Recherche:Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Systèmes à fonctions Polynômes

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Ce qui suit est une extension de la méthode exposée et employée dans cette page

Pour avoir un système à résoudre au mieux, il faut plus de variables que d'équations. Chaque terme avec puissance de chaque variable inconnue sera considérée comme variable indépendante.

Ce sont des systèmes d'équations de la forme :

${\begin{cases}P_{1}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{1}\\P_{2}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{2}\\\vdots \\P_{i}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{i}\\\vdots \\P_{n+m}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{n+m}\\\end{cases}}m>=0$

Une variable inconnue à déterminer au mieux

Le système le plus réduit consiste en 2 équations de monômes en x . Les autres systèmes comportent plus de 2 équations.

Par exemple,en appliquant la méthode ci-dessus :

• Première méthode :par la somme des équations

${\begin{cases}x=-1\\x^{2}=1\end{cases}}$ $\Rightarrow$ $x^{2}+x=0$ $\Rightarrow$ ${\begin{cases}x=-1&solution&exacte&mieuxdumieux\\x=0&solution&aumieux&x_{am}\\\end{cases}}$ ou ${\begin{cases}x=4\\x^{2}=9\\\end{cases}}$ ou ${\begin{cases}x^{i}=A_{1}\\x^{j}=A_{2}\\\end{cases}}$

Ou mieux encore, pour être assuré d’avoir une solution et être dans le prolongement de 2 et 3 inconnues, les systèmes de 3 équations à 1 inconnue :

${\begin{cases}P_{1}(x)=A_{1}\\P_{2}(x)=A_{2}\\P_{3}(x)=A_{3}\\\end{cases}}$ dont exemple : ${\begin{cases}x=A_{1}\\x^{2}=A_{2}\\x^{3}=A_{3}\\\end{cases}}$ ici, pour trouver la solution au mieux : $x^{3}+x^{2}+x=A_{1}+A_{2}+A_{3}$

• Deuxième méthode : moyenne géométrique par le produit des équations

${\begin{cases}x=A_{1}\\x^{2}=A_{2}\\x^{3}=A_{3}\\\end{cases}}$

$x=(A_{1}A_{2}A_{3})^{\frac {1}{6}}$

Appliquer les deux méthodes qui peut donner selon les cas 0 , 1 ou 2 solutions possibles.

Deux variables inconnues à déterminer au mieux

Le sytème le plus simple consiste en 5 équations en $x_{1}$ et $x_{2}$. Les autres systèmes comportent plus de 5 équations.

Ne seront étudiés que les systèmes de la forme :

Du plus simple Système 1 :

${\begin{cases}A_{1}=a_{1}*x_{1}^{1}+a_{2}*x_{2}^{1}\\A_{2}=a_{1}*x_{1}^{2}+a_{2}*x_{2}^{2}\\A_{3}=a_{1}*x_{1}^{3}+a_{2}*x_{2}^{3}\\A_{4}=a_{1}*x_{1}^{4}+a_{2}*x_{2}^{4}\\A_{5}=a_{1}*x_{1}^{5}+a_{2}*x_{2}^{5}\\\end{cases}}$

au Système 2:

${\begin{cases}A_{1}=a_{1}*x_{1}^{1}+a_{2}*x_{2}^{1}\\A_{2}=a_{1}*x_{1}^{2}+a_{2}*x_{2}^{2}\\\cdots \\A_{i}=a_{1}*x_{1}^{3}+a_{2}*x_{2}^{3}\\\cdots \\A_{n-1}=a_{1}*x_{1}^{n-1}+a_{2}*x_{2}^{n-1}\\A_{n}=a_{1}*x_{1}^{n}+a_{2}*x_{2}^{n}\\\end{cases}}$

On note que Recherche:Méthode de résolution de systèmes d'équations non-linéaires à plusieurs inconnues indique que les solutions sont solutions du Système 1 en posant $x_{1}x_{2}=P$ et $x_{1}+x_{2}=S$ :

${\begin{cases}-A_{1}P+A_{2}S=A_{3}\\-A_{2}P+A_{3}S=A_{4}\\-A_{3}P+A_{4}S=A_{5}\\\end{cases}}$

Il s'agit ensuite de résoudre au mieux ce nouveau système selon la méthode traditionnelle de résolution au mieux des systèmes linéaires de cette page:

