Recherche:Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Systèmes à fonctions Harmoniques Sinus

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Fonctions sinus

Système à 3 équations au moins en sinus : Recherche d'un sinus au mieux

Soit le système à résoudre au mieux :

${\begin{cases}y1s=as1\times \sin(1ws1)\\y2s=as1\times \sin(2ws1)\\y3s=as1\times \sin(3ws1)\\\end{cases}}$${\begin{cases}y1s=as1\times \sin(ws1)\\y2s=2as1\times \sin(ws1)\sin(ws1)\\y3s=as1\times \sin(ws1)(-1+4\cos ^{2}(ws1))\\\end{cases}}$${\begin{cases}y2s=2y1s\cos(ws1)\\y3s=y1s(-1+4\cos ^{2}(ws1))\\\end{cases}}$${\begin{cases}{\frac {y2s}{2y1s}}=\cos(ws1)\\{\frac {y3s+y1s}{4y1s}}=\cos ^{2}(ws1)\\\end{cases}}$

D'où, en résolvant au mieux selon 1.2.1 de Modification de Recherche:Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions

• Résolution au mieux en $cos(ws1)$ :

ou $cos(ws1)=\left({\frac {y2s(y1s+y3s)}{8y1s^{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}$

ou $\cos ^{2}(ws1)+\cos(ws1)={\frac {y2s}{2y1s}}+{\frac {y3s+y1s}{4y1s}}$

ou $\cos(ws1)={\frac {{\frac {y2s}{2y1s}}+{\sqrt {\frac {y3s+y1s}{4y1s}}}}{2}}$

• Résolution au mieux en $ws1$ :

${\begin{cases}\arccos {\frac {y2s}{2y1s}}=ws1\\\arccos {\sqrt {\frac {y3s+y1s}{4y1s}}}=ws1\\\end{cases}}$

Il est possible d’utiliser la moyenne géométrique ou harmonique des $\cos(ws1)$ ou des $ws1$ au lieu de la moyenne arithmétique, ceci par choix, par défaut ou pour explorer les différentes possibilités. Par la somme des moindres carrés des écarts il peut être retenu une valeur plutôt qu'une autre.

$ws1={\frac {\arccos {\frac {y2s}{2y1s}}+\arccos {\sqrt {\frac {y3s+y1s}{4y1s}}}}{2}}$

Puis déterminer $as1$ selon $ws1$ :

• $as1={\frac {{\frac {y1s}{\sin(1ws1)}}+{\frac {y2s}{\sin(2ws1)}}+{\frac {y3s}{\sin(3ws1)}}}{3}}$

Là aussi il peut être envisagé le cas de la moyenne géométrique ou harmonique des $as1$ au lieu de la moyenne arithmétique. Peut-être faut-il faire le même choix de type moyenne pour $as1$ que pour $\cos(ws1)$ et $ws1$.

Système à 3 équations au moins en sinus plus un trou T : Recherche d'un sinus au mieux et du trou

Exemple 1 : soit le système à résoudre au mieux :

${\begin{cases}y1s=as1\times \sin(1ws1)\\y3s=as1\times \sin(3ws1)\\y4s=as1\times \sin(4ws1)\\\end{cases}}$

Avec un trou $T=as1\times \sin(2ws1)$

Exemple 2 : soit le système à résoudre au mieux :

${\begin{cases}y1s=as1\times \sin(1ws1)\\y2s=as1\times \sin(2ws1)\\y4s=as1\times \sin(4ws1)\\\end{cases}}$

Avec un trou estimé à :$T=as1\times \sin(3ws1)$

Ces deux systèmes peuvent se résoudre normalement sans faire appel à l'équation du trou s'il existe une relation particulière entre les y :

Système 1 :${\begin{cases}{\frac {y3s}{y1s}}=-1+4\cos ^{2}(ws1)\\{\frac {y4s}{y1s}}=4\cos(ws1)(2\cos ^{2}(ws1)-1)\end{cases}}$

Système 2 :${\begin{cases}{\frac {y2s}{y1s}}=2\cos(ws1)\\{\frac {y4s}{y1s}}=4\cos(ws1)(2\cos ^{2}(ws1)-1)\end{cases}}$

Si non, introduire l'équation du trou T :

Exemple 1 :

${\begin{cases}y1s=as1\times \sin(1ws1)\\T=as1\times \sin(2ws1)\\y3s=as1\times \sin(3ws1)\\y4s=as1\times \sin(4ws1)\\\end{cases}}$${\begin{cases}{\frac {y3s}{y1s}}=-1+4\cos ^{2}(ws1)\\{\frac {T}{y1s}}=2\cos 2(ws1)\\{\frac {y4s}{y1s}}=4\cos(ws1)(2\cos ^{2}(ws1)-1)\end{cases}}$

D'où : $2\cos(ws1)={\frac {\frac {y4s}{y1s}}{{\frac {{\frac {y3s}{y1s}}+1}{2}}-1}}={\frac {T}{y1s}}$ et en conséquence $T$ puis $\cos(ws1)$.

