Recherche:Premiers éléments pour une nouvelle géométrie analytique intégrant l'actuelle/Définition de quelques éléments de base simples

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Droites et demi-droites des axes

Demi-droite Ox x>0

$y=0\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}$

En géométrie analytique classique, l'équation serait $y=0$, en y adjoignant l'inéquation : $x>=0$, soit un système. L'équation ci-dessus est équivalente au système.

Cela peut paraître simpliste mais cela est généralisable.

Demi-droite Ox' x<0

$y=0\times {\frac {\sqrt {-x}}{\sqrt {-x}}}$

Demi-droite Oy y>0

$x=0\times {\frac {\sqrt {y}}{\sqrt {y}}}$

Demi-droite Oy' y<0

$x=0\times {\frac {\sqrt {-y}}{\sqrt {-y}}}$

Droites x'Ox et y'Oy

x=0 ; y=0

Qui sont standard et ne changent pas, et s'intègre si et d'où :

$y=0=[0\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}]\times [0\times {\frac {\sqrt {-x}}{\sqrt {-x}}}]$

On a considéré qu’elles étaient la réunion, au sens de la théorie des ensembles, des demi-droites correspondantes et respectives Ox', Ox, Oy', Oy.

A la condition de respecter et d'appliquer la CONVENTION DE CETTE GEOMETRIE GENERALISEE qui devient nécessaire pour assouplir et réduire les calculs sans déformer la réalité :

${\sqrt {f(x,y)}}\times {\sqrt {f(-x,-y)}}=0$

ET

${\frac {{\sqrt {f(x,y)}}\times {\sqrt {f(-x,-y)}}}{{\sqrt {f(x,y)}}\times {\sqrt {f(-x,-y)}}}}=1$

seul cas possible de simplification peut-être en cas de radicaux opposés.

A VOIR

Ou ensemble vide ? Il s'agira de lever dilemme : on pourra par exemple poser x>0 et x<0 non nul pour les racines. Les "zéros devenant des valeurs exclues et non communes.

Ou compléter la convention si 0 est commun.

Les mathématiques des ensembles d'Evariste Gallois, enlevé dans la fleur de l'âge, et pour qui j’ai une pensée émue à cet instant, nous sera alors très utile. Celles des groupes et corps aussi par rapport à + x et /.

VOIR

Demi-droite x>0 y=1

$y=1\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}$

Fonction échelon

$y=[0\times {\frac {\sqrt {-x}}{\sqrt {-x}}}]\times [1\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}}]$

Les couples ( x,y ) situés sur la courbe répondent à l'annulation de l'un OU l'autre terme du produit X.

On observera que X équivalent à OU est le contraire de la convention opératoire utilisée en logique automatique mais la même qu'en mathématique des ensembles ( intersection et réunion ).

Mais il reste le dilemme pour $x=0$ . Ici $y=0$ et non 1, ce qui demanderait une petite modification de la formule de base ci-dessus.

Demi-droite Oy

$x=0\times {\frac {\sqrt {y}}{\sqrt {y}}}$

Point O

$(y-0\times {\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {x}}})+(x-0\times {\frac {\sqrt {y}}{\sqrt {y}}})=0$

Pour que la somme des deux termes soit nulle, il faut et il suffit que les deux termes de la somme + soient nuls simultanément ( l'un ET l'autre,indépendants au 0 près ), et donc que les couples (x,y) solutions répondent aux deux équations de Ox et Oy simultanément nulles ( ET pour intersection ). Seul le point O répond à cela.

On observera que + équivalent à ET est le contraire de la convention opératoire utilisée en logique automatique mais la même qu'en mathématique des ensembles ( intersection et réunion ).