${\begin{pmatrix}-A_{1}&A_{2}\\-A_{2}&A_{3}\\-A_{3}&A_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P\\S\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{3}\\A_{4}\\A_{5}\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}-A_{1}&-A_{2}&-A_{3}\\A_{2}&A_{3}&A_{4}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-A_{1}&A_{2}\\-A_{2}&A_{3}\\-A_{3}&A_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P\\S\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-A_{1}&-A_{2}&-A_{3}\\A_{2}&A_{3}&A_{4}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{3}\\A_{4}\\A_{5}\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}&-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}\\-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}&A_{2}^{2}+A_{3}^{2}+A_{4}^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P\\S\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-A_{1}A_{3}-A_{2}A_{4}-A_{3}A_{5}\\A_{2}A_{3}+A_{3}A_{4}+A_{4}A_{5}\end{pmatrix}}$

${\begin{cases}P={\frac {\begin{pmatrix}-A_{1}A_{3}-A_{2}A_{4}-A_{3}A_{5}&-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}\\A_{2}A_{3}+A_{3}A_{4}+A_{4}A_{5}&A_{2}^{2}+A_{3}^{2}+A_{4}^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}&-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}\\-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}&A_{2}^{2}+A_{3}^{2}+A_{4}^{2}\end{pmatrix}}}\\S={\frac {\begin{pmatrix}A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}&-A_{1}A_{3}-A_{2}A_{4}-A_{3}A_{5}\\-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}&A_{2}A_{3}+A_{3}A_{4}+A_{4}A_{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}&-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}\\-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}&A_{2}^{2}+A_{3}^{2}+A_{4}^{2}\end{pmatrix}}}\end{cases}}$

Puis résoudre l'équation du second degré résultante construite à partir de $P$ et $S$ :

$X^{2}-SX-P=0$

On obtient $x_{1}$ et $x_{2}$ s'ils existent. Si non c’est que le système ne possède pas de solution au mieux :

$x_{1}={\frac {-S+{\sqrt {S^{2}-4P}}}{2}}$

$x_{2}={\frac {-S-{\sqrt {S^{2}-4P}}}{2}}$

Pour obtenir $a_{1}$ et $a_{2}$ il suffit de résoudre au mieux le système initial en $a_{1}$ et $a_{2}$ :

${\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}\\x_{1}^{3}&x_{2}^{3}\\x_{1}^{4}&x_{2}^{4}\\x_{1}^{5}&x_{2}^{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\A_{4}\\A_{5}\\\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}&x_{1}^{4}&x_{1}^{5}\\x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}&x_{2}^{4}&x_{2}^{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}\\x_{1}^{3}&x_{2}^{3}\\x_{1}^{4}&x_{2}^{4}\\x_{1}^{5}&x_{2}^{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{1}^{2}&x_{1}^{3}&x_{1}^{4}&x_{1}^{5}\\x_{2}&x_{2}^{2}&x_{2}^{3}&x_{2}^{4}&x_{2}^{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\A_{3}\\A_{4}\\A_{5}\\\end{pmatrix}}$

${\begin{cases}a_{1}={\frac {\begin{pmatrix}x_{1}A_{1}+x_{1}^{2}A_{2}+x_{1}^{3}A_{3}+x_{1}^{4}A_{4}+x_{1}^{5}A_{5}&-x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}x_{2}^{3}-x_{1}^{4}x_{2}^{4}-x_{1}^{5}x_{2}^{5}\\x_{2}A_{1}+x_{2}^{2}A_{2}+x_{2}^{3}A_{3}+x_{2}^{4}A_{4}+x_{2}^{5}A_{5}&x_{2}^{2}+x_{2}^{4}+x_{2}^{6}+x_{2}^{8}+x_{2}^{10}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}^{2}+x_{1}^{4}+x_{1}^{6}+x_{1}^{8}+x_{1}^{10}&-x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}x_{2}^{3}-x_{1}^{4}x_{2}^{4}-x_{1}^{5}x_{2}^{5}\\-x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}x_{2}^{3}-x_{1}^{4}x_{2}^{4}-x_{1}^{5}x_{2}^{5}&x_{2}^{2}+x_{2}^{4}+x_{2}^{6}+x_{2}^{8}+x_{2}^{10}\end{pmatrix}}}\\a_{2}={\frac {\begin{pmatrix}x_{1}^{2}+x_{1}^{4}+x_{1}^{6}+x_{1}^{8}+x_{1}^{10}&x_{1}A_{1}+x_{1}^{2}A_{2}+x_{1}^{3}A_{3}+x_{1}^{4}A_{4}+x_{1}^{5}A_{5}\\-x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}x_{2}^{3}-x_{1}^{4}x_{2}^{4}-x_{1}^{5}x_{2}^{5}&x_{2}A_{1}+x_{2}^{2}A_{2}+x_{2}^{3}A_{3}+x_{2}^{4}A_{4}+x_{2}^{5}A_{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}^{2}+x_{1}^{4}+x_{1}^{6}+x_{1}^{8}+x_{1}^{10}&-x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}x_{2}^{3}-x_{1}^{4}x_{2}^{4}-x_{1}^{5}x_{2}^{5}\\-x_{1}x_{2}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}x_{2}^{3}-x_{1}^{4}x_{2}^{4}-x_{1}^{5}x_{2}^{5}&x_{2}^{2}+x_{2}^{4}+x_{2}^{6}+x_{2}^{8}+x_{2}^{10}\end{pmatrix}}}\end{cases}}$

