Recherche:Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Systèmes à fonctions Harmoniques Cosinus

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Systèmes à fonctions Harmoniques Cosinus
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Chapitre no 4
Recherche : Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions
Chap. préc. :Systèmes à fonctions Harmoniques Sinus
Chap. suiv. :Systèmes à fonctions Hyperboliques
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Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Systèmes à fonctions Harmoniques Cosinus
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Fonction (cosinus-1)[modifier | modifier le wikicode]
Système à 3 équations au moins en (cosinus-1) : Recherche d'un cosinus au mieux[modifier | modifier le wikicode]
Soit le système à résoudre au mieux :
D'où, en résolvant au mieux selon 1.2.1 de Modification de Recherche:Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions
  • Résolution au mieux en  :
ou
ou
ou
  • Résolution au mieux en  :
Il est possible d’utiliser la moyenne géométrique ou harmonique des ou des au lieu de la moyenne arithmétique, ceci par choix, par défaut ou pour explorer les différentes possibilités. Par la somme des moindres carrés des écarts il peut être retenu une valeur plutôt qu'une autre.
  • Dans tous les cas, déterminer selon  :
Là aussi il peut être envisagé le cas de la moyenne géométrique ou harmonique des au lieu de la moyenne arithmétique. Peut-être faut-il faire le même choix de type moyenne pour que pour et .
Système à 3 équations au moins en (cosinus-1) avec un trou T : Recherche d'un cosinus au mieux et du trou[modifier | modifier le wikicode]
Exemple 1 : soit le système à résoudre au mieux :
Avec un trou
Exemple 2 : soit le système à résoudre au mieux :
Avec un trou
Ces deux systèmes peuvent se résoudre normalement sans faire appel à l'équation du trou s'il existe une relation particulière entre les y :
Système 1 :
Système 2 :
Si non, introduire l'équation du trou T :
Exemple 1 :
Avec un trou
D'où : et en conséquence puis .
sera estimé au mieux par la méthode traditionnelle conduisant à la moyenne :
Exemple 2 :
D'où

et en conséquence puis .

sera estimé au mieux par la méthode traditionnelle conduisant à la moyenne :
Système à 5 équations au moins en (cosinus-1) : Recherche de 2 cosinus au mieux[modifier | modifier le wikicode]
Soit le système à résoudre au mieux :
En le considérant comme un sytème linéaire en et , il faut que les déterminants suivants soient nuls pour qu’il existe une solution :
Cela donne, avec et , et après simplification par et , les déterminants , et suivants :
REVOIR et CONSEQUENCES :
Et enfin , après combinaison des lignes et simplification :
On se trouve ramené à la Recherche:Méthode de résolution de systèmes d'équations non-linéaires à plusieurs inconnues en faisant apparaître la somme S et le produit P de C1 et C2.
avec
,,
Système à 5 équations au moins en (cosinus-1) avec un trou : Recherche de 2 cosinus au mieux et du trou[modifier | modifier le wikicode]
Soit les systèmes de 5 équations à résoudre au mieux construits à partir des 6 suivantes mais avec une des équations :
En posant et , et
En le considérant comme un système linéaire en et , il faut que les déterminants suivants , , , soient nuls pour qu’il existe une solution :
D'où, en posant et le système :
On a posé pour une lecture plus commode :
Pour les systèmes considérés de cinq équations, une équation sur les 6 des systèmes ci-dessus est manquante. On adjoint au système l'équation manquante afin d'obtenir le système et les déterminants ci-dessus.
Le manquant sera nommé comme trou. On adjoint au système l'équation manquante afin d'obtenir le système et les déterminants ci-dessus.
On substitue dans les , le symbole à ou selon l'équation manquante :
Démarche de résolution  :
  • Trouver T par la méthode de résolution au mieux :
  • En sélectionnant les équations contenant T parmi les 4 en S et P.
  • En les réécrivant en isolant T dans un membre.
  • En résolvant au mieuxle système ( dans le cas d'une inconnue au premier degré, cela revient à prendre la moyenne arithmétique des T )
  • Puis remplacer T par la valeur trouvée dans les 6(ou 5?) équations.
  • Puis résoudre au mieux en S et P le système obtenu.
  • De là, poser l'équation du second degré en C. La résoudre.
  • Puis remplacer wc1 et wc2 trouvés dans les 6 ( ou 5? ) équations.
  • Enfin résoudre au mieux le système en ac1 et ac2
Cette méthode est extensible à un nombre supérieur d'équations à un trou.
Une méthode similaire est employée pour cinq équations lors de la présence de deux trous T1 et T2 ou plus. Il sera adjoint autant d'équations que de trous. la méthode est extensible et similaire aussi pour plus de cinq équations de base sans ou avec trou(s).