Recherche:L'infini variable/Considération numérique

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Dans un monde sémantique (intelligent) un nombre n'est pas un chiffre. Tout comme une lettre n'est pas un mot. La distinction est fondamentale pour la suite de notre étude. Ainsi, La structure composite « 6473884 » a autant de sens que « gpupatù ». Les horizons correspondants ne sont pas compatibles logiquement et le transit de la variable est dissocié de l'antitransit. Il n'y a donc pas de construction ensemble-objet descriptible par un 1-hypercomplexe sur l'axe Δ.

Pour impliquer cette nuance, nous devons introduire la notion de résilience sémantique que nous comprendrons comme la capacité d'un ensemble-objet à se régénérer en cas de déviance : ajout ou suppression d'une partie manquante, endo-correction, ... Une faute d'orthographe est donc naturellement remarquable, ainsi que l'oubli d'un nombre dans une énumération. Rectifier une erreur peut-être le propre d'un système intelligent induisant un accès à l'intérieur de la structure. Errare humanum est, certes, mais corrigere deum est.

Remarque anodine ? Vraiment ? Sinon, comment pourrions-nous « corriger » un ensemble indénombrable ?

Résilience sémantique

Le principe de cette résilience se fonde sur l'« élasticité » du monde sémantique muni du principe de complétude qui établit la réalité sur la valeur logique médiane contradictoire, point stationnaire (à juste titre !) :

Un ensemble-objet est dit résilient si il est (ni-complet ; ni-incomplet) ∨ (soit-complet ; soit-incomplet)

Ce qui induit qu'il est dénombrable, puisque la partie « corrigée » est un ensemble-objet et produit une modification (+1 ou —1) sans affecter la stabilité. Ceci confirme que la valeur ί est non-nulle, voire jamais nulle, indiquant un ensemble parfait non-complétable et non-résilient. La perfection n'est pas de ce monde matériel.

Cette faculté, fondamentalement évolutive, permet d'élargir les horizons au fur et à mesure des besoins, et, qu'ainsi l'espace et le temps ne sont pas « figés » mais « flexibles », et que l'on peut toujours faire correspondre une distance linéaire et une durée de cycle pour conserver un espace-temps (un continuum).

∀[α , ω] ⊂ E : d(α , ω) = 1 ∧ t(α , ω) = 1 ⇒ m = 1

La base équilatérale du prisme spatial reste équivalente à la base circulaire du cylindre temporel qui forment le sphéroĩde spatio-temporel (triature du cercle). Si la distance est « infinie », le temps est « infini » à mobilité 1.Et dès lors que cet ensemble est stable et résilient, il est évolutif, ce qui détermine que les horizons ne sont pas « atteints » mais (ni-atteints ; ni-non-atteints) ou (soit-atteints ; soit-non-atteints).

∀[α , ω] ⊂ E ∧ m = 1 : [α , ω] = ]α , ω[ ⇔ ί = ± 1/12

Peuplement

Peuplement n'est pas population. Le vocable contient une nuance évolutive qui le distingue du second. Et la coloration évolutive implique la stabilité et la résilience. Une population infinie induit un volume infini, alors qu'un peuplement induit une loi qui maintiendrait la stabilité conformément à la résilience. Dès lors qu'un volume peut être peuplé, il devient dénombrable (contient des ensembles-objet). Cela revient à dire que l'ensemble est muni d'une loi iota variant par palier entre 1/12 et 1. Nous intégrons systématiquement l'antipeuplement au peuplement dans un ensemble fini. Par exemple, le fait de remplir un ensemble-patate avec des croix-éléments peuple la surface correspondante de « croix » noires qui dépeuplent la zone blanche correspondante. La loi iota normalise l'espace-temps conventionnel du premier tracé : durée nécessaire à sa réalisation. L'aire de la patate devient dénombrable, même si, théoriquement, on peut y écrire une infinité de croix. Ce qui, pratiquement est impossible car lié à la consistance de cette dernière.

Ainsi, pour coller un peu plus au titre de cette page, en est-il de même pour les nombres, dont l'ensemble sémantique les incluant tous est l'ensemble des nombres réels : $\mathbb {R}$, dont l'origine est liée au dénombrement, c'est-à-dire, au décompte d'une population. Toute civilisation intelligente, stable et résiliente, se doit de considérer le peuplement des volumes disponibles. Pour y parvenir, le premier travail est d'identifier, singulariser et habiller le premier ensemble-objet de la population correspondant aux caractères du peuplement.

On appelle unité le premier ensemble-objet stable d'un volume résilient

Cette unité est logiquement distincte d'une non-unité de l'ensemble indénombrable qui devient dès lors dénombrable, puisqu'il est possible de la « matérialiser » (consistance 1). Elle est 1-hypercomplexe puisqu'on peut lui accoupler un espace-temps qui décrit simultanément l'antimatérialisation du volume correspondant. Le point-pivot et le point final sont identifiables et le point stationnaire appréciable :

Soit E un ensemble indénombrable (infini) de volume V infini et résilient et 1 une unité stable alors
(E, 1) de volume (V, unité) est stable dénombrable et résilient : ί non-nul et ί → ξ

Cette unité est bien le plus petit ensemble-objet du volume correspondant. Sa correspondance spatiale est bien le plus petit élément fermé de l'espace : un triangle équilatéral. Sa correspondance temporelle est bien la plus petite boucle superposant deux états identiques : un cercle. Et le résultat spatio-temporel est bien un sphéroïde de l'axe Δ qui s’ouvre au point pivot et se referme au point final. Elle différencie sémantiquement le TOUT du RIEN et se définit bien comme (ni-TOUT ; ni-RIEN) ou (soit-TOUT ; soit-RIEN). Nous la qualifierons de base logique de structure hypercomplexe du volume correspondant.

Remplissage

Au fur et à mesure que la population s'accroit, le volume se remplit. On entend bien ici que la coloration logique s'inverse : ce qui était « blanc », devient « noir ». La description du changement se fait indifféremment, par symétrie hypercomplexe (sens et antisens). Cette modalité induit que toutes les valeurs intermédiaires sont occupées. Nous avons convenu d'appeler ceci un continuum : chaque « position » est accessible par une distance ou par une durée fonction de la mobilité.

Nous pouvons lier peuplement et remplissage grâce à la loi iota. Sur un plan sémantique, nous avons peuplement, dénombrable, quantique ; et remplissage indénombrable, continu entre début et fin. Tout ceci dépend de la « valeur » de l'unité choisie.