On est conduit à poser pour le Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle Système 2 }  :

${\begin{cases}-A_{1}P+A_{2}S=A_{3}\\-A_{2}P+A_{3}S=A_{4}\\-A_{3}P+A_{4}S=A_{5}\\\cdots \\-A_{i-2}P+A_{i-1}S=A_{i}\\\cdots \\-A_{n-2}P+A_{n-1}S=A_{n}\\\end{cases}}$

Il s'agit ensuite de résoudre au mieux ce nouveau système selon la méthode traditionnelle de résolution au mieux des systèmes linéaires de cette page

À SUIVRE

Deux variables inconnues et un trou à déterminer au mieux

Exemple :

${\begin{cases}A_{1}=a_{1}*x_{1}^{1}+a_{2}*x_{2}^{1}\\A_{2}=a_{1}*x_{1}^{2}+a_{2}*x_{2}^{2}\\A_{4}=a_{1}*x_{1}^{4}+a_{2}*x_{2}^{4}\\A_{5}=a_{1}*x_{1}^{5}+a_{2}*x_{2}^{5}\\A_{6}=a_{1}*x_{1}^{6}+a_{2}*x_{2}^{6}\\\end{cases}}$

Introduire l'équation manquante la plus probable au mieux qui permettra de simplifier les calculs :

$T=a_{1}*x_{1}^{3}+a_{2}*x_{2}^{3}$

${\begin{cases}A_{1}=a_{1}*x_{1}^{1}+a_{2}*x_{2}^{1}\\A_{2}=a_{1}*x_{1}^{2}+a_{2}*x_{2}^{2}\\T=a_{1}*x_{1}^{3}+a_{2}*x_{2}^{3}\\A_{4}=a_{1}*x_{1}^{4}+a_{2}*x_{2}^{4}\\A_{5}=a_{1}*x_{1}^{5}+a_{2}*x_{2}^{5}\\A_{6}=a_{1}*x_{1}^{6}+a_{2}*x_{2}^{6}\\\end{cases}}$

Selon la ligne considérée ( T en A2 et A5 ou A3 et A4 ) la technique de résolution sera légèrement différente :

* T en A3 et A4 :

${\begin{cases}-A_{1}P+A_{2}S=A_{3}\\-A_{2}P+A_{3}S=A_{4}\\-A_{3}P+A_{4}S=A_{5}\\-A_{4}P+A_{5}S=A_{6}\\\end{cases}}$ devient ${\begin{cases}-A_{1}P+A_{2}S=T\\-A_{2}P+TS=A_{4}\\-TP+A_{4}S=A_{5}\\-A_{4}P+A_{5}S=A_{6}\\\end{cases}}$ ou ${\begin{cases}-A_{1}P+A_{2}S=A_{3}\\-A_{2}P+A_{3}S=T\\-A_{3}P+TS=A_{5}\\-TP+A_{5}S=A_{6}\\\end{cases}}$

Démarche : Écrire le déterminant des coefficients des 3 équations comportant des T. L'égaler à 0. Obtenir l'équation en PS du premier degré. Résoudre en PS. Extraire P fonction de S. Reporter P dans l'équation en P et S sans T. Obtenir une équation du second degré en S. Résoudre en S. Extraire S fonction de P. Reporter S dans l'équation en P et S sans T. Obtenir une équation du second degré en P. Résoudre en P. Résoudre au mieux le système le système P, S , PS. Puis résoudre au mieux le système des trois équations en T.

