Recherche:Résolution idéale au plus près de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Premier petit système non linéaire à 3 équations

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Premier petit système non linéaire à 3 équations
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Chapitre no 2
Recherche : Résolution idéale au plus près de systèmes non-linéaires à base de fonctions
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Premier petit système non-linéaire à 3 équations[modifier | modifier le wikicode]

Avec k,n et w inconnues à déterminer soit exactement , soit au mieux, soit au plus près.

Résolution exacte[modifier | modifier le wikicode]

Système qui se compacte en :
En éliminant entre les deux dernières équations, on obtient :
Qui peut s'écrire afin de rendre les deux membres positifs :
si
si
D'où l’on extrait :
si
si
On trouvera n par itérations successives.
Système simplifié avec n=0 :
Il existe une solution si et seulement si :

Résolution au plus près[modifier | modifier le wikicode]

Premier niveau de résolution[modifier | modifier le wikicode]

Ceci est une résolution entre au plus près et au mieux.
Introduire une inconnue supplémentaire d afin d’avoir formellement plus d'inconnues que d'équations ( 2 ou 3 inconnues conduirait à un système avec une infinité de solutions ) :
Résoudre les 3 systèmes d'équation possibles ainsi créés qui recouvrent les configurations possibles avec, dans chacun des 3 systèmes, une donnée pivot exacte donc sans écart :

Deuxième niveau de résolution[modifier | modifier le wikicode]

Ceci est une résolution entre au plus près et au mieux.
Ou plus généralement, avec la condition que u soit minimum en valeur absolue :

Niveau global de résolution[modifier | modifier le wikicode]

Ceci est la résolution au plus près au sens de la minimisation de la somme des carrés des écarts et plus loin encore.
Introduire 3 inconnues supplémentaires a b et c, une par donnée y, représentant respectivement les écarts algébriques de chaque donnée y1 y2 et y3 à la solution au mieux y1+a y2+b et y3+c, ceci avec la condition que soit minimum :

Systèmes simplifié avec n=0[modifier | modifier le wikicode]

Premier type[modifier | modifier le wikicode]
A B C
RESOLUTIONS ( détails sera tapé ultérieurement ):
A
B et
C .
Les trois situations et quatre solutions sont possibles. Là sera de faire ou non un choix , dont celui ultime de ne garder seulement que la solution donnant une |d| minimum ( de type au plus près ). k et w sont facilement tirées ensuite :
A
A
B
B
C
C
Deuxième type[modifier | modifier le wikicode]
Un peu plus généralement, avec la condition que u soit minimum en valeur absolue :
Après résolution en u , puis en d , il s'agira pour trouver la solution au plus près [ étant la "distance" du système à la solution - équivalent de l'écart type - ] de retenir la valeur d telle que ou minimale. Dans le cas où la solution serait exacte, on trouvera
Troisième type[modifier | modifier le wikicode]
Tout à fait généralement, avec la condition que soit minimum :
AU CAS où on aurait en plus , la solution sera "la plus au plus près" c'est-à-dire idéale au sens statistique et probabiliste de la répartition des données y par rapport à la solution et à ses résultats ( y corrigés par a b et c ). Ce traitement est extensible à un nombre quelconque de données y .

Expression de minimale[modifier | modifier le wikicode]

Cela se traduit par le système suivant qui exprime que les trois dérivées partielle du tout par rapport à chaque paramètre variable sont nulles :
Si on exprime par exemple c en fonction de a et b soit c(a,b), on aura à résoudre :

Calculs de la solution au plus près du système simplifié de degré 1 en sinus[modifier | modifier le wikicode]