Si 1 est l'unité choisie du volume V, alors (E , n * 1) ⇔ (V , n unités)

Nous noterons qu'un volume nul est remplissable par une infinité d'unités nulles, ce qui est équivalent à une infinité de population nulle, pour laquelle la loi iota est nulle, la stabilité est infinie et la résilience nulle. Ce qui est du domaine de l'absolu non matériel. Et qu'un volume infini peut être rempli par une seule unité globale atteinte.

Nous distinguerons remplissage d'un volume fini et remplissage d'un volume variable.

Remplissage d'un volume fini

Pavage d'une surface architecturale, pixellisation d'une surface numérique, ... Il s'agit de décrire le peuplement d'un volume défini par des objets hypercomplexes. Les horizons origine et fin sont fixés par un point pivot et un point final entre lesquels on déplace un mobile continu de telle sorte que l'on puisse « suivre » le remplissage par une bijection sur l'axe Δ. On conçoit aisément que « l'évolution » du remplissage se lise également, par projections, sur l'axe spatial et sur l'axe temporel, soit dans le sens causal (remplissage), soit dans l'antisens (vidage).

Le résultat global est une description 1-hypercomplexe qui possède un point stationnaire « milieu ». Si v désigne l'unité de volume de l'espace V, il faut un ensemble E contenant un seul ensemble-objet pour le remplir totalement (resp. le vider). On ne peut pas décrire le remplissage de l'ensemble $\mathbb {R}$, bien que l'on puisse considérer qu'il soit un ensemble-objet (ait une dimension spatiale et temporelle). C'est ainsi que nous sommes incapables de définir le continuum de l'espace occupé. Il nous faut des « bornes infinies variables » de telle manière que cet ensemble soit isomorphe à un ensemble borné variable :

∀x ∈ $\mathbb {R}$, ∃n entier : n ≤ x < n + 1

Dès lors x appartient à un continuum (est logiquement défini dans un espace-temps). Ici, et seulement ici on peut affirmer qu'il existe un point stationnaire « milieu » dans le remplissage de l'intervalle. D'où :

$\mathbb {R}$ ⊂ $\mathbb {N}$

La résilience du volume correspondant indique que la borne de fin n'est pas atteinte, mais pratiquement atteinte dès que la consistance est « proche de 1 » et reste dans la limite de la stabilité.

Soit (V, v) un volume muni d'une unité de taille 1 (contenant),
alors il existe un ensemble (E, 1) de consistance presque 1 (contenu) et ε tel que
1 < v < 1 + ε, ε étant un élément déclencheur d'expansion, —1/12 < ε < +1/12

La goutte d'eau qui fait déborder le vase, en quelque sorte. Ou l'information de trop qui déclenche un mouvement d'humeur. Ou le caractère de trop qui nécessite un retour chariot.

Si (V, v) est un volume confiné alors (V, v — ε) ⊂ (V, v) ⊂ (V, v + ε)

La particularité de cet élément ε est d'être (ni-pivot ; ni-final) ou (soit-pivot ; soit-final} et d'appartenir au continuum (assurer la continuité de l'espace-temps). Et si nous rappelons que Δ est une section de Poincaré, ε apparait comme le marqueur de cette section et nous permet d'écrire que :

∀[α , ω] ⊂ $\mathbb {R}$ : [α , ω] = [ε] ∪ ]α , ω[ ∪ [ε]
et plus précisément [α → ω] = [ε_p] ∪ ]α , ω[ ∪ [ε_f] (p pour « pivot » et f pour « fin »)

On vérifie que cette partie finie 1-hypercomplexe est stable et résiliente, donc évolutive dans le sens ou dans l'antisens sur un déclencheur quantique ε. Et si nous rappelons que les valeurs intermédiaires entre α et ω parcourent des lobes autour de l'axe Δ mais progressent continûment selon des projections sur Δ, ce qui s'apparente à une onde, alors nous pouvons affirmer que ε est le corpuscule matériel apparent de l'espace qui lie, à intervalles « réguliers » le continuum d'espace-temps en évolution, comme l'attache des wagons d'un train sur les rails lie les wagons en transmettant la contrainte nécessaire au déplacement, confirmant ainsi cette proposition du physicien français Louis de Bröglie (1892 , 1987) : « Le comportement quantique des particules peut s'expliquer en supposant l'existence d'une onde qui les guide »

remplissage d'un volume variable

Puisque nous avons identifié le lien entre deux parties distinctes finies d'un volume quelconque, nous pouvons en faire varier les extrémités.

La partie stable [α , ω] étant 1-hypercomplexe, elle présente un point stationnaire imaginaire, dit « milieu » ayant la particularité de supporter le plan orthogonal contenant les projections des lobes. Ce point est « équidistant » dans l'espace et le temps, des deux extrémités. Il correspond à la position δ₆, intermédiaire de l'axe Δ. Nous pouvons « imaginer » une césure sur ce point qui conserverait la stabilité et la résilience.

[α → ω] = [ε_p] ∪ ]α , ω[ ∪ [ε_f] = [ε_p] ∪ ]α , δ₆[ ∪ [ε_O] ∪ ]δ₆ , ω[ ∪ [ε_f]

Nous obtenons ainsi une sorte de « trou » dans le tissu spatio-temporel par la présence d'un marqueur quantique interne d'expansion.

Si (V , [α → ω]) est un volume (resp. antivolume) d'unité [α → ω], alors (E , {ε_p , ε₀ , ε_f}) est l'ensemble (resp. antiensemble) unitaire correspondant

Nous comprenons alors que la « composition » de l'ensemble unitaire influe sur la quantité hypercomplexe du volume (nombre d'unités) dès lors que l'on ajoute (resp. retranche) ou insère (resp. enlève) des éléments de taille 1 dans les « trous » en maintenant la stabilité. Le mode de remplissage dépend donc du volume « disponible ». La variation de volume est liée à l'expansion numérique :

∀x ∈ $\mathbb {R}$, ∃n entier : n ≤ x < n + 1 ⇔ n + 1 ≤ x + 1 < n + 2, x + 1 ∈ $\mathbb {R}$ (resp. x — 1 ∈ $\mathbb {R}$)

L'ensemble correspondant E est composé de plusieurs unités de 3 éléments dont le comportement doit permettre un assemblage sémantique « continu » (pas de trous).

Dénombrement de $\mathbb {R}$

Nous pouvons désormais dénombrer l'ensemble des nombres réels si nous le munissons d'une unité hypercomplexe, c'est-à-dire continue dans l'espace, le temps et l'espace-temps, ce que nous avons précédemment qualifié de constructible.

