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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Quelques fonctions de répartition rpp-rde-rpe-Bêta sur un intervalle strictement borné : Fonctions rpp-Bêta symétriques Quelques fonctions de répartition rpp-rde-rpe-Bêta sur un intervalle strictement borné/Fonctions rpp-Bêta symétriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On prendra pour faire les tables la variable réduite
X
=
x
/
a
{\displaystyle X=x/a}
idem pour celles des intégrales ) non plus +a et -a mais +1 et -1 Ce sont des produits multiples de racines carrées de puissances de polynômes du premier degré faisant intervenir les bornes des intervalles de définition considérés. La forme la plus simple et la plus utilisée est un produit de 2 racines carrées suivante :
β
p
(
x
)
=
k
[
(
a
+
x
)
2
n
+
1
2
m
x
2
l
(
a
−
x
)
2
n
+
1
2
m
]
e
−
k
s
x
2
p
{\displaystyle \beta _{p}(x)=k[(a+x)^{\frac {2n+1}{2m}}x^{2l}(a-x)^{\frac {2n+1}{2m}}]e^{-k_{s}x^{2p}}}
Soit :
β
p
(
x
)
=
k
[
(
a
2
−
x
2
)
2
n
+
1
2
m
x
2
l
]
e
−
k
s
x
2
p
{\displaystyle \beta _{p}(x)=k[(a^{2}-x^{2})^{\frac {2n+1}{2m}}x^{2l}]e^{-k_{s}x^{2p}}}
avec k tel que l'intégrale de
β
p
(
x
)
{\displaystyle \beta _{p}(x)}
∫
−
a
+
a
β
p
(
x
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{-a}^{+a}\beta _{p}(x)~\mathrm {d} x=1}
avec
2
n
+
1
2
m
>
1
{\displaystyle {\frac {2n+1}{2m}}>1}
A
β
01
{\displaystyle \beta 01}
β
p
(
x
)
A
=
k
A
(
a
2
−
x
2
)
1
2
{\displaystyle \beta _{p}(x)A=k_{A}(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}}
B
β
21
{\displaystyle \beta 21}
β
p
(
x
)
B
=
k
B
x
2
(
a
2
−
x
2
)
1
2
{\displaystyle \beta _{p}(x)B=k_{B}x^{2}(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}}
C
β
03
{\displaystyle \beta 03}
β
p
(
x
)
C
=
k
C
(
a
2
−
x
2
)
3
2
{\displaystyle \beta _{p}(x)C=k_{C}(a^{2}-x^{2})^{\frac {3}{2}}}
D
β
21
{\displaystyle \beta 21}
β
p
(
x
)
d
=
k
D
x
2
(
a
2
−
x
2
)
3
2
{\displaystyle \beta _{p}(x)d=k_{D}x^{2}(a^{2}-x^{2})^{\frac {3}{2}}}
E
β
43
{\displaystyle \beta 43}
β
p
(
x
)
C
=
k
C
x
4
(
a
2
−
x
2
)
3
2
{\displaystyle \beta _{p}(x)C=k_{C}x^{4}(a^{2}-x^{2})^{\frac {3}{2}}}
Calcul des k :
k
A
∫
−
a
+
a
(
a
2
−
x
2
)
1
2
d
x
=
k
A
I
=
[
a
2
2
a
r
c
s
i
n
x
a
+
x
2
(
a
2
−
x
2
)
1
2
]
−
a
+
a
{\displaystyle k_{A}\int _{-a}^{+a}(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}~\mathrm {d} x=k_{A}I=[{\frac {a^{2}}{2}}arcsin{\frac {x}{a}}+{\frac {x}{2}}(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}]_{-a}^{+a}}