$as1$ sera estimé au mieux par la méthode traditionnelle conduisant à la moyenne :

$as1={\frac {{\frac {y1s}{sin(ws1)}}+{\frac {T}{sin(2ws1)}}+{\frac {y3s}{sin(3ws1)}}+{\frac {y4s}{sin(4ws1)}}}{4}}$

Exemple 2 :

${\begin{cases}y1s=as1\times \sin(1ws1)\\y2s=as1\times \sin(2ws1)\\T=as1\times \sin(3ws1)\\y4s=as1\times \sin(4ws1)\\\end{cases}}$${\begin{cases}{\frac {y2s}{y1s}}=2\cos(ws1)\\{\frac {T}{y1s}}=-1+4\cos ^{2}(ws1)\\{\frac {y4s}{y1s}}=4\cos(ws1)(2\cos ^{2}(ws1)-1)\end{cases}}$

D'où$2\cos ^{2}(ws1)={\frac {{\frac {T}{y1s}}+1}{2}}={\frac {\frac {y4s}{y1s}}{2{\frac {y2s}{y1s}}}}+1$

et en conséquence $T$ puis $\cos(ws1)$.

$as1$ sera estimé au mieux par la méthode traditionnelle conduisant à la moyenne :

$as1={\frac {{\frac {y1s}{sin(ws1)}}+{\frac {y2s}{sin(2ws1)}}+{\frac {T}{sin(3ws1)}}+{\frac {y4s}{sin(4ws1)}}}{4}}$

Système à 5 équations au moins en sinus : Recherche de deux sinus au mieux

Voir cette page

Soit le système à résoudre au mieux :

${\begin{cases}y1s=as1\times \sin(1ws1)+as2\times \sin(1ws2)\\y2s=as1\times \sin(2ws1)+as2\times \sin(2ws2)\\y3s=as1\times \sin(3ws1)+as2\times \sin(3ws2)\\y4s=as1\times \sin(4ws1)+as2\times \sin(4ws2)\\y5s=as1\times \sin(5ws1)+as2\times \sin(5ws2)\\\end{cases}}$

En posant $S1=\sin(w1s)$ et $S2=\sin(w2s)$,$C1=\cos(w1s)$ et $C2=\cos(w2s)$

${\begin{cases}y1s=as1\times S1+as2\times S2\\y2s=as1\times 2S1C1+as2\times 2S2C2\\y3s=as1\times S1(-1+4C1^{2})+as2\times S2(-1+4C2^{2})\\y4s=as1\times S1(8C1^{3}-4C1)+as2\times S2(8C2^{3}-4C2)\\y5s=as1\times S1(16C1^{4}-12C1^{2}+1)+as2\times S2(16C2^{4}-12C2^{2}+1)\end{cases}}$

En le considérant comme un système linéaire en $as1$ et $as2$, il faut que les déterminants suivants $Ds1$ , $Ds2$ , $Ds3$ soient nuls pour qu’il existe une solution :

${\begin{vmatrix}y1s&1&1\\y2s&2C1&2C2\\y3s&-1+4C1^{2}&-1+4C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Ds1=0$

${\begin{vmatrix}y2s&2C1&2C2\\y3s&-1+4C1^{2}&-1+4C2^{2}\\y4s&8C1^{3}-4C1&8C2^{3}-4C2\\\end{vmatrix}}=Ds2=0$

${\begin{vmatrix}y3s&-1+4C1^{2}&-1+4C2^{2}\\y4s&8C1^{3}-4C1&8C2^{3}-4C2\\y5s&16C1^{4}-12C1^{2}+1&16C2^{4}-12C2^{2}+1\\\end{vmatrix}}=Ds3=0$

Et enfin , après combinaison des lignes et simplification :

${\begin{vmatrix}y1s&1&1\\{\frac {y2s}{2}}&C1&C2\\{\frac {y3s+y1s}{4}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Ds1=0$