Soit {$\mathbb {N}$ , n} l'ensemble quantique ordonné des nombres entiers et (V , [α → ω]) une unité hypercomplexe de taille 1, on a :
{$\mathbb {R}$ , n * [α → ω]} = {$\mathbb {R}$ , n * [ε_p] ∪ ]α , δ₆[ ∪ [ε_O] ∪ ]δ₆ , ω[ ∪ [ε_f]}

Dans un premier temps, on pose une relation entre le nombre d'unités peuplant un espace et sa représentation numérique, sans définir de « structure » (ordonnée). Nous savons seulement que le volume global varie avec le nombre d'unités hypercomplexes, sans que l'on puisse en faire une projection sur l'axe causal Δ. Le remplissage est, en quelque sorte, désordonné (accumulation), et le volume correspondant, infiniment variable (pas de fin). Si nous voulons obtenir un objet global, il nous faut « lier » les unités entre elles pour créer un continuum. C'est toute la différence entre des wagons et un train ; des lettres et un mot ; des chiffres et un nombre, des livres et une bibliothèque ...

Nous voulons que :

∀x ∈ $\mathbb {R}$ ∃n tel que n * [α → ω] ≤ x < (n + 1) * [α → ω]

Une chose est de « dénombrer », une autre est de « numéroter » (rendre accessible par une trajectoire).

De la nature de ε et de son rôle dans la continuité

Dans notre écriture ε apparait comme un ensemble-objet singularisé, identifié et habillé. Nous avons en effet ε_p, pivot, ε_f, final et ε₀, milieu stationnaire. Et ceci pose problème, puisque, en fait, ils n'apparaissent QUE dans la réalisation de l'unité définie comme [α → ω] et non indépendamment:

Si non-[α → ω], alors non-ε

Ce ne sont donc pas des objets au sens propre, ce qui correspond à leur statut de non-consistant (ξ < 1). Toutefois, ils occupent bien un rôle effectif.

Statut logique

À ce titre ils sont (ni-réels ; ni-imaginaires) ou (soit-réels ; soit-imaginaires). Leur statut reste à définir :

Si [α , ω] alors ε ou (ni-ε ; ni-non-ε)

Considérer un volume consistant 1-hypercomplexe est une réalité matérielle au sens où on s'en rend compte (on en a conscience). Il est singularisable, identifiable et habillable aux sens que nous avons utilisés. À ce titre, ce volume évolue entre deux horizons différentiables que l'on a fixés comme début et fin, marqués par des événements sur Δ. Mais notre problème ici, est « d'abstraire » ces événements du contexte global alors qu'ils n'ont pas une consistance 1 (ί = ± 1/12).

Toute notre démarche jusqu'ici a été d'affirmer la « solidité » d'un continuum d'espace-temps entre deux évènements distincts repérables sur un axe causal car il existe une trajectoire les reliant qui est parcourue par un mobile (resp. un antimobile) se déplaçant « en dehors » de cet axe. Contradictoirement, s'ils se déplaçaient « sur » cet axe, ils seraient repérables et l'on pourrait raisonner sur le nouvel intervalle créé. Nous avons admis une « limite » au découpage matériel qualifiée de plus petit élément matériel d'un espace. Ceci devrait nous permettre de sortir de l'indécision qui nous bloque sous la forme :

[α , ω] ⇔ {ε_p , ε₀ , ε_f}

nous permettant de considérer un objet global sous la forme équivalente d'un groupe de trois « objets » liés par une considération sémantique, ce qui résoudrait le statut logique exprimé supra. Pour fixer l'idée, on peut manipuler un segment géométrique dans sa globalité (pour en faire le côté d'un triangle) ou par ses points remarquables (pour en faire ressortir les sommets ou le milieu). Un point quelconque en dehors des précédents serait alors considéré comme (ni-ε ; ni-non-ε). Nous admettrons qu'il existe quelque chose de « solide » entre les ε. Ce qui est d'ailleurs conforme au principe de complétude et la résilience.

Chaque « élément » de l'objet global se présente donc comme une paire (élément - antiélément) qui est logiquement appareillée et disposée.

Statut spatial

Un « volume spatial », grandeur continue est nécessairement défini par une unité minimale hypercomplexe de taille 1. Sinon, il serait indénombrable (comme nous l'avons déjà considéré). Le remplissage, mesurable, suit une fonction bijective sur Δ. Le début et la fin sont des événements réels dont la lecture sur l'axe réel du plan complexe marque « l'histoire » de ce remplissage. Cette lecture est linéaire : on sait où elle commence et où elle finit et génère un avant et un après. On peut donc la rapporter à l'origine de l'axe.

Une unité matérielle se caractérise spatialement par une distance qui sert d'étalon de mesure topographique. L'infini se rapporte au dénombrement d'unités topographiques et la continuité se rapporte à la numérotation des unités raccordées. Si une unité matérielle est n-fractionnable (zoom fois n), il n'en reste pas moins que, chaque fraction est réduite à un 1-hypercomplexe (plus petite sous-unité obtenue) permettant de différencier les extrémités. Nous avons donc, à cet effet, choisi un fractionnement fictif par 12 de ce plus petit élément qui permet une numérotation des fractions, mais nous situe « en dehors » de l'axe causal, sur un plan normal, et un parcours de lobes. Un jeu de coordonnées fictives assure la continuité dans l'intervalle hypercomplexe (projections sur Δ et sur le plan normal).

Si cette identification réussit, nous sommes bien sur la bonne trajectoire :

Pour k ∈ {0 , ... , 12} si ε_k alors ε_k+1

Ceci pose un problème linéaire aux extrémités : ε₀ = ε_p ? ε₁₂ = ε_f ? Pour le résoudre, nous considérons les ε comme des 0-hypercomplexes de consistance inférieure à 1 (mais non nulle). Ce qui correspond à la loi de stabilité et aux règles d'hypersymétrie sur la trajectoire, et on raisonne, non plus sur l'élément seul, mais sur la paire d'éléments qui en résulte. Ceci revient à dire que l'on ne remplit pas un volume avec quelque chose, mais qu'on remplace un contenu (rien) par un autre (tout).

Soit [α , ω] une unité de volume : [α , ω] = {ε_p, ε₀ , ε_f}
ε_p|Δ = δ₀ , ε₀|Δ = δ₆ , ε_f|Δ = δ_{12 : d(δ0 → δ12) = +1 , d(δ12 → δ0) = —1}

Dans les deux cas nous avons bien : ε_p < ε₀ < ε_f et 0 < $d={\overline {d}}$ < 12.

Les projections sont toutes les deux sur le plan normal en ε₀ avec une valeur ί opposée, inférieure à 1 et non nulle. C'est une position neutre qui respecte la règle (ni-dans un sens ; ni-dans l'autre) ou (soit-dans un sens ; soit-dans l'autre) que nous choisirons comme origine de la numérotation spatiale.