Soit à résoudre au plus près ce système simplifié de degré 1 :
Adjoindre la condition de minimalisation ( D ) de la somme des carrés des écarts afin d'obtenir la solution au plus près ( il sera aussi envisagé la somme des puissances 4 des écarts : voir la remarque sur la méthode des moindres carrés sur Recherche:Paradoxes et problèmes mathématiques anciens et nouveaux. Importance de la méthode de résolution:
La condition se calcule en annulant les dérivées partielles du terme à minimaliser par rapport à chaque paramètre à déterminer :
APPLICATION :
Dans le cas présent de sinus, on peut exprimer ; Il suffit alors d'exprimer DD en fonction de a et b :
développer et réduire tout d’abord (B) et (C) par rapport à (A) pour s'affranchir de k ( phénomène d'échelle ).
D'où le système résultant résolvable
CALCULS LOURDS CLASSIQUES[modifier | modifier le wikicode]
Puis exprimer la réduction (2) en fonction de la réduction (1).
Résoudre en c :
Remplacer le de dans par le résultat trouvé :
Écrire le système d'équations (3) et (4) des deux dérivées partielles nulles de DD par rapport à a et b.
Soit ( SUITE A VERIFIER ) :
Et après développements, réductions, simplifications successives puis en ordonnant selon les degrés décroissants : (3) selon et (4) selon détaillées ci-dessous :
Résoudre (3) en (y+b)^2 et (4) en (y+a). En tirer b et a:
Il peut donc exister de 1 à 4 solutions systèmes
Les résoudre par itération et rapprochements successifs de a et b.
Commencer par fixer par exemple a0. De (3) on déduit b0 que l’on reporte dans (4) pour déterminer a1 que l’on reporte dans (3) pour trouver b1 et ainsi de suite.
On s'assure que a et b convergent et on se fixe une marge d'erreur sur les écarts a et b afin d'arrêter l'itération.
Ayant a et b, on trouve c puis w à l'aide de (1) puis k à l'aide de (A).
SI on a trouvé LA solution le plus au plus près donc idéale; La répartition des y autour des y corrigés est statistiquement acceptable.
Calcul de C et k au mieux[modifier | modifier le wikicode]
Pour calculer ensuite C et k, on peut appliquer la méthode suivante de calcul au mieux avec les équations:
Calcul au plus près de C et k[modifier | modifier le wikicode]
Pour calculer ensuite C et k, on applique la méthode suivante exacte avec les équations :
avec (4) = (A) + (B) + (C) et (5) qui signifie que la répartition des y est statistiquement idéale ( somme des écarts algébriques égale à 0 ) et non seulement avec minimal .
Le système devient donc avec et avec :
Ce qui se résout facilement.
Au cas où l'équation en C n'aurait pas de solution, on se repliera sur la méthode précédente au mieux .
CALCULS LEGERS ELEGANTS :[modifier | modifier le wikicode]

À suivre :

On peut noter Ue une fois a, b, c, w et k déterminés, on peut écrire le système résiduel suivant :
Échec d'analyse (fonction inconnue « \begin{cases} »): {\displaystyle \begin{cases} a = k_1 \times f_1(1w_1) ( au cas où a existe) \\ b = k_1 \times f_1(2w_1) \\ c = k_1 \times f_1(3w_1) \end{cases} }
En choisissant différentes fonctions, en retenant celle qui minimise , en envisageant aussi la possibilité de trouver a, b, c tels que , puis en itérant le système, on se rapproche de la formulation exacte des et des solutions soit au plus, près soit au mieux.

NOTA : Si l’on choisi de continuer à résoudre au plus près les systèmes itératifs obtenus avec les résidus, on obtient la solution en sinus au plus près, différente de la solution au plus près utilisant le minimum de fonctions, mais c’est certainement la plus pratique, avec celle en sh , et la plus simple au niveau des calculs.

Calculs de la solution au plus près du système simplifié de degré 1 en cosinus[modifier | modifier le wikicode]

Soit à résoudre au plus près ce système simplifié de degré 1 :

Calculs partiels de LA solution au plus près du système général en sinus[modifier | modifier le wikicode]

Calculs partiels de LA solution au plus près du système général en cosinus[modifier | modifier le wikicode]