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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions : Retour sur la notion de "solution au mieux" Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Retour sur la notion de "solution au mieux" », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit un système d'équations qui ne possède pas de solution exacte :
{
F
1
(
x
)
=
k
1
F
2
(
x
)
=
k
2
⋮
F
i
(
x
)
=
k
i
⋮
F
n
(
x
)
=
k
n
{\displaystyle {\begin{cases}F_{1}(x)=k_{1}\\F_{2}(x)=k_{2}\\\vdots \\F_{i}(x)=k_{i}\\\vdots \\F_{n}(x)=k_{n}\\\end{cases}}}
Dont on veut trouver la solution au mieux
x
a
m
{\displaystyle x_{am}}
Considérons les
F
i
(
x
a
m
)
{\displaystyle F_{i}(x_{am})}
F
i
(
x
a
m
)
{\displaystyle F_{i}(x_{am})}
(
1
0
⋯
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
1
⋯
0
⋮
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
0
⋯
1
)
(
F
1
(
x
a
m
)
F
2
(
x
a
m
)
⋮
F
i
(
x
a
m
)
⋮
F
n
(
x
a
m
)
)
=
(
k
1
k
2
⋮
k
i
⋮
k
n
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0&\cdots &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F_{1}(x_{am})\\F_{2}(x_{am})\\\vdots \\F_{i}(x_{am})\\\vdots \\F_{n}(x_{am})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k_{1}\\k_{2}\\\vdots \\k_{i}\\\vdots \\k_{n}\end{pmatrix}}}
En multipliant les deux membres à gauche par la matrice vecteur unité :
(
1
1
⋯
1
⋯
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&\cdots &1&\cdots &1\end{pmatrix}}}
Σ
F
i
(
x
a
m
)
=
Σ
k
i
{\displaystyle \Sigma F_{i}(x_{am})=\Sigma k_{i}}
Ou encore :
Σ
(
F
i
(
x
a
m
)
−
k
1
)
=
0
{\displaystyle \Sigma \left(F_{i}(x_{am})-k_{1}\right)=0}
Ce qui est trivial mais confirme que les solutions au mieux sont telles que la somme algébrique des écarts
F
i
(
x
a
m
)
−
k
1
{\displaystyle F_{i}(x_{am})-k_{1}}
F
i
(
x
a
m
)
{\displaystyle F_{i}(x_{am})}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
.On peut aussi chercher à trouver la solution au mieux du système plus général :
Ce sont des systèmes d'équations comportant plus d'équations que d'inconnues , de la forme :
{
F
1
(
x
1
,
.
.
.
,
x
i
,
.
.
.
,
x
n
)
=
k
1
F
2
(
x
1
,
.
.
.
,
x
i
,
.
.
.
,
x
n
)
=
k
2
⋮
F
i
(
x
1
,
.
.
.
,
x
i
,
.
.
.
,
x
n
)
=
k
i
⋮
F
n
+
m
(
x
1
,
.
.
.
,
x
i
,
.
.
.
,
x
n
)
=
k
n
+
m
{\displaystyle {\begin{cases}F_{1}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{1}\\F_{2}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{2}\\\vdots \\F_{i}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{i}\\\vdots \\F_{n+m}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{n+m}\\\end{cases}}}
Ce sont aussi des systèmes n'ayant pas de solution exacte, voire au plus près :
Ce sont des systèmes d'équations de la forme :
{
F
1
(
x
1
,
.
.
.
,
x
i
,
.
.
.
,
x
n
)
=
k
1
F
2
(
x
1
,
.
.
.
,
x
i
,
.
.
.
,
x
n
)
=
k
2
⋮
F
i
(
x
1
,
.
.
.
,
x
i
,
.
.
.
,
x
n
)
=
k
i
⋮
F
n
+
0
(
x
1
,
.
.
.
,
x
i
,
.
.
.
,
x
n
)
=
k
n
+
0
{\displaystyle {\begin{cases}F_{1}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{1}\\F_{2}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{2}\\\vdots \\F_{i}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{i}\\\vdots \\F_{n+0}(x_{1},...,x_{i},...,x_{n})=k_{n+0}\\\end{cases}}}
La même méthode sera employée. Ceci est une extension de cette page Se référer pour les premiers exemples et analyses à cette page Il peut exister des systèmes à "trous",c'est-à-dire avec des équations manquantes. Une étude particulière sera menée plus tard.
