Rayonnement électromagnétique/Approximation dipolaire électrique

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Dans ce cours, nous allons préciser faire une nouvelle approximation, plus forte que l’approximation en champ lointain, qui permet de modéliser le rayonnement d'un dipôle électrique oscillant de moment dipolaire $\overrightarrow{p}$.

Notion de dipôle électrique

Cas discret

Moment dipolaire discret

Soit $N$ charges $q_i$ localisées à des position respectives ${\overrightarrow{r}}_i$. On appelle moment dipolaire (électrique), la grandeur vectorielle notée $\overrightarrow{p}$ définie par : $\overrightarrow{p}=\sum _{i=1}^N{q}_i{\overrightarrow{r}}_i$

Extension au cas continu

Dans le cas continu, la quantité infinitésimal de charge $\delta q$ s'écrit $\delta q=\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$.

Ainsi $\mathrm{d}\overrightarrow{p}=\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\overrightarrow{r}}^{\prime }{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$.

Moment dipolaire

Le moment dipolaire $\overrightarrow{p}$ est défini par :

$\overrightarrow{p}=\int \rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\overrightarrow{r}}^{\prime }{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Interprétation

Moment dipolaire

Le moment dipolaire décrit la répartition de charge d'un système.

Rayonnement d'un dipôle électrique oscillant

Rappel

On part de l'expression de $\overrightarrow{A}$ dans l’approximation champ lointain :

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}\int \overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime })e^{-ik\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }}{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Hypothèses

On part déjà des hypothèses classiques de l'approximation en champ lointain : $|\overrightarrow{r}|>>L$ et $|\overrightarrow{r}|>>\frac{L^2}{\lambda }$.

On aimerait cette fois-ci écrire $e^{-ik\overrightarrow{u}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }}\simeq 1$.

Pour ça il faut $k|{\overrightarrow{r}}^{\prime }|\simeq \frac{2\pi }{\lambda }L<<2\pi$ d'où $\lambda >>L$.

De plus, on constate $|\overrightarrow{r}|>>\frac{L^2}{\lambda }$ implique $\lambda >>L$, on peut donc se contenter de cette dernière condition parmi les deux.

Approximation dipolaire électrique

On peut se placer dans l'approximation dipolaire électrique si les deux conditions suivantes sont réunies :

• $|\overrightarrow{r}|>>L$
• $\lambda >>L$

Expression du potentiel dans l'approximation dipolaire électrique

Avec ces conditions on a :

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}\int \overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Or, on a $\overrightarrow{j}({\overrightarrow{r}}^{\prime })=\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })\overrightarrow{v}({\overrightarrow{r}}^{\prime })=\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}^{\prime }}{\mathrm{d}t}\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })=-i\omega {\overrightarrow{r}}^{\prime }\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })$

Ainsi :

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}(-i\omega )\int \rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\overrightarrow{r}}^{\prime }{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$

Or, on a $\overrightarrow{p}=\int \rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime }){\overrightarrow{r}}^{\prime }{\mathrm{d}}^3{\overrightarrow{r}}^{\prime }$.

Ainsi :

Début d’un théorème

Potentiel vecteur en approximation dipolaire électrique

$\overrightarrow{A}(\overrightarrow{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{e^{ikr}}{r}(-i\omega \overrightarrow{p})$

avec $\overrightarrow{p}$, le moment dipolaire électrique du dipôle oscillant à la pulsation $\omega$.

Fin du théorème