Recherche:Quelques fonctions de répartition rpp-rde-rpe-Bêta sur un intervalle strictement borné/Fonctions rpp-Bêta symétriques

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Quelques fonctions de répartition rpp-rde-rpe-Bêta sur un intervalle strictement borné/Fonctions rpp-Bêta symétriques
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On prendra pour faire les tables la variable réduite ce qui donnera comme bornes communes ( idem pour celles des intégrales ) non plus +a et -a mais +1 et -1

Première forme générale étudiée[modifier | modifier le wikicode]

Ce sont des produits multiples de racines carrées de puissances de polynômes du premier degré faisant intervenir les bornes des intervalles de définition considérés. La forme la plus simple et la plus utilisée est un produit de 2 racines carrées suivante :
Soit :

avec k tel que l'intégrale de , ceci de -a à +a soit égale à 1 :
avec , irréductible.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

1er type[modifier | modifier le wikicode]

A
B
C
D
E
Calcul des k :

D'où

D'où

par développement limités de C/I

D'où

2e type[modifier | modifier le wikicode]

A2
soit la forme similaire de la Loi Normale centrée réduite de Gauss avec des coefficients exprimés autrement

Particularités[modifier | modifier le wikicode]

Les formes sont symétriques avec un seul maximum centré. Comme toutes les fonctions Bêta étudiées ici, les fonctions sont nulles pour a et -a et les tangentes en a et -a sont horizontales pour k>=0
Elles sont définies uniquement sur , ce qui est plus représentatif que les fonctions Bêta classiques dans les cas où les variables n'ont pas de sens ni d'existence en dehors d'un intervalle défini.
Par un changement d'inconnue , u variant de -pi/2 à +pi/2, ou bien , u variant de 0 à pi, le calcul de k devient aisé. On pourra voir si k est identique ( ou non ) pour une courbe asymétrique ayant le même maximum et le même intervalle de définition et ceci quelque soit le déport du sommet.
Il sera intéressant de faire tendre a vers infini et de comparer les écarts avec la courbe de Gauss

Formes équivalentes[modifier | modifier le wikicode]

Par changement d'origine ou fixation de a :
sur l'intervalle  :
sur l'intervalle  :
proches de la forme des fonction Bêta connues
Elles sont plus difficiles à traiter : un changement d'origine au milieu de l'intervalle permettra de se ramener à la forme de base et de mettre en évidence les propriétés particulières à ces fonctions symétriques.

Deuxième forme générale étudiée[modifier | modifier le wikicode]

Type 1 dôme étroit haut[modifier | modifier le wikicode]

Exemples de base[modifier | modifier le wikicode]

Dont les plus simples réduites de type Gauss :
symétrique/
asymétrique

Type 2 dôme large bas[modifier | modifier le wikicode]

Dont celles plus simples réduites :
symétrique
asymétrique