Leçons de niveau 15

Rayonnement électromagnétique/Introduction et bases

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Introduction et bases
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Chapitre no 1
Leçon : Rayonnement électromagnétique
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Équations de Maxwell dans le vide[modifier | modifier le wikicode]

On considère des cas de propagation dans l'air. L'air possède les même propriétés électromagnétiques que le vide, on peut donc utiliser les équations de Maxwell microscopiques classiques :

Début d’un théorème


Fin du théorème

Potentiels[modifier | modifier le wikicode]

Potentiels[modifier | modifier le wikicode]

Les équations de Maxwell intrinsèques (sans les termes de source) nous permettent de définir le potentiel

L'équation de Maxwell-Thomson donne : , ainsi il existe un champ vectoriel tel que . On appelle un potentiel vecteur.

L'équation de Maxwell-Faraday donne ainsi :

d'où

Ainsi il existe un champ scalaire tel que

Jauge de Lorentz[modifier | modifier le wikicode]

Le champ est uniquement défini par son rotationnel, il n'est donc pas unique. Pour le fixer, on fait appelle à une jauge particulièrement pratique : la jauge de Lorentz.

Début d’un théorème


Fin du théorème


Propagation des potentiels[modifier | modifier le wikicode]

On a, d'après l'équation de Maxwell-Gauss :

d'où ainsi

Ensuite, d'après l’équation de Maxwell-Ampère :

Ainsi :

Finalement :

Ainsi on constate que la jauge de Lorentz permet de découpler les deux équations finales obtenues, ce qui donne :

Notation complexe et convention[modifier | modifier le wikicode]

Transformée de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

On se placera souvent en régime monochromatique dans le cadre de ce cours.

On va donc manipuler 4 variables : (variable de position), (variable de temps), (variable de vecteur d'onde), (variable de pulsation).

Les champs correspondant sont reliés par des transformations de Fourier :

Par soucis de concision, on notera préférentiellement sans le tilde.

"Fonction" de Dirac[modifier | modifier le wikicode]

On appelle "fonction" (plus précisément distribution) de Dirac, une "fonction" notée telle que pour toute fonction on a :

(élément neutre pour le produit de convolution)

On a donc :

et presque partout.

On peut donc voir comme une fonction nulle partout sauf en 0 où elle vaut pour avoir .

Transformée de Fourier d'une constante[modifier | modifier le wikicode]

L'égalité suivante est intéressante à retenir (et à retrouver) :

Pour la retenir, on peut remarquer qu'il doit s'agir du spectre d'une composante pure à la pulsation .