k
A
π
a
2
2
=
1
{\displaystyle k_{A}{\frac {\pi a^{2}}{2}}=1}
D'où
β
p
(
x
)
A
=
2
(
a
2
−
x
2
)
1
2
π
a
2
{\displaystyle \beta _{p}(x)A=2{\frac {(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}}{\pi a^{2}}}}
k
B
∫
−
a
+
a
x
2
(
a
2
−
x
2
)
1
2
d
x
=
k
B
[
(
x
2
−
2
x
)
(
a
2
2
a
r
c
s
i
n
x
a
+
x
2
(
a
2
−
x
2
)
1
2
)
]
−
a
+
a
{\displaystyle k_{B}\int _{-a}^{+a}x^{2}(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}~\mathrm {d} x=k_{B}[(x^{2}-2x)({\frac {a^{2}}{2}}arcsin{\frac {x}{a}}+{\frac {x}{2}}(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}})]_{-a}^{+a}}
k
B
π
a
2
=
1
{\displaystyle k_{B}\pi a^{2}=1}
D'où
β
p
(
x
)
B
=
x
2
(
a
2
−
x
2
)
1
2
π
a
2
{\displaystyle \beta _{p}(x)B=x^{2}{\frac {(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}}{\pi a^{2}}}}
k
C
∫
−
a
+
a
(
a
2
−
x
2
)
3
2
d
x
{\displaystyle k_{C}\int _{-a}^{+a}(a^{2}-x^{2})^{\frac {3}{2}}~\mathrm {d} x}
k
C
π
a
2
3
=
1
{\displaystyle k_{C}{\frac {\pi a^{2}}{3}}=1}
D'où
β
p
(
x
)
C
=
3
(
a
2
−
x
2
)
3
2
π
a
2
{\displaystyle \beta _{p}(x)C=3{\frac {(a^{2}-x^{2})^{\frac {3}{2}}}{\pi a^{2}}}}
A2
β
p
(
x
)
A
=
k
A
2
[
(
a
2
−
x
2
)
2
k
+
1
2
]
e
−
k
s
x
2
{\displaystyle \beta _{p}(x)A=k_{A2}[(a^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}]e^{-k_{s}x^{2}}}
soit la forme similaire de la Loi Normale centrée réduite de Gauss avec des coefficients exprimés autrement Les formes sont symétriques avec un seul maximum centré. Comme toutes les fonctions Bêta étudiées ici, les fonctions sont nulles pour a et -a et les tangentes en a et -a sont horizontales pour k>=0
Elles sont définies uniquement sur
[
−
a
,
a
]
{\displaystyle [-a,a]}
Par un changement d'inconnue
x
=
a
×
s
i
n
(
u
)
{\displaystyle x=a\times sin(u)}
x
=
a
×
c
o
s
(
u
)
{\displaystyle x=a\times cos(u)}
Il sera intéressant de faire tendre a vers infini et de comparer les écarts avec la courbe de Gauss Par changement d'origine ou fixation de a :
sur l'intervalle
[
0
,
2
a
]
{\displaystyle [0,2a]}
k
(
(
x
)
(
2
a
−
x
)
)
2
n
+
1
2
m
{\displaystyle k((x)(2a-x))^{\frac {2n+1}{2m}}}
sur l'intervalle
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
k
(
(
x
)
(
1
−
x
)
)
2
n
+
1
2
m
{\displaystyle k((x)(1-x))^{\frac {2n+1}{2m}}}
proches de la forme des fonction Bêta connues
Elles sont plus difficiles à traiter : un changement d'origine au milieu de l'intervalle permettra de se ramener à la forme de base et de mettre en évidence les propriétés particulières à ces fonctions symétriques.