* T en A2 et A5 :

${\begin{cases}-A_{1}P+A_{2}S=A_{3}\\-A_{2}P+A_{3}S=A_{4}\\-A_{3}P+A_{4}S=A_{5}\\-A_{4}P+A_{5}S=A_{6}\\\end{cases}}$ devient ${\begin{cases}-A_{1}P+TS=A_{3}\\-TP+A_{3}S=A_{4}\\-A_{3}P+A_{4}S=A_{5}\\-A_{4}P+A_{5}S=A_{6}\\\end{cases}}$ ou ${\begin{cases}-A_{1}P+A_{2}S=A_{3}\\-A_{2}P+A_{3}S=A_{4}\\-A_{3}P+A_{4}S=T\\-A_{4}P+TS=A_{6}\\\end{cases}}$

Démarche : Résoudre en P et S les deux équations sans T. Eliminer T entre les deux équations en T. Obtenir une équation en P^2, S^2, P, S. Remplacer P et S par les valeurs précédemment trouvées dans P^2 et S^2. Obtenir une équation en P et S. Résoudre au mieux le système des trois équations en P et S ( les 2 sans T plus celle construite à partir des deux sans T ). Résoudre au mieux en T le système des deux équations en T.

Trois variables inconnues à déterminer au mieux

Le sytème le plus simple consiste en 7 équations en $x_{1}$,$x_{2}$ et $x_{3}$. Les autres systèmes comportent plus de 7 équations.

Ne seront étudiés que les systèmes de la forme :

${\begin{cases}A_{1}=a_{1}*x_{1}^{1}+a_{2}*x_{2}^{1}+a_{3}*x_{3}^{1}\\A_{2}=a_{1}*x_{1}^{2}+a_{2}*x_{2}^{2}+a_{3}*x_{3}^{2}\\A_{3}=a_{1}*x_{1}^{3}+a_{2}*x_{2}^{3}+a_{3}*x_{3}^{3}\\A_{4}=a_{1}*x_{1}^{4}+a_{2}*x_{2}^{4}+a_{3}*x_{3}^{4}\\A_{5}=a_{1}*x_{1}^{5}+a_{2}*x_{2}^{5}+a_{3}*x_{3}^{5}\\A_{6}=a_{1}*x_{1}^{6}+a_{2}*x_{2}^{6}+a_{3}*x_{3}^{6}\\A_{7}=a_{1}*x_{1}^{7}+a_{2}*x_{2}^{7}+a_{3}*x_{3}^{7}\\\end{cases}}$Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle Système 1 } ${\begin{cases}A_{1}=a_{1}*x_{1}^{1}+a_{2}*x_{2}^{1}+a_{3}*x_{3}^{1}\\A_{2}=a_{1}*x_{1}^{2}+a_{2}*x_{2}^{2}+a_{3}*x_{3}^{2}\\A_{3}=a_{1}*x_{1}^{3}+a_{2}*x_{2}^{3}+a_{3}*x_{3}^{3}\\A_{4}=a_{1}*x_{1}^{4}+a_{2}*x_{2}^{4}+a_{3}*x_{3}^{4}\\A_{5}=a_{1}*x_{1}^{5}+a_{2}*x_{2}^{5}+a_{3}*x_{3}^{5}\\A_{6}=a_{1}*x_{1}^{6}+a_{2}*x_{2}^{6}+a_{3}*x_{3}^{6}\\A_{7}=a_{1}*x_{1}^{7}+a_{2}*x_{2}^{7}+a_{3}*x_{3}^{7}\\\cdots \\A_{i}=a_{1}*x_{1}^{i}+a_{2}*x_{2}^{i}+a_{3}*x_{3}^{i}\\\cdots \\A_{n}=a_{1}*x_{1}^{n}+a_{2}*x_{2}^{n}+a_{3}*x_{3}^{n}\\\end{cases}}$Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/ » :): {\displaystyle Système 2 }

Par la même démarche, x,y,z sont les $r_{1},r_{2},r_{3}$ racines de l'équation :

$r^{3}-Sr^{2}+D_{1}r^{1}-P=0$

Avec les relations servant de changement de variable, vu l'interchangeabilité de $x_{1}$,$x_{2}$ et $x_{3}$ ainsi que de $r_{1},r_{2},r_{3}$:

$S=r_{1}+r_{2}+r_{3},D_{1}=r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+r_{3}r_{1},P=r_{1}r_{2}r_{3}$

Pour le Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/ » :): {\displaystyle Système 1 } , S,D_1,P sont solutions du système devenu linéaire :

${\begin{cases}A_{1}P-A_{2}D_{1}+A_{3}S=A_{4}\\A_{2}P-A_{3}D_{1}+A_{4}S=A_{5}\\A_{3}P-A_{4}D_{1}+A_{5}S=A_{6}\\A_{4}P-A_{5}D_{1}+A_{6}S=A_{7}\\\end{cases}}$

Pour le Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle Système 2 } , S,D_1,P sont solutions du système devenu linéaire :

