
(
a
,
b
)
∂
b
=
0
(
4
)
k
=
y
1
+
a
sin
(
w
)
(
5
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y2+b}{y1+a}}=2\cos(w)&(1)\\{\frac {y3+c}{y1+a}}=-1+4\cos ^{2}(w)&(2)\\{\frac {\partial DD(a,b)}{\partial a}}=0&(3)\\{\frac {\partial DD(a,b)}{\partial b}}=0&(4)\\k={\frac {y1+a}{\sin(w)}}&(5)\\\end{cases}}}
Puis exprimer la réduction (2) en fonction de la réduction (1).
y
3
+
c
y
1
+
a
=
−
1
+
(
y
2
+
b
y
1
+
a
)
2
{\displaystyle {\frac {y3+c}{y1+a}}=-1+\left({\frac {y2+b}{y1+a}}\right)^{2}}
Résoudre en c :
c
=
(
y
1
+
a
)
×
(
−
1
+
(
y
2
+
b
y
1
+
a
)
2
)
−
y
3
{\displaystyle c=(y1+a)\times \left(-1+\left({\frac {y2+b}{y1+a}}\right)^{2}\ \right)-y3}
c
=
−
(
y
1
+
a
)
+
(
y
2
+
b
)
2
y
1
+
a
−
y
3
{\displaystyle c=-(y1+a)+{\frac {(y2+b)^{2}}{y1+a}}-y3}
Remplacer le
c
{\displaystyle c}
c
2
{\displaystyle c^{2}}
D
D
{\displaystyle DD}
D
D
=
a
2
+
b
2
+
(
−
(
y
1
+
a
)
+
(
y
2
+
b
)
2
y
1
+
a
−
y
3
)
2
{\displaystyle DD=a^{2}+b^{2}+\left(-(y1+a)+{\frac {(y2+b)^{2}}{y1+a}}-y3\right)^{2}}
Écrire le système d'équations (3) et (4) des deux dérivées partielles nulles de DD par rapport à a et b.
{
∂
D
D
(
a
,
b
)
∂
a
=
2
a
+
2
c
(
a
,
b
)
×
∂
d
c
∂
d
a
=
0
(
3
)
∂
D
D
(
a
,
b
)
∂
b
=
2
b
+
2
c
(
a
,
b
)
×
∂
d
c
∂
d
b
=
0
(
4
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial DD(a,b)}{\partial a}}=2a+2c(a,b)\times {\frac {\partial {d}c}{\partial {d}a}}=0&(3)\\{\frac {\partial DD(a,b)}{\partial b}}=2b+2c(a,b)\times {\frac {\partial {d}c}{\partial {d}b}}=0&(4)\\\end{cases}}}
Soit ( SUITE A VERIFIER ) :
{
2
a
+
2
×
(
−
(
y
1
+
a
)
+
(
y
2
+
b
)
2
y
1
+
a
−
y
3
)
×
(
−
1
−
(
y
2
+
b
)
2
(
y
1
+
a
)
2
)
=
0
(
3
)
2
b
+
2
×
(
−
(
y
1
+
a
)
+
(
y
2
+
b
)
2
y
1
+
a
−
y
3
)
×
(
2
(
y
2
+
b
)
y
1
+
a
)
=
0
(
4
)
{\displaystyle {\begin{cases}2a+2\times \left(-(y1+a)+{\frac {(y2+b)^{2}}{y1+a}}-y3\right)\times \left(-1-{\frac {(y2+b)^{2}}{(y1+a)^{2}}}\right)=0&(3)\\2b+2\times \left(-(y1+a)+{\frac {(y2+b)^{2}}{y1+a}}-y3\right)\times \left({\frac {2(y2+b)}{y1+a}}\right)=0&(4)\\\end{cases}}}
Et après développements, réductions, simplifications successives puis en ordonnant selon les degrés décroissants : (3) selon
(
y
2
+
b
)
{\displaystyle (y2+b)}
(
y
1
+
a
)
{\displaystyle (y1+a)}
{
a
+
(
(
y
1
+
a
)
2
−
(
y
2
+
b
)
2
+
y
3
(
y
1
+
a
)
y
1
+
a
)
×
(
(
y
1
+
a
)
2
+
(
y
2
+
b
)
2
(
y
1
+
