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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Rayonnement électromagnétique : Introduction et bases
Rayonnement électromagnétique/Introduction et bases », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère des cas de propagation dans l'air. L'air possède les mêmes propriétés électromagnétiques que le vide, on peut donc utiliser les équations de Maxwell microscopiques classiques :
Début d’un théorème
Équations de Maxwell microscopiques
*




représente la
distribution volumique de charge et

la
densité volumique de courant électrique.
Fin du théorème
Les équations de Maxwell intrinsèques (sans les termes de source) nous permettent de définir le potentiel
L'équation de Maxwell-Thomson donne :
, ainsi il existe un champ vectoriel
tel que
.
On appelle
un potentiel vecteur.
L'équation de Maxwell-Faraday donne
ainsi :
d'où
Ainsi il existe un champ scalaire
tel que
Le champ
est uniquement défini par son rotationnel, il n'est donc pas unique. Pour le fixer, on fait appelle à une jauge particulièrement pratique : la jauge de Lorentz.
Début d’un théorème
Jauge de Lorentz

Fin du théorème
On a, d'après l'équation de Maxwell-Gauss :
d'où
ainsi
Ensuite, d'après l’équation de Maxwell-Ampère :
Ainsi :
Finalement :
Ainsi on constate que la jauge de Lorentz permet de découpler les deux équations finales obtenues, ce qui donne :


On se placera souvent en régime monochromatique dans le cadre de ce cours.
On va donc manipuler 4 variables :
(variable de position),
(variable de temps),
(variable de vecteur d'onde),
(variable de pulsation).
Les champs correspondant sont reliés par des transformations de Fourier :


Par soucis de concision, on notera préférentiellement
sans le tilde.
On appelle "fonction" (plus précisément distribution) de Dirac, une "fonction" notée
telle que pour toute fonction
on a :
(élément neutre pour le produit de convolution)
On a donc :
et
presque partout.
On peut donc voir
comme une fonction nulle partout sauf en 0 où elle vaut
pour avoir
.
L'égalité suivante est intéressante à retenir (et à retrouver) :
Pour la retenir, on peut remarquer qu'il doit s'agir du spectre d'une composante pure à la pulsation
.