Rayonnement électromagnétique/Approximation dipolaire électrique

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Dans ce cours, nous allons préciser faire une nouvelle approximation, plus forte que l’approximation en champ lointain, qui permet de modéliser le rayonnement d'un dipôle électrique oscillant de moment dipolaire ${\vec {p}}$.

Notion de dipôle électrique

Cas discret

Moment dipolaire discret

Soit $N$ charges $q_{i}$ localisées à des position respectives ${\vec {r}}_{i}$. On appelle moment dipolaire (électrique), la grandeur vectorielle notée ${\vec {p}}$ définie par : ${\vec {p}}=\sum _{i=1}^{N}q_{i}{\vec {r}}_{i}$

Extension au cas continu

Dans le cas continu, la quantité infinitésimal de charge $\delta q$ s'écrit $\delta q=\rho ({\vec {r}}')\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$.

Ainsi $\mathrm {d} {\vec {p}}=\rho ({\vec {r}}'){\vec {r}}'\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$.

Moment dipolaire

Le moment dipolaire ${\vec {p}}$ est défini par :

${\vec {p}}=\int \rho ({\vec {r}}'){\vec {r}}'\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

Interprétation

Moment dipolaire

Le moment dipolaire décrit la répartition de charge d'un système.

Rayonnement d'un dipôle électrique oscillant

Rappel

On part de l'expression de ${\vec {A}}$ dans l’approximation champ lointain :

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int {\vec {j}}({\vec {r}}')e^{-ik{\vec {u}}\cdot {\vec {r}}'}\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

Hypothèses

On part déjà des hypothèses classiques de l'approximation en champ lointain : $|{\vec {r}}|>>L$ et $|{\vec {r}}|>>{\frac {L^{2}}{\lambda }}$.

On aimerait cette fois-ci écrire $e^{-ik{\vec {u}}\cdot {\vec {r}}'}\simeq 1$.

Pour ça il faut $k|{\vec {r}}'|\simeq {\frac {2\pi }{\lambda }}L<<2\pi$ d'où $\lambda >>L$.

De plus, on constate $|{\vec {r}}|>>{\frac {L^{2}}{\lambda }}$ implique $\lambda >>L$, on peut donc se contenter de cette dernière condition parmi les deux.

Approximation dipolaire électrique

On peut se placer dans l'approximation dipolaire électrique si les deux conditions suivantes sont réunies :

• $|{\vec {r}}|>>L$
• $\lambda >>L$

Expression du potentiel dans l'approximation dipolaire électrique

Avec ces conditions on a :

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\int {\vec {j}}({\vec {r}}')\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

Or, on a ${\vec {j}}({\vec {r}}')=\rho ({\vec {r}}'){\vec {v}}({\vec {r}}')={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}'}{\mathrm {d} t}}\rho ({\vec {r}}')=-i\omega {\vec {r}}'\rho ({\vec {r}}')$

Ainsi :

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}(-i\omega )\int \rho ({\vec {r}}'){\vec {r}}'\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$

Or, on a ${\vec {p}}=\int \rho ({\vec {r}}'){\vec {r}}'\mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}'$.

Ainsi :

Début d’un théorème

Potentiel vecteur en approximation dipolaire électrique

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr}}{r}}(-i\omega {\vec {p}})$

avec ${\vec {p}}$, le moment dipolaire électrique du dipôle oscillant à la pulsation $\omega$.

Fin du théorème