a
)
2
)
=
0
(
3
)
b
+
(
−
(
y
1
+
a
)
2
+
(
y
2
+
b
)
2
−
y
3
(
y
1
+
a
)
y
1
+
a
)
×
2
(
y
2
+
b
)
y
1
+
a
=
0
(
4
)
{\displaystyle {\begin{cases}a+\left({\frac {(y1+a)^{2}-(y2+b)^{2}+y3(y1+a)}{y1+a}}\right)\times \left({\frac {(y1+a)^{2}+(y2+b)^{2}}{(y1+a)^{2}}}\right)=0&(3)\\b+\left({\frac {-(y1+a)^{2}+(y2+b)^{2}-y3(y1+a)}{y1+a}}\right)\times {\frac {2(y2+b)}{y1+a}}=0&(4)\\\end{cases}}}
{
−
(
y
2
+
b
)
4
+
y
3
(
y
1
+
a
)
(
y
2
+
b
)
2
+
(
y
3
+
a
)
(
y
1
+
a
)
3
+
(
y
1
+
a
)
4
=
0
(
3
)
(
b
−
2
y
2
−
2
b
)
(
y
1
+
a
)
2
−
2
y
3
(
y
2
+
b
)
(
y
1
+
a
)
+
2
(
y
2
+
b
)
3
=
0
(
4
)
{\displaystyle {\begin{cases}-(y2+b)^{4}+y3(y1+a)(y2+b)^{2}+(y3+a)(y1+a)^{3}+(y1+a)^{4}=0&(3)\\(b-2y2-2b)(y1+a)^{2}-2y3(y2+b)(y1+a)+2(y2+b)^{3}=0&(4)\end{cases}}}
Résoudre (3) en (y+b)^2 et (4) en (y+a). En tirer b et a:
{
(
y
2
+
b
)
2
=
−
y
3
(
y
1
+
a
)
+
y
3
2
(
y
1
+
a
)
2
+
4
(
y
3
+
a
)
(
y
1
+
a
)
3
+
4
(
y
1
+
a
)
4
−
2
s
i
d
e
l
t
a
e
t
(
y
2
+
b
)
2
>
0
(
3
)
(
y
2
+
b
)
2
=
−
y
3
(
y
1
+
a
)
−
y
3
2
(
y
1
+
a
)
2
+
4
(
y
3
+
a
)
(
y
1
+
a
)
3
+
4
(
y
1
+
a
)
4
−
2
s
i
d
e
l
t
a
e
t
(
y
2
+
b
)
2
>
0
(
3
)
y
1
+
a
=
−
y
3
(
y
2
+
b
)
+
y
3
2
(
y
2
+
b
)
2
+
2
(
2
y
2
+
b
)
(
y
2
+
b
)
2
(
2
y
2
+
b
)
s
i
d
e
l
t
a
>
0
(
4
)
y
1
+
a
=
−
y
3
(
y
2
+
b
)
−
y
3
2
(
y
2
+
b
)
2
+
2
(
2
y
2
+
b
)
(
y
2
+
b
)
2
(
2
y
2
+
b
)
s
i
d
e
l
t
a
>
0
(
4
)
{\displaystyle {\begin{cases}(y2+b)^{2}={\frac {-y3(y1+a)+{\sqrt {y3^{2}(y1+a)^{2}+4(y3+a)(y1+a)^{3}+4(y1+a)^{4}}}}{-2}}&sideltaet(y2+b)^{2}>0(3)\\(y2+b)^{2}={\frac {-y3(y1+a)-{\sqrt {y3^{2}(y1+a)^{2}+4(y3+a)(y1+a)^{3}+4(y1+a)^{4}}}}{-2}}&sideltaet(y2+b)^{2}>0(3)\\y1+a=-{\frac {y3(y2+b)+{\sqrt {y3^{2}(y2+b)^{2}+2(2y2+b)(y2+b)}}}{2(2y2+b)}}&sidelta>0(4)\\y1+a=-{\frac {y3(y2+b)-{\sqrt {y3^{2}(y2+b)^{2}+2(2y2+b)(y2+b)}}}{2(2y2+b)}}&sidelta>0(4)\\\end{cases}}}
Il peut donc exister de 1 à 4 solutions systèmes
{
b
=
g
(
a
)
(
3
)
a
=
h
(
b
)
(
4
)
{\displaystyle {\begin{cases}b=g(a)&(3)\\a=h(b)&(4)\end{cases}}}
Les résoudre par itération et rapprochements successifs de a et b.
Commencer par fixer par exemple a0. De (3) on déduit b0 que l’on reporte dans (4) pour déterminer a1 que l’on reporte dans (3) pour trouver b1 et ainsi de suite.
On s'assure que a et b convergent et on se fixe une marge d'erreur sur les écarts a et b afin d'arrêter l'itération.
