Recherche:Quelques fonctions de répartition rpp-rde-rpe-Bêta sur un intervalle strictement borné/Fonctions rde-Bêta symétriques

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Forme générale

A VERIFIER CORRIGER éventuellement à cause du sommet

Ce sont des formes particulières : racine carrée d'une différence de carrés d'exponentielles paires. La forme la plus conventionnelle est la suivante, sans être la plus réduite :

$p(x)=k_{1}\times {\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\;\times (\mathrm {e} ^{-{\frac {2}{2n+1}}\times {\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{2}}-\mathrm {e} ^{-{\frac {2}{2n+1}}\times {\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{\sigma }}\right)^{2}})^{\frac {2n+1}{2}}$

avec ${\frac {2}{2n+1}}>1$

La forme la plus intéressante, proche d'une forme connue, est donnée pour $n=0$ :

$p(x)=k_{2}\times {\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\;\times (\mathrm {e} ^{-{\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{2}}-\mathrm {e} ^{-{\frac {2}{3}}\times {\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{\sigma }}\right)^{2}})^{\frac {3}{2}}$

$k_{1}$ et $k_{2}$ sont tels que les intégrales $P(x)$ des $p(x)$, ceci de $-a$ à $+a$ soient égales à 1 : $\int _{-a}^{+a}p(x)~\mathrm {d} x=1$

Il est judicieux de laisser les expressions non simplifiées pour voir ce que devient l’expression quand a tend vers l'infini.

Particularités

Les formes sont symétriques avec un seul maximum centré. Comme toutes les fonctions Bêta étudiées ici, les fonctions sont nulles pour a et -a et les tangentes en a et -a sont horizontales

Elles sont définies uniquement sur $[-a,a]$, ce qui est plus représentatif que les fonction Bêtas classiques dans les cas ou les variables n'ont pas de sens ni d'existence en dehors d'un intervalle défini.

Lorsque a augmente et tend vers infini, la fonction tend vers la fonction normale de Gauss centrée sur la moyenne m prise comme origine 0 (m=0).

$p(x)={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\;\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{2}}$

Ces fonctions sont donc beaucoup plus représentatives de la réalité physique