β
p
∗
1
(
x
)
=
k
∗
1
[
(
a
2
−
x
2
)
2
k
+
1
2
]
e
−
k
s
x
2
k
e
(
a
2
−
x
2
)
2
k
+
1
2
{\displaystyle \beta _{p_{*1}}(x)=k_{*1}[(a^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}]e^{-{\frac {k_{s}x^{2k_{e}}}{(a^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}}}}
β
p
∗
1
(
x
)
=
k
∗
1
[
(
a
2
−
x
2
)
1
2
]
e
−
k
s
x
2
(
a
2
−
x
2
)
1
2
{\displaystyle \beta _{p_{*1}}(x)=k_{*1}[(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}]e^{-{\frac {k_{s}x^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}}}}}
β
p
∗
1
(
x
)
=
k
∗
1
[
(
a
2
−
(
x
−
x
s
)
2
)
1
2
]
e
−
k
s
(
x
−
x
s
)
2
(
a
2
−
(
x
−
x
s
)
2
)
1
2
{\displaystyle \beta _{p_{*1}}(x)=k_{*1}[(a^{2}-(x-x_{s})^{2})^{\frac {1}{2}}]e^{-{\frac {k_{s}(x-x_{s})^{2}}{(a^{2}-(x-x_{s})^{2})^{\frac {1}{2}}}}}}
Dont les plus simples réduites de type Gauss :
β
p
∗
1
(
x
)
=
k
∗
1
[
(
1
2
−
x
2
)
1
2
]
e
−
x
2
(
1
2
−
x
2
)
1
2
{\displaystyle \beta _{p_{*1}}(x)=k_{*1}[(1^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}]e^{-{\frac {x^{2}}{(1^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}}}}}
symétrique/
β
p
∗
1
(
x
)
=
k
∗
1
[
(
a
2
−
(
x
−
x
s
)
2
)
1
2
]
e
−
k
s
(
x
−
x
s
)
2
(
a
2
−
(
x
−
x
s
)
2
)
1
2
{\displaystyle \beta _{p_{*1}}(x)=k_{*1}[(a^{2}-(x-x_{s})^{2})^{\frac {1}{2}}]e^{-{\frac {k_{s}(x-x_{s})^{2}}{(a^{2}-(x-x_{s})^{2})^{\frac {1}{2}}}}}}
asymétrique
β
p
∗
2
(
x
)
=
k
∗
2
(
a
2
−
x
2
)
2
k
+
1
2
x
2
k
e
[
1
−
e
−
k
s
x
2
k
e
(
a
2
−
x
2
)
2
k
+
1
2
]
{\displaystyle \beta _{p_{*2}}(x)=k_{*2}{\frac {(a^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}{x^{2k_{e}}}}[1-e^{-{\frac {k_{s}x^{2k_{e}}}{(a^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}}}]}
β
p
∗
2
(
x
)
=
k
∗
2
(
a
2
−
(
x
−
x
s
)
2
)
2
k
+
1
2
(
x
−
x
s
)
2
k
e
[
1
−
e
−
k
s
(
x
−
x
s
)
2
k
e
(
a
2
−
(
x
−
x
s
)
2
)
2
k
+
1
2
]
{\displaystyle \beta _{p_{*2}}(x)=k_{*2}{\frac {(a^{2}-(x-x_{s})^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}{(x-x_{s})^{2k_{e}}}}[1-e^{-{\frac {k_{s}(x-x_{s})^{2k_{e}}}{(a^{2}-(x-x_{s})^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}}}]}
Dont celles plus simples réduites :
β
p
∗
2
(
x
)
=
k
∗
2
(
1
2
−
x
2
)
2
k
+
1
2
x
2
k
[
1
−
e
−
x
2
k
(
1
2
−
x
2
)
2
k
+
1
2
]
{\displaystyle \beta _{p_{*2}}(x)=k_{*2}{\frac {(1^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}{x^{2k}}}[1-e^{-{\frac {x^{2k}}{(1^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}}}]}
symétrique
β
p
∗
2
(
x
)
=
k
∗
2
(
1
2
−
(
x
−
s
)
2
)
2
k
+
1
2
x
2
k
[
1
−
e
−
(
x
−
s
)
2
k
(
1
2
−
x
2
)
2
k
+
1
2
]
{\displaystyle \beta _{p_{*2}}(x)=k_{*2}{\frac {(1^{2}-(x-s)^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}{x^{2k}}}[1-e^{-{\frac {(x-s)^{2k}}{(1^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}}}]}
asymétrique
![{\displaystyle \beta _{p}(x)=k[(a+x)^{\frac {2n+1}{2m}}x^{2l}(a-x)^{\frac {2n+1}{2m}}]e^{-k_{s}x^{2p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6392f3cc379889403f8fae0ec1250e6150058036)
![{\displaystyle \beta _{p}(x)=k[(a^{2}-x^{2})^{\frac {2n+1}{2m}}x^{2l}]e^{-k_{s}x^{2p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50bcc6e1007ad07b296f516834af6218b0472d68)
