Rayonnement électromagnétique/Approximation champ lointain

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Dans ce cours nous allons étudier une première approximation très classique, l'approximation champ lointain. Les solutions obtenues précédemment sont des solutions d'ondes sphériques, l’approximation champ lointain vise à se placer loin de la source pour approcher l'onde sphérique par une onde plane.

Potentiels retardés en régime monochromatique

On rappelle l’équation des potentiels retardés établie à la fin du chapitre précédent :

• $\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime },t-\frac{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}{c})}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

On se place en régime monochromatique à la pulsation $\omega$.

Ainsi, toute grandeur $X(\overrightarrow{r},t)$ s'écrit $\mathrm{R}\mathrm{e}(X(\overrightarrow{r})e^{-i\omega t})$ avec $X(\overrightarrow{r})$ l'amplitude complexe de $X$.

On a donc :

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{\overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime },t-\frac{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}{c})}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }=\mathrm{R}\mathrm{e}(\frac{{\mu }_0}{4\pi }{e}^{-i\omega t}\int \overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime })\frac{e^{i\frac{\omega }{c}|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime })$

On constate donc que l'amplitude complexe de $\overrightarrow{A}$ vaut :

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime })\frac{e^{i\frac{\omega }{c}|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Il s'agit bien d'une onde sphérique : les équipotentielles sont telles que $|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|$ sont constants, ces domaines décrivent ainsi bien des sphères.

Approximation champ lointain

Première hypothèse

On décide de se placer loin de la source, soit $L$ la longueur caractéristique de la source, on a alors $|{\overrightarrow{r}}^{\prime }|<L$ (en effet ${\overrightarrow{r}}^{\prime }$ décrit la source).

Première hypothèse de l'approximation champ lointain

On est dans le cadre de l’approximation champ lointain loin si $|\overrightarrow{r}|>>L$

Conséquences

En norme, on a donc $|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|\simeq |\overrightarrow{r}|$.

On peut donc remplacer, au dénominateur $|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|$ par $|\overrightarrow{r}|$.

Au numérateur, on ne peut pas se contenter de l'ordre zéro.

En effet, comme $|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|$ apparaît dans un terme de phase, il faut faire un développement limité à l'ordre 1, et on verra ensuite la condition pour que ce développement soit acceptable.

Calculons $|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^2$ :

$|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^2={\overrightarrow{r}}^2-2\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }+\overrightarrow{r}{\text{'}}^2=|\overrightarrow{r}{|}^2(1-2\frac{\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{r^{\prime }}}{|\overrightarrow{r}{|}^2}+\frac{|{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^2}{|\overrightarrow{r}{|}^2})\simeq |\overrightarrow{r}{|}^2(1-2\frac{\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{r^{\prime }}}{|\overrightarrow{r}{|}^2})$ au premier ordre.

Ainsi, en prenant la racine, on obtient, toujours au premier ordre :

$|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|=|\overrightarrow{r}|(1-\frac{\overrightarrow{r}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }}{|\overrightarrow{r}{|}^2})=|\overrightarrow{r}|-\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }$ avec $\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{r}}{|\overrightarrow{r}|}$ la direction d'observation.

Pour écrire cet approximation, il a fallu négliger le terme d'ordre 2 qui serait apparu dans la phase de l'exponentielle sous cette forme $\frac{\omega }{c}\frac{|{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^2}{\overrightarrow{r}}$

Pour le négliger dans l'exponentielle, il faut qu'il soit très petit devant $2\pi$ (on parle de phase ici).

Ainsi :$\frac{\omega }{c}\frac{|{\overrightarrow{r}}^{\prime }{|}^2}{\overrightarrow{r}}\simeq k\frac{L^2}{|\overrightarrow{r}|}=\frac{2\pi }{\lambda }\frac{L^2}{|\overrightarrow{r}|}<<2\pi$

D'où :

Hypothèses de l'approximation en champ lointain

On est dans le cadre de l’approximation en champ lointain si :

• $|\overrightarrow{r}|>>L$
• $|\overrightarrow{r}|>>\frac{L^2}{\lambda }$

Expression finale dans le cadre de l'approximation en champ lointain

On obtient alors l'expression suivante :

Début d’un théorème

Expression du potentiel vecteur en champ lointain

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}\int \overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime })e^{-ik\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }}{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Fin du théorème

Un raisonnement en tout point identique pour le potentiel scalaire aboutit à :

Début d’un théorème

Expression du potentiel scalaire en champ lointain

$V(\overrightarrow{r})=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{e^{ikr}}{r}\int \rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })e^{-ik\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }}{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Fin du théorème