${\begin{vmatrix}{\frac {y2s}{2}}&1&1\\{\frac {y3s+y1s}{4}}&C1&C2\\{\frac {y4s+4{\frac {y3s+y1s}{4}}}{8}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Ds2=0$

${\begin{vmatrix}{\frac {y3s+y1s}{4}}&1&1\\{\frac {y4s+4{\frac {y3s+y1s}{4}}}{8}}&C1&C2\\{\frac {y5s+12{\frac {y4s+4{\frac {y3s+y1s}{4}}}{8}}-y1s}{16}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Ds3=0$

On se trouve ramené, pour résoudre les déterminants, à la méthode de cette page en faisant apparaître la somme S et le produit P de C1 et C2.

${\begin{cases}A1*P-A2*S+A3=0\\A2*P-A3*S+A4=0\\A3*P-A4*S+A5=0\\\end{cases}}$

En posant :

$y1s=A_{1},{\frac {y2s}{2}}=A_{2},{\frac {y3s+y1s}{4}}=A_{3},{\frac {y4s+4{\frac {y3s+y1s}{4}}}{8}}=A_{4},{\frac {y5s+12{\frac {y4s+4{\frac {y3s+y1s}{4}}}{8}}-y1s}{16}}=A_{5}$

${\begin{cases}A1*P-A2*S+A3=0\\A2*P-A3*S+A4=0\\A3*P-A4*S+A5=0\\\end{cases}}$

Ou encore :

${\begin{cases}-A1P+A2S=A3\\-A2P+A3S=A4\\-A3P+A4S=A5\\\end{cases}}$

Il suffit de résoudre ensuite au mieux par la méthode de cette page le système en S et P :

${\begin{pmatrix}-A_{1}&A_{2}\\-A_{2}&A_{3}\\-A_{3}&A_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P\\S\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{3}\\A_{4}\\A_{5}\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}-A_{1}&-A_{2}&-A_{3}\\A_{2}&A_{3}&A_{4}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-A_{1}&A_{2}\\-A_{2}&A_{3}\\-A_{3}&A_{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P\\S\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-A_{1}&-A_{2}&-A_{3}\\A_{2}&A_{3}&A_{4}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{3}\\A_{4}\\A_{5}\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}&-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}\\-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}&A_{2}^{2}+A_{3}^{2}+A_{4}^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}P\\S\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-A_{1}A_{3}-A_{2}A_{4}-A_{3}A_{5}\\A_{2}A_{3}+A_{3}A_{4}+A_{4}A_{5}\end{pmatrix}}$

${\begin{cases}P={\frac {\begin{pmatrix}-A_{1}A_{3}-A_{2}A_{4}-A_{3}A_{5}&-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}\\A_{2}A_{3}+A_{3}A_{4}+A_{4}A_{5}&A_{2}^{2}+A_{3}^{2}+A_{4}^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}&-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}\\-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}&A_{2}^{2}+A_{3}^{2}+A_{4}^{2}\end{pmatrix}}}\\S={\frac {\begin{pmatrix}A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}&-A_{1}A_{3}-A_{2}A_{4}-A_{3}A_{5}\\-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}&A_{2}A_{3}+A_{3}A_{4}+A_{4}A_{5}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}&-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}\\-A_{1}A_{2}-A_{2}A_{3}-A_{3}A_{4}&A_{2}^{2}+A_{3}^{2}+A_{4}^{2}\end{pmatrix}}}\end{cases}}$

Puis résoudre l'équation du second degré résultante construite à partir de $P$ et $S$ :

$X^{2}-SX-P=0$

On obtient $x_{1}$ et $x_{2}$ s'ils existent. Si non c’est que le système ne possède pas de solution au mieux :

$x_{1}=\cos(ws_{1})={\frac {-S+{\sqrt {S^{2}-4P}}}{2}}$

$x_{2}=\cos(ws_{2})={\frac {-S-{\sqrt {S^{2}-4P}}}{2}}$

Pour obtenir $as_{1}$ et $as_{2}$ il suffit de résoudre au mieux le système initial en $a_{1}$ et $a_{2}$ :