Un ensemble dénombrable est spatialement numérotable si les milieux des unités adjacentes sont à distance 1. {εp.1 , ε0.1 , εf.1} ∪ {εp.2 , ε0.2 , εf.2} ⇒ d(ε0.1 , ε0.2) = +1 (resp.—1)

Ceci confère un statut identique à chacun des ε, chacun d'eux ayant un « triple visage ». On peut comprendre la différence entre un remplissage anarchique (non intelligent) et un remplissage méthodique (intelligent) qui répertorie les objets dans un volume minimal. le problème du représentant de commerce en est un parfait exemple.

Statut temporel

nous pouvons reproduire un schéma identique attaché à une boucle. La différence étant la considération cyclique qui différencie les éléments du pourtour et les répète « régulièrement » (à intervalles réguliers). Autrement dit, si nous avons choisi un point pivot, celui-ci est « systématiquement » point final, et le point stationnaire « diamétralement opposé ». La numérotation est étroitement liée au nombre de passages en ce point. Sans espace conjoint, le cercle est « vicieux » et l'évolution nulle. Avec un espace infini, l'évolution est infinie. Avec des horizons infiniment éloignés, on ne peut boucler un cycle (maitriser l'espace-temps) : operare rotas. Ni revenir en arrière : sator erarepo.

À partir du point milieu, la quantité de temps nécessaire pour rejoindre le point de départ (resp. arrivée) est la même. Il devrait donc être possible d'atteindre n'importe quel point intermédiaire en « déconnectant » l'avance spatiale corrélée. La mesure du temps (durée) ne semble avoir d'intérêt que si l'on peut constater une variation spatiale. Sinon, on « tourne en rond » ou on « se mord la queue ». La variation spatiale observée entre le début et la fin permet d'avoir « conscience » du changement qui permet à l'intelligence d'agir (décider). La décision, elle, peut intervenir dans l'intervalle et corriger l'erreur AVANT qu'elle se produise (anticipation).

Sur le cylindre générique temporel, les trajectoires (sens et antisens) ne se croisent jamais en dehors des points réels qui peuvent ainsi être considérés comme des « pôles ». Entre ces « pôles », les mobiles circulent sur leurs trajectoires et peuvent ainsi être considérés comme une « onde » produisant un « courant » et un « anticourant ». On remarque seulement que toutes les positions intermédiaires vérifient le statut logique 1-hypercomplexe et ont comme milieu le point stationnaire ε₀ localisé en δ₆ :

Si ε_p ≠ ε_f alors ∀k ∈ {0 , 12} : {ε_k , ε₀ , ε_12—k} = [δ_k , δ_12—k]

Ce qui induit l'idée que, même si les valeurs intermédiaires ne sont pas réelles, dès lors que l'on constate une variation spatiale, on a une variation continue entre les deux pôles, et donc, un continuum repérable sur Δ, assimilable aux projections δ. L'unité correspondante [α , ω] sera dite « pleine » et pourra être utilisée pour remplir complètement un « vide » axial si on peut « numéroter » leur enchainement.

Enchaînement continu

Et si elle est continue, ils seront au minimum trois termes, parce que le terme médian est pris deux fois, du fait qu’il est le terme conséquent d’un rapport et l’antécédent de l’autre.

Après avoir vérifié la nature 0-hypercomplexe de consistance < 1 non nulle en δ₆, on dispose d'une unité 12-fractionnable et d'une règle de numérotation par $\mathbb {N}$ qui devraient permettre un remplissage intelligent de notre volume repérable sur Δ. L'unité suivante (resp.précédente) (du fait de la valeur ί) est elle-même 12-fractionnable et doit vérifier :

∀k ∈ {1 , ... , 12} : d(δ_k.1 , δ_k.2) = 1

Concaténation

Le groupe formé par un antécédent et son conséquent' est un 2-hypercomplexe dont le pivot est le pivot du premier et le final, le final du dernier. Le point stationnaire, quant à lui, est devenu réel, c'est-à-dire observable sur Δ. Ce groupe est le plus assemblage matériellement fractionnable et numérotable, à la fois stable et résilient.

Le point ε₀ défini par {ε_f.1 , ε_p.2} (resp. {ε_p.1 , ε_f.2}) est appelé centre de gravité de la concaténation

Ceci nous donne une condition de continuité pour l'intervalle :

Deux objets numérotables sont raccordés dans un espace-temps si (et seulement si) ils ont un centre de gravité, il est alors 0-hypercomplexe de consistance < 1 non nulle

La composition duale du centre de gravité en fait un point stationnaire à partir duquel les deux extrémités sont à égale distance (symétriques) et vérifient la condition logique contradictoire d'appartenance au monde sémantique. Il vérifie également la définition logique du point intermédiaire. Ce groupe concaténé est le plus petit objet matériel muni d'un centre de gravité permettant de compléter des structures. Il prend la forme d'un empilement de prismes, de cylindres ou de sphéroïdes

[α_i , ω_i] ∪ [α_j , ω_j] = [α_k , ω_k] ⇔ j = i ± 1 ∧ {ω_i , α_j} centre de gravité

L'arrimage de deux wagons est un groupe concaténé que l'on peut manœuvrer « en bloc » dans un espace-temps ; le mot un également ; la suite 40-41 ...

Chaîne logique

Les conditions de continuité s'appliquent ainsi sur les structures spatiales, temporelles et spatio-temporelles. Nous sous-entendons ici : pas de rupture dans la réalisation. Nous rejoignons de ce fait, la définition intuitive décrite par sans lever le crayon. Ce qui suppose une « disponibilité » du volume permettant un « prolongement ». Si on arrive en bout de feuille ... l’horizon final est atteint. Or, nous nous posons ici le cas d'un accroissement infini d'un volume infiniment variable par sauts quantiques. Il faut aussi « avoir du temps devant soi » pour atteindre son but.

Pour parvenir à cette description, nous avons mis en place une sorte de chaine logique définie comme suit :
1- Dénombrement : choix d'une unité de référence pour le peuplement (1-hypercomplexe entre deux horizons quelconques dont la compacité spatiale et temporelle est non-fractionnable, ce qui assure une manipulation spatio-temporelle quasi-absolue).
2- Numérotation : qui offre une possibilité d'agencement intelligent et un suivi évolutif dans le temps permettant un suivi de la progression et une définition de la mobilité.
3- Raccordement : qui permet la « multiplication » unitaire de la mesure quantique, ouvrant la voie d'un contrôle ou d'une maitrise de l'évolution (chaque chose à sa place et en son temps). Construction et transmission.

