Rayonnement électromagnétique/Introduction et bases

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Équations de Maxwell dans le vide

On considère des cas de propagation dans l'air. L'air possède les mêmes propriétés électromagnétiques que le vide, on peut donc utiliser les équations de Maxwell microscopiques classiques :

Début d’un théorème

Équations de Maxwell microscopiques

• $\mathrm {div} {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$
• ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$
• ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
• $\mathrm {div} {\vec {B}}=0$

$\rho$ représente la distribution volumique de charge et ${\vec {j}}$ la densité volumique de courant électrique.

Fin du théorème

Potentiels

Potentiels

Les équations de Maxwell intrinsèques (sans les termes de source) nous permettent de définir le potentiel $({\vec {A}},V)$

L'équation de Maxwell-Thomson donne : $\mathrm {div} {\vec {B}}=0$, ainsi il existe un champ vectoriel ${\vec {A}}$ tel que ${\vec {B}}={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {A}}$. On appelle ${\vec {A}}$ un potentiel vecteur.

L'équation de Maxwell-Faraday donne ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$ ainsi :

${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {A}}}{\partial t}}$ d'où ${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left({\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)={\vec {0}}$

Ainsi il existe un champ scalaire $V$ tel que ${\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}V$

Jauge de Lorentz

Le champ ${\vec {A}}$ est uniquement défini par son rotationnel, il n'est donc pas unique. Pour le fixer, on fait appelle à une jauge particulièrement pratique : la jauge de Lorentz.

Début d’un théorème

Jauge de Lorentz

$\mathrm {div} {\vec {A}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial V}{\partial t}}=0$

Fin du théorème

Propagation des potentiels

On a, d'après l'équation de Maxwell-Gauss :

$\mathrm {div} {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$ d'où $-\mathrm {div} \left({\frac {\partial A}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}V\right)={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$ ainsi $\Delta V-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

Ensuite, d'après l’équation de Maxwell-Ampère :

${\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {B}}={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {A}}={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\mathrm {div} {\vec {A}}-{\vec {\Delta }}{\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Ainsi :

${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\mathrm {div} {\vec {A}}-{\vec {\Delta }}{\vec {A}}=\mu _{0}{\vec {j}}-\mu _{0}\epsilon _{0}\left({\frac {\partial {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}V}{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}\right)$

Finalement :

${\vec {\Delta }}{\vec {A}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\vec {j}}+{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\left(\mathrm {div} {\vec {A}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial V}{\partial t}}\right)$

Ainsi on constate que la jauge de Lorentz permet de découpler les deux équations finales obtenues, ce qui donne :

• $\Delta V-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

• ${\vec {\Delta }}{\vec {A}}-\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}{\vec {j}}$

Notation complexe et convention

Transformée de Fourier

On se placera souvent en régime monochromatique dans le cadre de ce cours.

On va donc manipuler 4 variables : ${\vec {r}}$ (variable de position), $t$ (variable de temps), ${\vec {k}}$ (variable de vecteur d'onde), $\omega$ (variable de pulsation).

Les champs correspondant sont reliés par des transformations de Fourier :

• ${\vec {A}}({\vec {r}},t)=\int \int {\tilde {\vec {A}}}({\vec {k}},\omega )e^{i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}{\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi }}{\frac {\mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}$

• ${\tilde {\vec {A}}}({\vec {k}},\omega )=\int \int {\vec {A}}({\vec {r}},t)e^{-i({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-\omega t)}\mathrm {d} t\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}$

Par soucis de concision, on notera préférentiellement ${\vec {A}}({\vec {k}},\omega )$ sans le tilde.

"Fonction" de Dirac

On appelle "fonction" (plus précisément distribution) de Dirac, une "fonction" notée $\delta ({\vec {r}})$ telle que pour toute fonction $f({\vec {r}})$ on a :

$\int _{\mathbb {R} ^{3}}f({\vec {r}}')\delta ({\vec {r}}'-{\vec {r}}_{0})\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'=f({\vec {r}}_{0})$ (élément neutre pour le produit de convolution)

On a donc :

$\int \delta (x)\mathrm {d} x=1$ et $\delta (x)=0$ presque partout.

On peut donc voir $\delta$ comme une fonction nulle partout sauf en 0 où elle vaut $+\infty$ pour avoir $\int \delta (x)\mathrm {d} x=1$.

Transformée de Fourier d'une constante

L'égalité suivante est intéressante à retenir (et à retrouver) :

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{ikx}\mathrm {d} x=2\pi \delta (k)$

Pour la retenir, on peut remarquer qu'il doit s'agir du spectre d'une composante pure à la pulsation $k$.