${\begin{cases}A_{1}P-A_{2}D_{1}+A_{3}S=A_{4}\\A_{2}P-A_{3}D_{1}+A_{4}S=A_{5}\\A_{3}P-A_{4}D_{1}+A_{5}S=A_{6}\\A_{4}P-A_{5}D_{1}+A_{6}S=A_{7}\\\cdots \\A_{i-3}P-A_{i-2}D_{1}+A_{i-1}S=A_{i}\\\cdots \\A_{n-4}P-A_{n-3}D_{1}+A_{n-2}S=A_{n-1}\\A_{n-3}P-A_{n-2}D_{1}+A_{n-1}S=A_{n}\\\end{cases}}$

À SUIVRE

N variables inconnues à déterminer au mieux

À ACTUALISER AVEC LA METHODE AU MIEUX

Le sytème le plus simple consiste en $2n+1$ équations en $x_{1}$,$x_{2}$ et $x_{3}$. Les autres systèmes comportent plus de $2n+1$ équations.

${\begin{cases}A_{1}=a_{1}*r_{1}^{1}+a_{2}*r_{2}^{1}+a_{3}*r_{3}^{1}+.....+a_{n}*r_{n}^{1}\\A_{2}=a_{1}*r_{1}^{2}+a_{2}*r_{2}^{2}+a_{3}*r_{3}^{2}+.....+a_{n}*r_{n}^{2}\\A_{3}=a_{1}*r_{1}^{3}+a_{2}*r_{2}^{3}+a_{3}*r_{3}^{3}+.....+a_{n}*r_{n}^{3}\\A_{4}=a_{1}*r_{1}^{4}+a_{2}*r_{2}^{4}+a_{3}*r_{3}^{4}+.....+a_{n}*r_{n}^{4}\\A_{5}=a_{1}*r_{1}^{5}+a_{2}*r_{2}^{5}+a_{3}*r_{3}^{5}+.....+a_{n}*r_{n}^{5}\\A_{6}=a_{1}*r_{1}^{6}+a_{2}*r_{2}^{6}+a_{3}*r_{3}^{6}+.....+a_{n}*r_{n}^{6}\\...............................................................\\A_{2n}=a_{1}*r_{1}^{2n}+a_{2}*r_{2}^{2n}+a_{3}*r_{3}^{2n}+......+a_{n}*r_{n}^{2n}\\A_{2n+1}=a_{1}*r_{1}^{2n+1}+a_{2}*r_{2}^{2n+1}+a_{3}*r_{3}^{2n+1}+......+a_{n}*r_{n}^{2n+1}\\................................................................\\A_{2n+k}=a_{1}*r_{1}^{2n+k}+a_{2}*r_{2}^{2n+k}+a_{3}*r_{3}^{2n+k}+......+a_{n}*r_{n}^{2n+k}\\\end{cases}}$

Par la même démarche $r_{1},r_{2},r_{3},....,r_{n}$ sont racines de l'équation :

$r^{n}-Sr^{n-1}+D_{2}r^{n-2}-D_{2}r^{n-3}-....+(-1)^{j}*D_{j}r^{n-j}+.....+(-1)^{n}*P=0$

En posant :

$S=D_{1}=\sum _{j=1}^{j=n}r_{j},D_{2}=\sum \prod _{1<=i<j<=n}r_{i}r_{j},D_{3}=\sum \prod _{1<=i<j<k<=n}r_{i}r_{j}r_{k}/..../D_{p}=\sum \prod _{1<=i<j<k<...p<=n}r_{i}r_{j}r_{k}...r_{p}/..../P=D_{n}=\prod _{j=1}^{j=n}r_{j}$

AVEC $S,D_{1},D_{k},D_{i+1},P$ solutions du système devenu linéaire :

${\begin{cases}A_{1}P-A_{2}D_{n-1}+A_{3}D_{n-2}-...+(-1)^{n-j-1}A_{n-j+1}D_{j}+....+(-1)^{n-2}A_{n-1}D_{2}+(-1)^{n-1}A_{n}S+(-1)^{n}A_{n+1}=0\\...................................................................................\\A_{n}P-A_{n+1}D_{n-1}+A_{n+2}D_{n-2}-...+(-1)^{2n-j-1}A_{2n-j+1}D_{n+j}+....+(-1)^{2n-1}A_{2n}S+(-1)^{2n}A_{2n+1}=0\\....................................................................................\\A_{n+k}P-A_{n+1+k}D_{n-1+k}+A_{n+2+k}D_{n-2+k}-...+(-1)^{2n-j-1+k}A_{n+j+1+k}D_{n+j}+....+(-1)^{2n+k-1}A_{2n+k}S+(-1)^{2n+k}A_{2n+1+k}=0\\\end{cases}}$