Chaque « phase » dépend de la précédente et mène à la quatrième et dernière :

4- consolidation : pour la stabilité et la résilience, il faut assurer que le raccordement « tienne » dans le temps. Alors, et alors seulement, l'assemblage est constitué en « bloc » et on peut considérer la continuité de l'ensemble (c'est-à-dire définir une double liaison). L'expansion est repoussée aux extrémités. En effet, si l'arrimage « ne tient pas » le passage est impossible. Comment rejoindre un wagon mal relié à celui qui le précède ?

Une « rupture » de l'attelage provoque la sortie de l'espace-temps (perte de la continuité sur Δ).

Soit [a , b] un 2-hypercomplexe consolidé (muni d'un centre de gravité g 0-hypercomplexe)
avec ί_g = ± 1/12 ∧ [a , b] ⇔ {a , g , b} ⇔ [a , g^—] ∪ [g^— , g⁺] ∪ [g⁺ , b], [g^— , g⁺] étant non-fractionnable

[a , b] est le plus petit élément matériel utilisable pour construire un ensemble (remplir un volume) générateur de continuité sur l'intervalle (pas de trous). Le « passage » est alors direct entre les morceaux raccordés. De deux points géométriques, nous passons au plus petit segment composite utilisable en géométrie. De deux nombres consécutifs, nous passons à une unité de comptage. Nous utiliserons le centre de gravité (point à partir duquel la construction matérielle est possible) et les règles de symétrie pour définir notre unité volumique :

On appelle unité volumique l'élément-objet [a , b] = {a , g , b} tel que :
d(a , g) = d(g , b) = + 1 ; d(b , g) = d(g , a) = — 1 ; t(a , b) = 2π ; a , g , b soient contemporains (existent simultanément)

On vérifie que cette proposition est contradictoirement logique, satisfait à la réalité spatio-temporelle et constitue un espace métrique permettant de définir une topologie du remplissage (resp. vidage). L'intervalle correspondant entre les extrémités a et b est alors dit continu entre a et b (pas de trou).

Théorème de l'accroissement infini

Muni de notre unité basique matérielle, nous sommes maintenant en mesure de construire la topologie hypercomplexe) du remplissage (resp. vidage) par assemblage d'unités en continuité. Pour cela, nous respecterons la position du centre de gravité afin de ne pas déséquilibrer la structure. Ceci traduit l'idée que, si nous prolongeons dans le sens du remplissage, alors nous prolongeons également dans le sens du vidage. Cela parait « naturel ». Au cas où il faudrait « revenir en arrière ».

Topographie de l'unité continue

Avant toute chose, il nous faut dresser une carte globale de l'intervalle qui sépare les horizons restreints a et b. Nous savons l'unité composée d'un assemblage « solide » possédant un centre de gravité liant deux parties qui n'en possèdent pas. Par équivalence [a , b] = {a , g , b} nous savons que les seuls points réels, sur l'axe Δ sont a, g et b. Ils apparaissent sur cet axe et se présentent comme une section de Poincaré du plan normal contenant les positions intermédiaires. Ce sont les seules positions observables dans l'espace-temps pour lesquelles la mobilité peut être décrite. Comme une pierre faisant ricochet à la surface d'un lac. Tous les autres points sont en dehors de l'espace-temps (la surface).

Direction de la trajectoire en ε₀

Chaque tronçon de l'unité, logiquement séparé AVANT - APRÈS, est 1-hypercomplexe, possède un milieu imaginaire ε₀ (qui n'est pas centre de gravité) mais qui est point stationnaire entre le point initial pivot ε_p et le point final ε_f. ce qui permet d'écrire :

{a , g ,b} = {ε_p.1 , ε_0.1 , ε_f.1 , ε_p.2 , ε_0.2 , ε_f.2} = {ε_p.1 , ε_0.1 , [g^— , g⁺] , ε_0.2 , ε_f.2} (consolidation)

Nous pouvons donc affirmer (TAF) que la « direction » en ε₀ est parallèle à Δ (hors de l'espace-temps, mais parallèle à lui). La ligne décrivant le trajet de la pierre du ricochet en est une illustration au point haut. Ceci conforte la description spatiale du prisme générique et temporelle du cylindre, dans lesquels il y a une génératrice normale aux plans de section. La transformation en sphéroïde spatio-temporel induit l'idée que « l'aire » de la section varie entre 0 (aux extrémités) et un maximum (au point stationnaire). La variation étant continue. En effet, les points sur Δ correspondraient à une section nulle pour « coller » à la définition d'UNE dimension de l'espace classique (sans épaisseur). C'est la dérivabilité en [g^— , g⁺] qui pose problème.

Direction de la trajectoire en [g^— , g⁺]

Si nous pouvons définir logiquement la position exacte du centre de gravité par (ni-avant ; ni-après) ou (soit-avant ; soit-après) il n'en est pas de même de sa projection dans l'espace-temps (de sa réalité matérielle). En effet, il est 0-hypercomplexe de consistance 2/12, non seulement inobservable, mais aussi non-identifiable. Il n'y a pas d'équivalence [g^— , g⁺] = {g^— , g⁰ , g⁺} par exemple, ce qui impliquerait que g⁰ soit 0-hypercompexe de consistance nulle.

Le franchissement de l'espace-temps au centre de gravité fait penser à un « mur » comme celui du son. Nous serions en quelque sorte « de l'autre côté du miroir ». ET c'est ici, précisément, que nous devons être attentif à ne pas tomber dans la fiction (partir sur l'axe imaginaire Δ'. Quelle(s) possibilité(s) s'offre(nt) à la pierre qui arrive au contact de la surface de l'eau ?

Si on considère le centre de gravité comme le point final de la partie AVANT et le point pivot initial de la partie APRÈS, il nous faut comprendre qu'il est point de basculement conservant la mobilité. L'espace et le temps se prolongent en maintenant la stabilité. Ceci implique un « recouvrement » des deux objets constitutifs contradictoires en ce point provoquant une « annulation » de la valeur iota globale. Nous aurons alors un modèle du genre :

[g^— , g⁺] = {g^— , [g^— + g⁺] , g⁺} avec [g^— + g⁺] 0-hypercomplexe de consistance nulle

La superposition des trajectoires est parfaite en [g^— + g⁺] et nous permet de franchir la surface spatio-temporelle sans « réfraction ». Nous devons en conclure que la direction de la trajectoire est inchangée en ce point parfaitement neutre. L'angle d'incidence n'est pas nul ; ni droit.