Ayant a et b, on trouve c puis w à l'aide de (1) puis k à l'aide de (A). SI
a
+
b
+
c
=
0
{\displaystyle a+b+c=0}
Pour calculer ensuite C et k, on peut appliquer la méthode suivante de calcul au mieux avec les équations:
{
C
=
y
2
+
b
2
(
y
1
+
a
)
(
1
)
C
2
=
y
3
+
c
y
1
+
a
+
1
4
(
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}C={\frac {y2+b}{2(y1+a)}}&(1)\\C^{2}={\frac {{\frac {y3+c}{y1+a}}+1}{4}}&(2)\\\end{cases}}}
C
=
(
y
2
+
b
2
(
y
1
+
a
)
×
y
3
+
c
y
1
+
a
+
1
4
)
1
3
{\displaystyle C=\left({\frac {y2+b}{2(y1+a)}}\times {\frac {{\frac {y3+c}{y1+a}}+1}{4}}\right)^{\frac {1}{3}}}
k
=
(
(
y
1
+
a
)
×
(
y
2
+
b
)
×
(
y
3
+
c
)
sin
(
w
)
×
sin
(
2
w
)
×
sin
(
3
w
)
)
1
3
{\displaystyle k=\left({\frac {(y1+a)\times (y2+b)\times (y3+c)}{\sin(w)\times \sin(2w)\times \sin(3w)}}\right)^{\frac {1}{3}}}
Pour calculer ensuite C et k, on applique la méthode suivante exacte avec les équations :
{
y
2
+
b
y
1
+
a
=
2
cos
(
w
)
(
1
)
y
1
+
y
2
+
y
3
+
a
+
b
+
c
=
k
S
+
2
k
S
C
+
k
S
(
−
1
+
4
C
2
)
(
4
)
a
+
b
+
c
=
0
(
5
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {y2+b}{y1+a}}=2\cos(w)&(1)\\y1+y2+y3+a+b+c=kS+2kSC+kS(-1+4C^{2})&(4)\\a+b+c=0&(5)\end{cases}}}
avec (4) = (A) + (B) + (C) et (5) qui signifie que la répartition des y est statistiquement idéale ( somme des écarts algébriques égale à 0 ) et non seulement avec
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}
Le système devient donc avec
y
1
+
y
2
+
y
3
=
k
S
(
2
C
+
(
−
1
+
4
C
2
)
)
(
4
)
{\displaystyle y1+y2+y3=kS\left(2C+(-1+4C^{2})\right)(4)}
S
=
sin
(
w
)
=
1
−
c
o
s
2
(
w
)
=
1
−
C
2
{\displaystyle S=\sin(w)={\sqrt {1-cos^{2}(w)}}={\sqrt {1-C^{2}}}}
{
C
=
c
o
s
(
w
)
=
y
2
+
b
2
(
y
1
+
a
)
(
1
)
k
=
y
1
+
y
2
+
y
3
S
(
4
C
2
+
2
C
−
1
)
(
4
)
{\displaystyle {\begin{cases}C=cos(w)={\frac {y2+b}{2(y1+a)}}&(1)\\k={\frac {y1+y2+y3}{S(4C^{2}+2C-1)}}&(4)\\\end{cases}}}
Ce qui se résout facilement.
Au cas où l'équation en C n'aurait pas de solution, on se repliera sur la méthode précédente au mieux . À suivre :
On peut noter Ue une fois a, b, c, w et k déterminés, on peut écrire le système résiduel suivant :
Échec de l’analyse (fonction inconnue « \begin{cases} »): {\displaystyle \begin{cases} a = k_1 \times f_1(1w_1) ( au cas où a existe) \\ b = k_1 \times f_1(2w_1) \\ c = k_1 \times f_1(3w_1) \end{cases} }
En choisissant différentes fonctions, en retenant celle qui minimise
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}}
a
+
b
+
c
=
0
{\displaystyle a+b+c=0}
y
i
{\displaystyle yi}
NOTA : Si l’on choisi de continuer à résoudre au plus près les systèmes itératifs obtenus avec les résidus, on obtient la solution en sinus au plus près, différente de la solution au plus près utilisant le minimum de fonctions, mais c’est certainement la plus pratique, avec celle en sh , et la plus simple au niveau des calculs.
Soit à résoudre au plus près ce système simplifié de degré 1 :
{
y
1
+
a
=
k
×
(
1
−
cos
(
1
w
)
)
y
2
+
b
=
k
×
(
1
−
cos
(
2
w
)
)
y
3
+
c
=
k
×
(
1
−
cos
(
3
w
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+a=k\times (1-\cos(1w))\\y2+b=k\times (1-\cos(2w))\\y3+c=k\times (1-\cos(3w))\end{cases}}}
{
y
1
+
a
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
1
w
)
y
2
+
b
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
2
w
)
y
3
+
c
=
k
×
sin
2
n
+
1
(
3
w
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+a=k\times \sin ^{2n+1}(1w)\\y2+b=k\times \sin ^{2n+1}(2w)\\y3+c=k\times \sin ^{2n+1}(3w)\end{cases}}}
{
y
1
+
a
=
k
×
(
1
−
cos
2
n
+
1
(
1
w
)
)
y
2
+
b
=
k
×
(
1
−
cos
2
n
+
1
(
2
w
)
)
y
3
+
c
=
k
×
(
1
−
cos
2
n
+
1
(
3
w
)
)
{\displaystyle {\begin{cases}y1+a=k\times (1-\cos ^{2n+1}(1w))\\y2+b=k\times (1-\cos ^{2n+1}(2w))\\y3+c=k\times (1-\cos ^{2n+1}(3w))\end{cases}}}
