Recherche:Résolution idéale au plus près de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Deuxième petit système non linéaire à 3 équations

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Deuxième petit système non-linéaire à 3 équations

${\begin{cases}y1=k\times \sin(1^{2n+1}w)\\y2=k\times \sin(2^{2n+1}w)\\y3=k\times \sin(3^{2n+1}w)\end{cases}}$

avec k,n et w inconnues à déterminer soit exactement , soit au mieux, soit au plus près.

Résolution exacte

On compacte tout dabord le système pour s'affranchir de l'échelle k :

${\begin{cases}\arcsin({\frac {y1}{k}})=1^{2n+1}w\\\arcsin({\frac {y2}{k}})=2^{2n+1}w\\\arcsin({\frac {y3}{k}})=3^{2n+1}w\end{cases}}$

On compacte encore le système pour s'affranchir de w. IL convient de prendre w entre 0 et $2\pi$ à cause des $Log(arcsin(xw))$:

${\begin{cases}\arcsin({\frac {y1}{k}})=1^{2n+1}w\\{\frac {\arcsin({\frac {y2}{k}})}{\arcsin({\frac {y1}{k}})}}=2^{2n+1}\\{\frac {\arcsin({\frac {y3}{k}})}{\arcsin({\frac {y1}{k}})}}=3^{2n+1}\end{cases}}$

On prend les Logarithmes Népériens :

${\begin{cases}\arcsin({\frac {y1}{k}})=1^{2n+1}w\\Log\left({\frac {\arcsin({\frac {y2}{k}})}{\arcsin({\frac {y1}{k}})}}\right)=(2n+1)Log2\\Log\left({\frac {\arcsin({\frac {y3}{k}})}{\arcsin({\frac {y1}{k}})}}\right)=(2n+1)Log3\end{cases}}$

En faisant le rapport membre à membre des deux dernières équations on s'affranchit de n :

${\frac {Log\left({\frac {\arcsin({\frac {y3}{k}})}{\arcsin({\frac {y1}{k}})}}\right)}{Log\left({\frac {\arcsin({\frac {y2}{k}})}{\arcsin({\frac {y1}{k}})}}\right)}}={\frac {Log3}{Log2}}$

Puis, par réductions et simplifications successives :

${\frac {\arcsin({\frac {y3}{k}})}{\arcsin({\frac {y1}{k}})}}=\left({\frac {\arcsin({\frac {y2}{k}})}{\arcsin({\frac {y1}{k}})}}\right)^{\frac {Log3}{Log2}}$

$\arcsin({\frac {y3}{k}})=\left(\arcsin({\frac {y2}{k}})\right)^{\frac {Log3}{Log2}}\times \left({\arcsin({\frac {y1}{k}})}\right)^{1-{\frac {Log3}{Log2}}}$

D'où l’on extrait k fonction de k :

$k={\frac {y3}{\sin \left(\arcsin({\frac {y2}{k}})\right)^{\frac {Log3}{Log2}}\times \left({\arcsin({\frac {y1}{k}})}\right)^{1-{\frac {Log3}{Log2}}}}}$

On trouve k par itérations successives avec $0<{\frac {y1}{k}}<2\pi$ et $0<{\frac {y2}{k}}<2^{2n+1}\times 2\pi$.

IL s'agira de se fixer n suivant des valeurs croissantes ou décroissantes à partir de 0, valeur qui devra être compatible avec celle trouvée par la suite de la résolution du système et la détermination des variables, dont n, en cascade.