Rayonnement électromagnétique/Potentiels retardés

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Dans ce chapitre nous allons procéder à une première résolution des équations de propagation des potentiels, en passant par les fonctions de Green. Les solutions que nous obtiendrons sont connues sous le nom des potentiels retardés.

Rappel des équations à résoudre

• $\Delta V-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

• ${\vec {\Delta }}{\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\vec {j}}$

avec $c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}$

Préparation aux potentiels retardés

Distribution de charges et de courants

Par définition de $\delta$ on a :

• $\rho ({\vec {r}},t)=\int \int \rho ({\vec {r}}',t')\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')\delta (t-t')d^{3}{\vec {r}}'dt'$
• ${\vec {j}}({\vec {r}},t)=\int \int {\vec {j}}({\vec {r}}',t')\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')\delta (t-t')d^{3}{\vec {r}}'dt'$

La fonction $\delta$

La fonction de Dirac doit être comprise dans le même sens que l'utilisation du $\delta$ de Kronecker dans une somme discrète.

En effet, elle permet, dans une intégrale, de ne garder que la valeur de la variable muette qui annule l'argument de la fonction $\delta$.

Fonctions de Green

Pour la suite on a besoin du résultat mathématique suivant.

On appelle fonction de Green, notée $G$ (qui peut être vectorielle), une fonction qui vérifie l'équation suivante :

$\Delta G-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial t^{2}}}=-\delta ({\vec {r}})\delta (t)$

Si $G$ est une fonction de Green, alors elle s'écrit :

$G({\vec {r}},t)={\frac {1}{4\pi |{\vec {r}}|}}\delta \left(t-{\frac {|{\vec {r}}|}{c}}\right)$

Potentiels retardés

Pour $V$

On a l'équation suivante :

• $\Delta V-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\epsilon _{0}}}\int \int \rho ({\vec {r}}',t')\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')\delta (t-t')d^{3}{\vec {r}}'dt'$

Ainsi $V({\vec {r}},t)={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\int \int \rho ({\vec {r}}',t')G({\vec {r}}-{\vec {r}}',t-t')\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'\mathrm {d} t'$

D'où :

$V({\vec {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \int \rho ({\vec {r}}',t'){\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\delta \left(t-t'-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}\right)\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'\mathrm {d} t'$

On peut donc en déduire quel l'intégrale temporelle s'annule tout le temps sauf si $t'=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}$, ainsi :

$V({\vec {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left({\vec {r}}',t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}\right)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

Cette dernière expression constitue l'expression potentiels retardés pour $V$

Pour ${\vec {A}}$

On a l'équation :

• ${\vec {\Delta }}{\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\int \int {\vec {j}}({\vec {r}}',t')\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')\delta (t-t')d^{3}{\vec {r}}'dt'$

Un raisonnement parfaitement similaire à la section précédente aboutit à l'expression des potentiels retardés pour ${\vec {A}}$

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}\left({\vec {r}}',t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}\right)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

Conclusion

On a donc partiellement résolu le problème posé en fin de chapitre précédent :

Si

• $\Delta V-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

• ${\vec {\Delta }}{\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\vec {j}}$

Alors

Début d’un théorème

Potentiels retardés

• $V({\vec {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho \left({\vec {r}}',t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}\right)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

• ${\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}\left({\vec {r}}',t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}\right)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

Ces expressions sont néanmoins bien trop complexes pour en faire quoi que ce soit immédiatement, il s'agira donc, dans les chapitres suivants, de justifier un certain nombre d'approximations qui permettent de les simplifier.

Fin du théorème