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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Rayonnement électromagnétique : Approximation champ lointain
Rayonnement électromagnétique/Approximation champ lointain », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans ce cours nous allons étudier une première approximation très classique, l'approximation champ lointain. Les solutions obtenues précédemment sont des solutions d'ondes sphériques, l’approximation champ lointain vise à se placer loin de la source pour approcher l'onde sphérique par une onde plane.
On rappelle l’équation des potentiels retardés établie à la fin du chapitre précédent :

On se place en régime monochromatique à la pulsation
.
Ainsi, toute grandeur
s'écrit
avec
l'amplitude complexe de
.
On a donc :
On constate donc que l'amplitude complexe de
vaut :
Il s'agit bien d'une onde sphérique : les équipotentielles sont telles que
sont constants, ces domaines décrivent ainsi bien des sphères.
On décide de se placer loin de la source, soit
la longueur caractéristique de la source, on a alors
(en effet
décrit la source).
Première hypothèse de l'approximation champ lointain
On est dans le cadre de
l’approximation champ lointain loin si

En norme, on a donc
.
On peut donc remplacer, au dénominateur
par
.
Au numérateur, on ne peut pas se contenter de l'ordre zéro.
En effet, comme
apparaît dans un terme de phase, il faut faire un développement limité à l'ordre 1, et on verra ensuite la condition pour que ce développement soit acceptable.
Calculons
:
au premier ordre.
Ainsi, en prenant la racine, on obtient, toujours au premier ordre :
avec
la direction d'observation.
Pour écrire cet approximation, il a fallu négliger le terme d'ordre 2 qui serait apparu dans la phase de l'exponentielle sous cette forme
Pour le négliger dans l'exponentielle, il faut qu'il soit très petit devant
(on parle de phase ici).
Ainsi :
D'où :
Hypothèses de l'approximation en champ lointain
On est dans le cadre de l’approximation en champ lointain si :


On obtient alors l'expression suivante :
Début d’un théorème
Expression du potentiel vecteur en champ lointain

Fin du théorème
Un raisonnement en tout point identique pour le potentiel scalaire aboutit à :
Début d’un théorème
Expression du potentiel scalaire en champ lointain

Fin du théorème