${\begin{pmatrix}\sin(ws_{1})&\sin(ws_{2})\\\sin(2ws_{1})&\sin(2ws_{2})\\\sin(3ws_{1})&\sin(3ws_{2})\\\sin(4ws_{1})&\sin(4ws_{2})\\\sin(5ws_{1})&\sin(5ws_{2})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}as_{1}\\as_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y1s\\y2s\\y3s\\y4s\\y5s\\\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}\sin(ws_{1})&\sin(2ws_{1})&\sin(3ws_{1})&\sin(4ws_{1})&\sin(5ws_{1})\\\sin(ws_{2})&\sin(2ws_{2})&\sin(3ws_{2})&\sin(4ws_{2})&\sin(5ws_{2})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sin(ws_{1})&\sin(ws_{2})\\\sin(2ws_{1})&\sin(2ws_{2})\\\sin(3ws_{1})&\sin(3ws_{2})\\\sin(4ws_{1})&\sin(4ws_{2})\\\sin(5ws_{1})&\sin(5ws_{2})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}as_{1}\\as_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin(ws_{1})&\sin(2ws_{1})&\sin(3ws_{1})&\sin(4ws_{1})&\sin(5ws_{1})\\\sin(ws_{2})&\sin(2ws_{2})&\sin(3ws_{2})&\sin(4ws_{2})&\sin(5ws_{2})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y1s\\y2s\\y3s\\y4s\\y5s\\\end{pmatrix}}$

${\begin{cases}as_{1}={\frac {\begin{pmatrix}\sin(ws_{1})y1s+\sin(2ws_{1})y2s+\sin(3ws_{1})y3s+\sin(4ws_{1})y4s+\sin(5ws_{1})y5s&\sin(ws_{1})\sin(ws_{2})+\sin(2ws_{1})\sin(2ws_{2})+\sin(3ws_{1})\sin(3ws_{2})+\sin(4ws_{1})\sin(4ws_{2})+\sin(5ws_{1})\sin(5ws_{2})\\\sin(ws_{2})y1s+\sin(2ws_{2})y2s+\sin(3ws_{2})3y3s+\sin(4ws_{2})y4s+\sin(5ws_{2})y5s&\sin(ws_{2})^{2}+\sin ^{2}(2ws_{2})+\sin ^{2}(3ws_{2})+\sin ^{2}(4ws_{2})+\sin ^{2}(5ws_{2})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sin ^{2}(ws_{1})+\sin(2ws_{1})^{2}+\sin(3s_{1})^{2}+\sin(4ws_{1})^{2}+\sin(5ws_{1})^{2}&+\sin(ws_{1})\sin(ws_{2})-\sin(2ws_{1})\sin(2ws_{2})+\sin(3ws_{1})\sin(3ws_{2})+\sin(4ws_{1})\sin(4ws_{2})+\sin(5ws_{1})\sin(ws_{2})\\+\sin(ws_{1})\sin(ws_{2})+\sin(2ws_{1})\sin(2ws_{2})+\sin(3ws_{1})\sin(3ws_{2})+\sin(4ws_{1})\sin(4ws_{2})+\sin(5ws1)\sin(5ws_{2})&\sin ^{2}(ws_{2})+\sin ^{3}(2ws_{2})+\sin ^{2}(3s_{2})+\sin ^{2}(4ws_{2})+\sin ^{(}5ws_{2})\end{pmatrix}}}\\as_{2}={\frac {\begin{pmatrix}\sin(ws_{1})^{2}+\sin(2ws_{1})^{2}+\sin(3ws_{1})^{2}+\sin(4ws_{1})^{2}+\sin(5ws_{1})^{2}&\sin(ws_{1})y1s+\sin(2s_{1})y2s+\sin(3ws_{1})y3s+\sin(4ws_{1})y4s+\sin(5ws_{1})y5s\\\sin(ws1)\sin(ws_{2})+\sin(ws1)^{2}\sin(ws_{2})^{2}+\sin(ws1)^{3}\sin(ws_{2})^{3}+\sin(ws1)^{4}\sin(ws_{2})^{4}+\sin(ws1)^{5}\sin(ws_{2})^{5}&\sin(ws_{2})y1s+\sin(ws_{2})^{2}y2s+\sin(ws_{2})^{3}y3s+\sin(ws_{2})^{4}y4s+\sin(ws_{2})^{5}y5s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sin(ws_{2})^{2}+\sin ^{2}(2ws_{2})+\sin ^{2}(3ws_{2})+\sin ^{2}(4ws_{2})+\sin ^{2}(5ws_{2})&\sin(ws_{1})\sin(ws_{2})+\sin(2ws_{1})\sin(2ws_{2})+\sin(3ws_{1})\sin(3ws_{2})+\sin(4ws1)\sin(4ws_{2})+\sin(5ws1)\sin(ws_{2})\\+\sin(ws1)\sin(ws_{2})+\sin(2s1)\sin(2ws_{2})+\sin(3ws1)\sin(3ws_{2})+\sin(4ws1)\sin(4ws_{2})+\sin(5ws1)\sin(5ws_{2})&\sin ^{2}(ws_{2})+\sin ^{3}(2ws_{2})+\sin ^{2}(3s_{2})+\sin ^{2}(4ws_{2})+\sin ^{(}5ws_{2})\end{pmatrix}}}\end{cases}}$

