Leçons de niveau 15

Rayonnement électromagnétique/Approximation champ lointain

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Approximation champ lointain
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Chapitre no 3
Leçon : Rayonnement électromagnétique
Chap. préc. :Potentiels retardés
Chap. suiv. :Approximation dipolaire électrique
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Rayonnement électromagnétique/Approximation champ lointain
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Dans ce cours nous allons étudier une première approximation très classique, l'approximation champ lointain. Les solutions obtenues précédemment sont des solutions d'ondes sphériques, l’approximation champ lointain vise à se placer loin de la source pour approcher l'onde sphérique par une onde plane.

Potentiels retardés en régime monochromatique[modifier | modifier le wikicode]

On rappelle l’équation des potentiels retardés établie à la fin du chapitre précédent :

On se place en régime monochromatique à la pulsation .

Ainsi, toute grandeur s'écrit avec l'amplitude complexe de .

On a donc :

On constate donc que l'amplitude complexe de vaut :

Il s'agit bien d'une onde sphérique : les équipotentielles sont telles que sont constants, ces domaines décrivent ainsi bien des sphères.

Approximation champ lointain[modifier | modifier le wikicode]

Première hypothèse[modifier | modifier le wikicode]

On décide de se placer loin de la source, soit la longueur caractéristique de la source, on a alors (en effet décrit la source).


Conséquences[modifier | modifier le wikicode]

En norme, on a donc .

On peut donc remplacer, au dénominateur par .

Au numérateur, on ne peut pas se contenter de l'ordre zéro.

En effet, comme apparaît dans un terme de phase, il faut faire un développement limité à l'ordre 1, et on verra ensuite la condition pour que ce développement soit acceptable.

Calculons  :

au premier ordre.

Ainsi, en prenant la racine, on obtient, toujours au premier ordre :

avec la direction d'observation.

Pour écrire cet approximation, il a fallu négliger le terme d'ordre 2 qui serait apparu dans la phase de l'exponentielle sous cette forme

Pour le négliger dans l'exponentielle, il faut qu'il soit très petit devant (on parle de phase ici).

Ainsi :

D'où :


Expression finale dans le cadre de l'approximation en champ lointain[modifier | modifier le wikicode]

On obtient alors l'expression suivante :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Un raisonnement en tout point identique pour le potentiel scalaire aboutit à :

Début d’un théorème


Fin du théorème