Directions incidentes en ε_p.1 et ε_f.2

Pour compléter la description graphique, il nous reste à visualiser les trajectoires aux points de départ et d'arrivée. Continuité à droite et à gauche, sachant qu'un raccordement y est possible. Nous pouvons comprendre ceci comme l'impulsion nécessaire permettant de quitter l'espace-temps de δ₀ vers δ₁ (resp. d'y revenir). L'angle d'incidence n'y est logiquement (ni-nul ; ni-droit). Mais, il est identifiable comme (entre nul et droit). Cette description reste purement spéculative car nous quittons l'espace-temps au point pivot avec la seule intention d'aboutir au point final en passant par le point de basculement, indiquant que la « voie est bonne ». Pour bien comprendre ceci, imaginons notre segment minimal composé de deux objets imaginaires raccordés. Le tracer virtuellement nous indique que nous prenons une certaine direction (Δ) (anisotropie) ; que nous parcourons une certaine distance dans le premier point (non consistante) ; que nous franchissons le centre de gravité (consistance spatio-temporelle) ; et que nous parcourons une autre certaine distance dans le deuxième point avant d'arriver à destination.

Considérer un angle d'incidence nul revient à décrire un espace classique où les valeurs intermédiaires sont indénombrables, ce qui, contradictoirement, ne permet pas la numérotation et donc l'agencement pour un raccordement intelligent. Nous franchissons un vide sur Δ. La dérivée en tous points de la trajectoire est nulle. Aucun point n'est singularisable. La courbe est plate.

Considérer une pente infinie (angle droit) implique une durée infinie pour atteindre l'horizon final (distribution de Dirac). Le nombre de valeurs intermédiaires est nul et [a , b] est un 0-hypercomplexe de consistance ί nulle. Tous les points sont confondus avec le centre de gravité et ne génèrent ni espace, ni temps.

Il nous faut donc en déduire que la réalité physique est décrite à partir de la valeur ί s'accroissant par morceaux jusqu'à 1, horizon auquel l'équivalence consistance-taille se produit. Par conséquent, l'intervalle de réalité sur Δ contient un nombre fini (variable) de valeurs intermédiaires, numérotables, raccordables. Il est plein. Nous dirons qu'elle est (ni-classique ; ni-quantique) ou (soit-classique ; soit-quantique) dès lors qu'elle suit un axe causal, et se traduit par un angle d'incidence (ni-nul , ni-droit) et entre nul et droit. On ne peut décrire la réalité en restant dans l'espace classique, mais en quittant cet espace classique selon une trajectoire telle que nous pouvons décrire des positions quantiques qui aboutissent à l'horizon final. Ces positions quantiques sont numérotables et raccordables, donc continues et dérivables en tous points.

Si on considère les projections sur Δ de l'unité continue avec un angle d'incidence Θ, nous aurons :

∀j ∈ {1 , 2}, k ∈ {0 , ... , 12} : δ_k.j ∈ Δ ⇔ k ∈ {1 , 12} , j ∈ {1 , 2} ∧ g = [δ_12.1 , δ_1.2] = [0] avec ί = ± 1/12 ∧ O < Θ < π/2

Positionnement de l'unité continue

Dans une considération cyclique du temps, la position de l'unité est arbitraire. Elle permet seulement d'assurer la continuité cyclique en positionnant une numérotation du bouclage. Ceci nous indique que l'horizon final recouvre parfaitement l'horizon initial avec un angle d'incidence identique. Par conséquent, il n'y a pas de différences fondamentales entre le début, le milieu et la fin en termes de valeurs quantiques : le ί et le Θ sont les mêmes. Autrement dit, nous avons :

δ_1.1 = δ_12.2 = [0] avec ί = ± 1/12 ∧ O < Θ < π/2

Ceci se traduit, dans une considération linéaire de l'espace comme la possibilité de placer l'origine en n'importe quel endroit. L'équivalence par translation ou espace vectoriel. Notre unité fonctionne comme un vecteur muni d'un centre de gravité ou vecteur ponctuel de norme 1. Ce vecteur est hypercomplexe, c'est-à-dire qu'il fonctionne dans les deux sens à partir du centre de gravité (sens et antisens) simultanément : le mobile atteint la fin en même temps que l'antimobile atteint le début.

Ainsi, deux unités sont raccordables et consolidables sur Δ avec déplacement du centre de gravité. Δ est alors complétable ... indéfiniment par pas unitaires.

Si [a , b] = {a , g , b} est une unité vectorielle ponctuelle 1-hypercomplexe, alors :
[A , B] = n * [a , b] est continue, [A , B] = {A , G , B} avec
d(A , G) = d(G , B) = n * 1, t(A , G) = t(G , B) = n * 1, τ(A) = τ(B)

Sur cet intervalle, toutes les positions intermédiaires sont accessibles. L'ensemble correspondant est dénombrable, numérotable. Toute partie est dénombrable, numérotable et raccordable. Dès lors que des morceaux sont consolidés, ils forment une partie continue linéairement dans l'espace et cycliquement dans le temps. Cette partie est alors intégrable dans un continuum d'espace-temps. Elle n'est toutefois observable dans sa globalité qu'une fois l'horizon final atteint et peut servir, à son tour d'unité vectorielle globale.

À titre d'exemple, on peut compter jusqu'à 100 (resp. — 100). Ou compter 100 à partir de 42 (resp. — 100). Ou compter de 100 en 100 à partir de 0, 12 ou 524. On peut également étudier un mot lettre par lettre, syllabe par syllabe, former des phrases, puis des paragraphes, des chapitres, des livres, ...Ou encore composer un train à partir de wagons, puis raccorder deux trains. Ou encore, réaliser un puzzle à partir de n'importe quelle pièce, n'importe quel assemblage de pièces, le défaire, recommencer.

Présentation du théorème

Soit $E$ un ensemble indénombrable. Si cet ensemble n'est pas associé à un volume, nous ne pouvons pas définir d'unité de remplissage qui soit un ensemble-objet. Nous dirons que cet ensemble est théorique sans consistance matérielle et ne peut donc servir de modèle descriptif de la réalité. Il est donc nécessaire de le peupler d'au moins un élément de référence ayant une consistance qui le rend observable. Par exemple, un plan.

Soit donc u une unité de référence peuplant $E$. Nous dirons que $E$ est un ensemble de u qui est un ensemble-objet 1-hypercomplexe de consistance nulle ou 0-hypercomplexe de consistance 1, correspondant à la définition logique (n-l'un ; ni-l'autre) ou (soit-l'un ; soit-l'autre). Par exemple un point. $E$ devient sémantiquement non-dénombrable, il contient une infinité de u. Ainsi ($E$ , u) contient une infinité non-dénombrable de u 0-hypercomplexes de consistance 1 OU une infinité dénombrable de 1-hypercomplexes de consistance 0 (équivalence consistance-taille). Le dénombrement n'a de sens que si u est singularisable, identifiable et habillable.