On voit qu’il sera intéressant pour éviter les erreurs d'employer des symboles du type $S_{ni}^{j}$ ou $S_{i}^{j}n$ pour $\sin ^{j}(nw_{i})$ afin de visualiser et manipuler facilement les formules.

Système à 5 équations au moins en sinus et un trou T : Recherche de 2 sinus au mieux et du trou

Soit les systèmes de 5 équations à résoudre au mieux construits à partir des 6 suivantes mais avec une des équations manquante à retirer :

${\begin{cases}y1s=as1\times \sin(1ws1)+as2\times \sin(1ws2)\\y2s=as1\times \sin(2ws1)+as2\times \sin(2ws2)\\y3s=as1\times \sin(3ws1)+as2\times \sin(3ws2)\\y4s=as1\times \sin(4ws1)+as2\times \sin(4ws2)\\y5s=as1\times \sin(5ws1)+as2\times \sin(5ws2)\\y6s=as1\times \sin(6ws1)+as2\times \sin(6ws2)\\\end{cases}}$

En posant $S1=\sin(w1s)$ et $S2=\sin(w2s)$,$C1=\cos(w1s)$ et $C2=\cos(w2s)$

${\begin{cases}y1s=as1\times S1+as2\times S2\\y2s=as1\times 2S1C1+as2\times 2S2C2\\y3s=as1\times S1(-1+4C1^{2})+as2\times S2(-1+4C2^{2})\\y4s=as1\times S1(8C1^{3}-4C1)+as2\times S2(8C2^{3}-4C2)\\y5s=as1\times S1(16C1^{4}-12C1^{2}+1)+as2\times S2(16C2^{4}-12C2^{2}+1)\\y6s=as1\times S1(32C1^{5}-32C1^{3}+6C1)+as2\times S2(32C2^{5}-32C2^{3}+6C2)\\\end{cases}}$

En le considérant comme un sytème linéaire en $as1$ et $as2$, il faut que les déterminants suivants $Ds1$ , $Ds2$ , $Ds3$ , $Ds4$ soient nuls pour qu’il existe une solution :

${\begin{vmatrix}y1s&1&1\\y2s&2C1&2C2\\y3s&-1+4C1^{2}&-1+4C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Ds1=0$${\begin{vmatrix}y2s&2C1&2C2\\y3s&-1+4C1^{2}&-1+4C2^{2}\\y4s&8C1^{3}-4C1&8C2^{3}-4C2\\\end{vmatrix}}=Ds2=0$

${\begin{vmatrix}y3s&-1+4C1^{2}&-1+4C2^{2}\\y4s&8C1^{3}-4C1&8C2^{3}-4C2\\y5s&16C1^{4}-12C1^{2}+1&16C2^{4}-12C2^{2}+1\\\end{vmatrix}}=Ds3=0$${\begin{vmatrix}y4s&8C1^{3}-4C1&8C2^{3}-4C2\\y5s&16C1^{4}-12C1^{2}+1&16C2^{4}-12C2^{2}+1\\y6s&32C1^{5}-32C1^{3}+6C1&32C2^{5}-32C2^{3}+6C2\\\end{vmatrix}}=Ds4=0$

Réduction et simplification des écritures des déterminants par combinaisons linéaires de lignes :

${\begin{vmatrix}y1s&1&1\\{\frac {y2s}{2}}&C1&C2\\{\frac {y3s+y1s}{4}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Ds1=0$${\begin{vmatrix}{\frac {y2s}{2}}&C1&C2\\{\frac {y3s+y1s}{4}}&C1^{2}&C2^{2}\\{\frac {y4s+4{\frac {y2s}{2}}}{8}}&C1^{3}&C2^{3}\\\end{vmatrix}}=Ds2=0$