![{\displaystyle k_{A}\int _{-a}^{+a}(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}~\mathrm {d} x=k_{A}I=[{\frac {a^{2}}{2}}arcsin{\frac {x}{a}}+{\frac {x}{2}}(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}]_{-a}^{+a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7942aaca670ed5b727cbb2a83147bc1aff5a54a7)
![{\displaystyle k_{B}\int _{-a}^{+a}x^{2}(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}~\mathrm {d} x=k_{B}[(x^{2}-2x)({\frac {a^{2}}{2}}arcsin{\frac {x}{a}}+{\frac {x}{2}}(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}})]_{-a}^{+a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8982ea5c0ce015711df82c849f421937b33d28)
![{\displaystyle \beta _{p}(x)A=k_{A2}[(a^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}]e^{-k_{s}x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d968eec7325c503f6bbdc1ae2ad0aa03132383ac)
![{\displaystyle [-a,a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ccbcece37f9ec0a4c6d396be3a143a0b76d5c1)
![{\displaystyle [0,2a]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b08e3fcbf44ed1c0caf67e303174216e621c27d)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle \beta _{p_{*1}}(x)=k_{*1}[(a^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}]e^{-{\frac {k_{s}x^{2k_{e}}}{(a^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df268079049d3d9d0898da677352e7fffe18e20)
![{\displaystyle \beta _{p_{*1}}(x)=k_{*1}[(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}]e^{-{\frac {k_{s}x^{2}}{(a^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88318ef4489f2bc87ee1ea39e5c61068b6533d88)
![{\displaystyle \beta _{p_{*1}}(x)=k_{*1}[(a^{2}-(x-x_{s})^{2})^{\frac {1}{2}}]e^{-{\frac {k_{s}(x-x_{s})^{2}}{(a^{2}-(x-x_{s})^{2})^{\frac {1}{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04dd19c242acd7ef4f96ff41bfa93bbb070a91f)
![{\displaystyle \beta _{p_{*1}}(x)=k_{*1}[(1^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}]e^{-{\frac {x^{2}}{(1^{2}-x^{2})^{\frac {1}{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed679f71f206229f16c954dce2f0033ffe518a4d)
![{\displaystyle \beta _{p_{*2}}(x)=k_{*2}{\frac {(a^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}{x^{2k_{e}}}}[1-e^{-{\frac {k_{s}x^{2k_{e}}}{(a^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54bac2ab439c863477c1bb4b8b7f8b643ccb3c6e)
![{\displaystyle \beta _{p_{*2}}(x)=k_{*2}{\frac {(a^{2}-(x-x_{s})^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}{(x-x_{s})^{2k_{e}}}}[1-e^{-{\frac {k_{s}(x-x_{s})^{2k_{e}}}{(a^{2}-(x-x_{s})^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f439150885ae51f1e9183cc2fd6e5c6b99277a)
![{\displaystyle \beta _{p_{*2}}(x)=k_{*2}{\frac {(1^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}{x^{2k}}}[1-e^{-{\frac {x^{2k}}{(1^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c725846282229ac507be5c8057d2cd1968e2d27e)
![{\displaystyle \beta _{p_{*2}}(x)=k_{*2}{\frac {(1^{2}-(x-s)^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}{x^{2k}}}[1-e^{-{\frac {(x-s)^{2k}}{(1^{2}-x^{2})^{\frac {2k+1}{2}}}}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b67d62c3b86a29538f55a3125e1a9cfd034a3f1b)