Soit donc u₀ l'unité générique de $E$, à laquelle nous devons conférer une matérialité structurative, c'est-à-dire permettant de construire des structures composites. Par exemple O est LE point-origine du plan qui devient le plus petit élément générique consistant représentatif à partir duquel il sera possible de créer des grandeurs continues. ($E$ , u₀), par exemple ($P$ , O) est un plan muni d'un point-origine, isotrope, donc insuffisant pour pouvoir l'habiller. Toutefois, on crée une application de ($E$ , u₀) dans ($\mathbb {N}$ , n) telle que card$E$ = 1. Nous sommes isolés en u₀ (non connecté et non-connectable). Le premier travail est donc d'ouvrir une numérotation (créer un espace-temps).

Soit donc u_x une unité identique, distincte de u₀ que nous voudrions connecter et appartenir à $E$. Par exemple un point quelconque autre que O.

Lemme préliminaire

Deux éléments distincts x et y appartiennent au même ensemble ssi il existe une trajectoire qui les relie (connexion sémantique)

Par l'absurde, si l'on ne peut pas les relier dans $E$ ...

Ces deux éléments sont donc raccordables dans un espace-temps. Il existe une « distance » définie par un prisme générique et une « durée » définie par un cylindre générique, et l'ensemble des positions intermédiaires décrit un sphéroïde d'espace-temps. Mais cette liaison n'est pas matérialisable, elle reste imaginaire. Il nous faut la consolider pour stabiliser l'ensemble, c'est-à-dire munir le couple d'un centre de gravité, qui soit un point de basculement. Ceci signifie que les prismes, cylindres et sphéroïdes sont consolidés sur Δ. Ils ont quelque chose en commun qui soit (ni-de l'un ; ni-de l'autre) ou (soit-de l'un ; soit-de l'autre). D'où :

x et y appartiennent au même ensemble ssi [x , y] = {x , g , y} = [x , g] ∪ [g] ∪ [g , y], avec [g] 0-hypercomplexe de consistance < 1 non nulle (stabilité)

Les vecteurs ponctuels en x, g et y sont colinéaires. Par exemple, pour le plan ${\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AG}}$ et ${\overrightarrow {GB}}$.

Le couple (u₀ , u_x) est alors appelé unité structurative de $E$ qui sera représenté par le vecteur ponctuel ${\overrightarrow {g}}:(E,{\overrightarrow {g}})$

Transfert de réalité

L'application de ($E$ , u₀) dans ($\mathbb {N}$ , n) donne card$E$ = 1. Celle de ($E$ , (u₀ , u_x)) donne card$E$ = 2. Pourtant, les deux formes sont sémantiquement distinctes : la première n'a pas de réalité propre en tant qu'ensemble, alors que la seconde devient ensemble-objet possédant un centre de gravité. Nous dirons que la première est celle d'un ensemble imaginaire tandis que la seconde celle d'un ensemble réel. Il existe alors une application possible entre un ensemble réel et un volume physique telle que :

($E$ , (u₀ , u_x)), card$E$ = 2 → ($V$ , v), card$V$ = 1

Cette application est appelée transfert de réalité de $E$ vers $V$. L'unité structurative est alors « repérable » sur Δ. Par exemple une unité de mesure applicable au plan définissant une distance, une durée et une mobilité, qui sont les bases d'un continuum. Nous obtenons une forme ($P$ , O , ${\overrightarrow {i}}$, avec ‖${\overrightarrow {i}}$‖ = ± 1) pour notre plan qui ne tient compte que des événements sur Δ et non des valeurs intermédiaires hors Δ.

C'est pourquoi, nous devons remplacer ${\overrightarrow {i}}$ par l'abscisse curviligne du mobile sur sa trajectoire composée de ${\overrightarrow {grad}}$ et de ${\overrightarrow {rot}}$ décrivant le prisme spatial et le cylindre temporel. La continuité spatio-temporelle est assurée par le raccordement et la consolidation des projections δ sur Δ. Notre plan spatial est ainsi décrit par le plan normal à Δ, contenant les trajectoires des projections intermédiaires (les lobes). Tout point du plan est alors accessible dans l'espace-temps avec une composition de 3 ${\overrightarrow {grad}}$ et de 3 ${\overrightarrow {rot}}$ raccordés et consolidés à variation δ nulle (un triangle raccordé ponctuel). Chacune de ces composantes est un 1-hypercomplexe de consistance non-nulle, et possède donc un centre de gravité imaginaire.

Bien sûr, notre unité structurative est finie (les horizons existent). En quel cas l'accroissement est fini et la dérivabilité permet le raccordement consolidé.

Continuum ou discontinuum

Nous pouvons « dissocier » l'unité structurative en deux parties supplémentaires résultant de l'équivalence classico-quantique supra centrée sur le centre de gravité : [—a , g , +a] = {—a , g , +a} dans laquelle le premier membre est une continuité dite fluide et le second une continuité dite discrète. Ce que l'on peut facilement imaginer en regardant un segment tracé sur une feuille. Nous obtenons, en posant {—a , g , +a} = [—a] ∪ [g] ∪ [+a]:

[—a , g , +a] = ([—a] ∪ [g] ∪ [+a]) ∪ (]—a , g[ ∪ ]g , +a[)

La première partie est une suite ordonnée d'événements sur Δ ; la seconde partie est une suite ordonnée d'événements hors-Δ. Qui dit « ordonnée » dit bien dénombrable, numérotable, raccordée et consolidée, donc continue. Nous noterons au passage la structure logique de la partition vérifiant (ni-classique ; ni-quantique) ou (soit-classique ; soit-quantique).

Cette partition est importante car elle nous permet de bien comprendre le fonctionnement d'un continuum aux horizons et définir ainsi la dérivabilité en ces points dépendant du raccordement et de la consolidation d'éléments successifs qui viendraient développer l'étendue du continuum « derrière » les horizons. Prolonger le segment, ajouter une lettre, accrocher un wagon, …

Soient [—a , g , +a] et [—b , g' , +b] deux unités structuratives distinctes de norme 1
[—a , g , +a] ∪ [—b , g' , +b] est un continuum ssi [g , g'] est de norme 1 (voir supra)

Ce qui signifie que [g , g'] est une unité structurative (un 2-hypercomplexe) possédant également un centre de gravité propre et deux horizons. Nous en déduisons logiquement que :

si [g , g'] n'est pas de norme 1, [—a , g , +a] ∪ [—b , g' , +b] n'est pas un continuum
ou (soit-continuum ; soit-discontinum) (avec des conditions de raccordement)

La condition pour notre plan est, bien sûr, que la variation sur Δ de l'élément à raccorder soit nulle (on reste dans le plan normal).

