Rayonnement électromagnétique/Approximation champ lointain

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Dans ce cours nous allons étudier une première approximation très classique, l'approximation champ lointain. Les solutions obtenues précédemment sont des solutions d'ondes sphériques, l’approximation champ lointain vise à se placer loin de la source pour approcher l'onde sphérique par une onde plane.

Potentiels retardés en régime monochromatique

On rappelle l’équation des potentiels retardés établie à la fin du chapitre précédent :

• ${\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}\left({\vec {r}}',t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}\right)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

On se place en régime monochromatique à la pulsation $\omega$.

Ainsi, toute grandeur $X({\vec {r}},t)$ s'écrit $\mathrm {Re} (X({\vec {r}})e^{-i\omega t})$ avec $X({\vec {r}})$ l'amplitude complexe de $X$.

On a donc :

${\vec {A}}({\vec {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\vec {j}}\left({\vec {r}}',t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}\right)}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'=\mathrm {Re} \left({\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int {\vec {j}}({\vec {r}}'){\frac {e^{i{\frac {\omega }{c}}|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'\right)$

On constate donc que l'amplitude complexe de ${\vec {A}}$ vaut :

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\vec {j}}({\vec {r}}'){\frac {e^{i{\frac {\omega }{c}}|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

Il s'agit bien d'une onde sphérique : les équipotentielles sont telles que $|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|$ sont constants, ces domaines décrivent ainsi bien des sphères.

Approximation champ lointain

Première hypothèse

On décide de se placer loin de la source, soit $L$ la longueur caractéristique de la source, on a alors $|{\vec {r}}'|<L$ (en effet ${\vec {r}}'$ décrit la source).

Première hypothèse de l'approximation champ lointain

On est dans le cadre de l’approximation champ lointain loin si $|{\vec {r}}|>>L$

Conséquences

En norme, on a donc $|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|\simeq |{\vec {r}}|$.

On peut donc remplacer, au dénominateur $|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|$ par $|{\vec {r}}|$.

Au numérateur, on ne peut pas se contenter de l'ordre zéro.

En effet, comme $|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|$ apparaît dans un terme de phase, il faut faire un développement limité à l'ordre 1, et on verra ensuite la condition pour que ce développement soit acceptable.

Calculons $|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{2}$ :

$|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{2}={\vec {r}}^{2}-2{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}'+{\vec {r}}'^{2}=|{\vec {r}}|^{2}\left(1-2{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {r'}}}{|{\vec {r}}|^{2}}}+{\frac {|{\vec {r}}'|^{2}}{|{\vec {r}}|^{2}}}\right)\simeq |{\vec {r}}|^{2}\left(1-2{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {r'}}}{|{\vec {r}}|^{2}}}\right)$ au premier ordre.

Ainsi, en prenant la racine, on obtient, toujours au premier ordre :

$|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|=|{\vec {r}}|\left(1-{\frac {{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}'}{|{\vec {r}}|^{2}}}\right)=|{\vec {r}}|-{\vec {u}}\cdot {\vec {r}}'$ avec ${\vec {u}}={\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}$ la direction d'observation.

Pour écrire cet approximation, il a fallu négliger le terme d'ordre 2 qui serait apparu dans la phase de l'exponentielle sous cette forme ${\frac {\omega }{c}}{\frac {|{\vec {r}}'|^{2}}{\vec {r}}}$

Pour le négliger dans l'exponentielle, il faut qu'il soit très petit devant $2\pi$ (on parle de phase ici).

Ainsi :${\frac {\omega }{c}}{\frac {|{\vec {r}}'|^{2}}{\vec {r}}}\simeq k{\frac {L^{2}}{|{\vec {r}}|}}={\frac {2\pi }{\lambda }}{\frac {L^{2}}{|{\vec {r}}|}}<<2\pi$

D'où :

Hypothèses de l'approximation en champ lointain

On est dans le cadre de l’approximation en champ lointain si :

• $|{\vec {r}}|>>L$
• $|{\vec {r}}|>>{\frac {L^{2}}{\lambda }}$

Expression finale dans le cadre de l'approximation en champ lointain

On obtient alors l'expression suivante :

Début d’un théorème

Expression du potentiel vecteur en champ lointain

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int {\vec {j}}({\vec {r}}')e^{-ik{\vec {u}}\cdot {\vec {r}}'}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

Fin du théorème

Un raisonnement en tout point identique pour le potentiel scalaire aboutit à :

Début d’un théorème

Expression du potentiel scalaire en champ lointain

$V({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int \rho ({\vec {r}}')e^{-ik{\vec {u}}\cdot {\vec {r}}'}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

Fin du théorème