Recherche:Quelques fonctions de répartition rpp-rde-rpe-Bêta sur un intervalle strictement borné/Fonctions rpp-Bêta symétriques

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On prendra pour faire les tables la variable réduite$X=x/a$ ce qui donnera comme bornes communes ( idem pour celles des intégrales ) non plus +a et -a mais +1 et -1

Première forme générale étudiée

Ce sont des produits multiples de racines carrées de puissances de polynômes du premier degré faisant intervenir les bornes des intervalles de définition considérés. La forme la plus simple et la plus utilisée est un produit de 2 racines carrées suivante :

${\beta }_p(x)=k[(a+x{)}^{\frac{2n+1}{2m}}{x}^{2l}(a-x{)}^{\frac{2n+1}{2m}}]e^{-k_s{x}^{2p}}$

Soit :

${\beta }_p(x)=k[(a^2-x^2{)}^{\frac{2n+1}{2m}}{x}^{2l}]e^{-k_s{x}^{2p}}$

avec k tel que l'intégrale de ${\beta }_p(x)$, ceci de -a à +a soit égale à 1 : ${\int }_{-a}^{+a}{\beta }_p(x)\mathrm{d}x=1$

avec $\frac{2n+1}{2m}>1$, irréductible.

Exemples

1er type

A$\beta 01$

${\beta }_p(x)A=k_A(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}$

B$\beta 21$

${\beta }_p(x)B=k_B{x}^2(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}$

C$\beta 03$

${\beta }_p(x)C=k_C(a^2-x^2{)}^{\frac{3}{2}}$

D$\beta 21$

${\beta }_p(x)d=k_D{x}^2(a^2-x^2{)}^{\frac{3}{2}}$

E$\beta 43$

${\beta }_p(x)C=k_C{x}^4(a^2-x^2{)}^{\frac{3}{2}}$

Calcul des k :

$k_A{\int }_{-a}^{+a}(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x=k_{A}I=[\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}{]}_{-a}^{+a}$

$k_A\frac{\pi a^2}{2}=1$

D'où

${\beta }_p(x)A=2\frac{(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}}{\pi a^2}$

$k_B{\int }_{-a}^{+a}{x}^2(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x=k_B[(x^2-2x)(\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}){]}_{-a}^{+a}$

$k_B\pi a^2=1$

D'où

${\beta }_p(x)B=x^2\frac{(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}}{\pi a^2}$

$k_C{\int }_{-a}^{+a}(a^2-x^2{)}^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x$ par développement limités de C/I

$k_C\frac{\pi a^2}{3}=1$

D'où

${\beta }_p(x)C=3\frac{(a^2-x^2{)}^{\frac{3}{2}}}{\pi a^2}$

2e type

A2

${\beta }_p(x)A=k_{A2}[(a^2-x^2{)}^{\frac{2k+1}{2}}]e^{-k_s{x}^2}$

soit la forme similaire de la Loi Normale centrée réduite de Gauss avec des coefficients exprimés autrement

Particularités

Les formes sont symétriques avec un seul maximum centré. Comme toutes les fonctions Bêta étudiées ici, les fonctions sont nulles pour a et -a et les tangentes en a et -a sont horizontales pour k>=0

Elles sont définies uniquement sur $[-a,a]$, ce qui est plus représentatif que les fonctions Bêta classiques dans les cas où les variables n'ont pas de sens ni d'existence en dehors d'un intervalle défini.

Par un changement d'inconnue $x=a\times sin(u)$, u variant de -pi/2 à +pi/2, ou bien $x=a\times cos(u)$, u variant de 0 à pi, le calcul de k devient aisé. On pourra voir si k est identique ( ou non ) pour une courbe asymétrique ayant le même maximum et le même intervalle de définition et ceci quel que soit le déport du sommet.

Il sera intéressant de faire tendre a vers infini et de comparer les écarts avec la courbe de Gauss

Formes équivalentes

Par changement d'origine ou fixation de a :

sur l'intervalle $[0,2a]$ :

$k((x)(2a-x){)}^{\frac{2n+1}{2m}}$

sur l'intervalle $[0,1]$ :

$k((x)(1-x){)}^{\frac{2n+1}{2m}}$

proches de la forme des fonction Bêta connues

Elles sont plus difficiles à traiter : un changement d'origine au milieu de l'intervalle permettra de se ramener à la forme de base et de mettre en évidence les propriétés particulières à ces fonctions symétriques.

Deuxième forme générale étudiée

Type 1 dôme étroit haut

${\beta }_{p_{\ast 1}}(x)=k_{\ast 1}[(a^2-x^2{)}^{\frac{2k+1}{2}}]e^{-\frac{k_s{x}^{2k_e}}{(a^2-x^2{)}^{\frac{2k+1}{2}}}}$

Exemples de base

${\beta }_{p_{\ast 1}}(x)=k_{\ast 1}[(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}]e^{-\frac{k_s{x}^2}{(a^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}}}$

${\beta }_{p_{\ast 1}}(x)=k_{\ast 1}[(a^2-(x-x_s{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}]e^{-\frac{k_s(x-x_s{)}^2}{(a^2-(x-x_s{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}}}$

Dont les plus simples réduites de type Gauss :

${\beta }_{p_{\ast 1}}(x)=k_{\ast 1}[(1^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}]e^{-\frac{x^2}{(1^2-x^2{)}^{\frac{1}{2}}}}$symétrique/

${\beta }_{p_{\ast 1}}(x)=k_{\ast 1}[(a^2-(x-x_s{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}]e^{-\frac{k_s(x-x_s{)}^2}{(a^2-(x-x_s{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}}}$asymétrique

Type 2 dôme large bas

${\beta }_{p_{\ast 2}}(x)=k_{\ast 2}\frac{(a^2-x^2{)}^{\frac{2k+1}{2}}}{x^{2k_e}}[1-e^{-\frac{k_s{x}^{2k_e}}{(a^2-x^2{)}^{\frac{2k+1}{2}}}}]$

${\beta }_{p_{\ast 2}}(x)=k_{\ast 2}\frac{(a^2-(x-x_s{)}^2{)}^{\frac{2k+1}{2}}}{(x-x_s{)}^{2k_e}}[1-e^{-\frac{k_s(x-x_s{)}^{2k_e}}{(a^2-(x-x_s{)}^2{)}^{\frac{2k+1}{2}}}}]$

Dont celles plus simples réduites :

${\beta }_{p_{\ast 2}}(x)=k_{\ast 2}\frac{(1^2-x^2{)}^{\frac{2k+1}{2}}}{x^{2k}}[1-e^{-\frac{x^{2k}}{(1^2-x^2{)}^{\frac{2k+1}{2}}}}]$symétrique

${\beta }_{p_{\ast 2}}(x)=k_{\ast 2}\frac{(1^2-(x-s{)}^2{)}^{\frac{2k+1}{2}}}{x^{2k}}[1-e^{-\frac{(x-s{)}^{2k}}{(1^2-x^2{)}^{\frac{2k+1}{2}}}}]$asymétrique