Trou quantique

Un continuum dépend alors du raccordement consolidé des parties dont le nombre varie avec la numérotation. La progression se fait par saut quantique au fur et à mesure du prolongement d'une unité structurative. Cela signifie qu'en chaque point de la trajectoire hors Δ, la dérivée existe et que les angles d'incidence sont les mêmes, ainsi que la valeur iota.

∀a_k, g_k, b_k ∈ Δ, ί = ± 1/12 ∧ O < Θ < π/2

Il n'y a pas de « trous ». Le point final de l'un devient point pivot de l'autre (point de basculement). Le passage est instantané (0-hypercomplexe). Nous devons considérer les deux horizons 0 et π/2 de la variable Θ.

1- Pour Θ = 0 nous comprendrons que tous les points de la trajectoire sont sur Δ (fonction nulle) et que nous sommes dans un espace classique pour lequel mobilité équivaut à vitesse.

2- Pour Θ = π/2 nous comprendrons que nous quittons Δ ... sans espoir de retour (éloignement infini parallèlement à Δ'). Perdu dans l'imaginaire. Ce cas marquerait l'idée que le raccordement par saut quantique au pas suivant, n'est pas possible.

On appelle trou quantique le point final défini par [ak , bk[ = {ak , gk , bk}, bk : ί = — 1/12 ∧ Θ = π/2 ⇔ ]gk , bk[ infini non dénombrable

Nous avons placé la dernière pièce du puzzle. Le train est assemblé. Nous sommes au bout du continuum. Point final.

Énoncé

Soit ($E$ , (u0 , u1)), card$E$ = 2 associé à ($V$ , v), card$V$ = 1 un ensemble raccordable et consolidable n fois $E$ est infiniment accroissable si il est impossible de raccorder et consolider un élément n + 1 ∃x ∈ $E$ tel que n * [u0 , u1] ≤ x < (n + 1) * [u0 , u1]

Nous ne confondrons pas accroissement infini et expansion illimitée. La première intervient devant un trou quantique ; la seconde se produit au franchissement d'un saut quantique. Philosophiquement, le théorème pose le problème de la continuité de Δ et de la dérivabilité en tous points d'une trajectoire SUR et HORS de l'espace-temps. Sur un plan de fiction, il pose la question du franchissement d'un trou quantique, car, si nous y regardons de plus près, le TAI décrit une déformation gravitationnelle, une distorsion spatio-temporelle dans la seconde partie de la trajectoire quantique APRÈS le point stationnaire du dernier cycle : ]g , +a[.

Pour bien comprendre l'implication intellectuelle du théorème dans les ensembles de nombres il suffit de décrire le comportement de $\mathbb {R}$ si on le dissocie de ($\mathbb {N}$ , n), c'est-à-dire si on contraint l'expansion en-dessous de n. Ceci nous mène vers un monde de considérations fictionnelles, puisque, non seulement, nous avons suivi une trajectoire quantique guidée parallèlement à Δ qui admet l'idée que l'on puisse suivre cette trajectoire par analogie avec l'espace-temps, mais que nous identifions maintenant une possibilité de quitter ce « canal » grâce à l’accroissement infini ? Que devient la réalité quantique au voisinage d'un trou quantique ? Puis-je m'y plonger sans dommage ? Puis-je y entraîner mes lecteurs impunément ? À quel saint me vouer ?

Applications pratiques

Carré SATOR

Raccorder les carrés SATOR :

1- dans le plan

2- dans l'espace

En déduire une définition du tissu structurel

Pavage du plan

Considérons un plan hypercomplexe $P$ (défini comme un volume d'épaisseur nulle). Nous nous proposons de « tracer » ce plan normalement défini comme un ensemble indénombrable de points. Il est donc muni d'une unité de remplissage que nous prendrons comme la plus petite unité plane utilisable : le triangle équilatéral (prisme générique de hauteur nulle). Nous remarquons une équivalence de définition entre un plan classique (défini par 3 points distincts) et un plan hypercomplexe (défini par 3 vecteurs ponctuels consolidés non colinéaires). Cette unité est le pavé élémentaire p du plan. Nous avons ainsi une application de ($\mathbb {N}$ , n) dans ($P$ , n * p). Les pavés sont numérotables et raccordables. Le premier pavé est posé n'importe où (non localisé).

On suit la pose des pavés sur l'axe Δ, ce qui permet de « situer » la place de chacun dans le mode de remplissage. Notre horizon final est atteint lorsque nous avons posé n pavés (pas de contraintes). La continuité du plan ainsi défini est assurée par la consolidation des pavés :

Deux pavés sont consolidés ssi ils ont un côté vectoriel commun

Cela signifie bien que le troisième côté de l'un est le premier côté du suivant et qu'ils sont logiquement différentiables bien que confondus. Les parcours sont donc opposés.

On vérifie d'abord que tous les points du plan classique sont inclus dans un pavé (pas de manque). Puis que le premier centre de gravité réel apparait à la pose de 2 pavés consolidés. Enfin que, grâce à la triature du cercle, tous les points sont temporellement accessibles et font donc partie du continuum spatio-temporel.

∀ M ∈ $P$, ∃ r ∈ $\mathbb {N}$ : r * p ≤ M < (r + 1) * p

$P$ est ainsi infiniment accroissable. Et nous pouvons « suivre » la trajectoire de chaque position intermédiaire avant l'achèvement du pavé en fractionnant celle-ci en 12 pour l'affiner. Le résultat obtenu correspond bien à la définition logique d'un plan (ni-classique ; ni-quantique) ou (soit-classique ; soit-quantique). Nous avons par là, unifié les deux conceptions en apparence incompatibles.

Nous pouvons faire de même pour un volume. On s'assurera, au préalable, que la définition du tissu structurel correspond avec celle obtenu par le carré SATOR.

Ensembles de nombres

Après avoir vérifié la continuité de $\mathbb {N}$ :

1- Démontrer la continuité de $\mathbb {Q}$ (indication : on utilisera le fractionnement hypercomplexe)

2- En déduire que $\mathbb {R}$ ⊂ $\mathbb {Q}$

3- Démontrer que $\mathbb {R}$ peut être engendré par un nombre constructible quelconque (+ π).

4- Finalement en déduire que : ]—∞ , +∞[ ⊂ [n*(—1) , n*1]