${\begin{vmatrix}{\frac {y3s+y1s}{4}}&C1^{2}&C2^{2}\\{\frac {y4s+4{\frac {y2s}{2}}}{8}}&C1^{3}&C2^{3}\\{\frac {y5s+12{\frac {y3s+y1s}{4}}-y1s}{16}}&C1^{4}&C2^{4}\\\end{vmatrix}}=Ds3=0$${\begin{vmatrix}{\frac {y4s+4{\frac {y2s}{2}}}{8}}&C1^{3}&C2^{3}\\{\frac {y5s+12{\frac {y3s+y1s}{4}}-y1s}{16}}&C1^{4}&C2^{4}\\{\frac {y6s+32{\frac {y4s+4{\frac {y2s}{2}}}{8}}-6{\frac {y2s}{2}}}{32}}&C1^{5}&C2^{5}\\\end{vmatrix}}=Ds4=0$

Et enfin :

${\begin{vmatrix}y1s&1&1\\{\frac {y2s}{2}}&C1&C2\\{\frac {y3s+y1s}{4}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Ds1=0$${\begin{vmatrix}{\frac {y2s}{2}}&1&1\\{\frac {y3s+y1s}{4}}&C1&C2\\{\frac {y4s+4{\frac {y2s}{2}}}{8}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Ds2=0$

${\begin{vmatrix}{\frac {y3s+y1s}{4}}&1&1\\{\frac {y4s+4{\frac {y2s}{2}}}{8}}&C1&C2\\{\frac {y5s+12{\frac {y3s+y1s}{4}}-y1s}{16}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Ds3=0$${\begin{vmatrix}{\frac {y4s+4{\frac {y2s}{2}}}{8}}&1&1\\{\frac {y5s+12{\frac {y3s+y1s}{4}}-y1s}{16}}&C1&C2\\{\frac {y6s+32{\frac {y4s+4{\frac {y2s}{2}}}{8}}-6{\frac {y2s}{2}}}{32}}&C1^{2}&C2^{2}\\\end{vmatrix}}=Ds4=0$

D'où, en posant $S=\cos(ws1)+\cos(ws2)$ et $P=\cos(ws1)\times \cos(ws2)$ et en développant puis factorisant les déterminants, le système :

${\begin{cases}A1*P-A2*S+A3=0\\A2*P-A3*S+A4=0\\A3*P-A4*S+A5=0\\A4*P-A5*S+A6=0\end{cases}}$

On a posé pour une lecture plus commode :

${\begin{cases}A_{1}=y1s\\A_{2}={\frac {y2s}{2}}\\A_{3}={\frac {y3s+y1s}{4}}\\A_{4}={\frac {y4s+4{\frac {y2s}{2}}}{8}}\\A_{5}={\frac {y5s+12{\frac {y4s+4{\frac {y3s+y1s}{4}}}{8}}-y1s}{16}}\\A_{6}={\frac {y6s+32{\frac {y4s+4{\frac {y2s}{2}}}{8}}-6{\frac {y2s}{2}}}{32}}\\\end{cases}}$

Pour les systèmes considérés de cinq équations, une équation sur les 6 des systèmes ci-dessus est manquante. On adjoint au système l'équation manquante afin d'obtenir le système et les déterminants ci-dessus.

Le $y_{*}$ manquant sera nommé $T$ comme trou. On adjoint au système l'équation manquante afin d'obtenir le système et les déterminants ci-dessus.

On substitue dans les $A_{*}$, le symbole $T$ à $ys1,ys2,ys3,ys4,ys5$ ou $ys6$ selon l'équation manquante :

Démarche de résolution  :

• Trouver T par la méthode de résolution au mieux :
• En sélectionnant les équations contenant T parmi les 4 en S et P.
• En les réécrivant en isolant T dans un membre.
• En résolvant au mieuxle système ( dans le cas d'une inconnue au premier degré, cela revient à prendre la moyenne arithmétique des T )
• Puis remplacer T par la valeur trouvée dans les 6(ou 5?) équations.
• Puis résoudre au mieux en S et P le système obtenu.
• De là, poser l'équation du second degré en C. La résoudre.
• Puis remplacer ws1 et ws2 trouvés dans les 6 ( ou 5? ) équations.
• Enfin résoudre au mieux le système en as1 et as2

Cette méthode est extensible à un nombre supérieur d'équations à un trou.

Une méthode similaire est employée pour cinq équations lors de la présence de deux trous T1 et T2 ou plus. Il sera adjoint autant d'équations que de trous. la méthode est extensible et similaire aussi pour plus de cinq équations de base sans ou avec trou(s).