Résistance et impédance/Résistance

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Association série

Un circuit composé de plusieurs résistances ($R_{1}$, $R_{2}$,$R_{3}$, ..., $R_{n}$) connectées en série peut se réduire à une résistance unique équivalente $R_{eq}$, telle que :

Valeur de la résistance équivalente avec une association série

$R_{eq}=\sum _{k=1}^{n}R_{k}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+\cdots +R_{n}$

Début d'une démonstration

Démonstration

Toutes les résistances, puisqu'étant en série, sont obligatoirement parcourues par un même courant i :

• La résistance n^o 1 répond à la loi d'Ohm par : $u_{R_{1}}=R_{1}\times i$
• La résistance n^o 2 répond à la loi d'Ohm par : $u_{R_{2}}=R_{2}\times i$
• La résistance n^o 3 répond à la loi d'Ohm par : $u_{R_{3}}=R_{3}\times i$
• ...
• La résistance n^on répond à la loi d'Ohm par : $u_{R_{n}}=R_{n}\times i$

Pour la résistance équivalente :

• La résistance $R_{eq}$ répond à la loi d'Ohm par : $u_{R_{eq}}=R_{eq}\times i$

Le circuit nous permet d'écrire :

${\begin{cases}i_{R_{eq}}=i\\u_{R_{eq}}=u_{R_{1}}+u_{R_{2}}+u_{R_{3}}+\cdots +u_{R_{n}}\end{cases}}$

Ce qui, en y intégrant le courant, nous donne :

$R_{eq}\times i=R_{1}\times i+R_{2}\times i+R_{3}\times i+\cdots +R_{n}\times i$

$R_{eq}\times i=(R_{1}+R_{2}+R_{3}+\cdots +R_{n})\times i$

Et donc, en éliminant i des 2 côtés de l'équation :

$R_{eq}=R_{1}+R_{2}+R_{3}+\cdots +R_{n}$

Fin de la démonstration

Association parallèle

Un circuit composé de plusieurs résistances ($R_{1}$, $R_{2}$,$R_{3}$, ..., $R_{n}$) connectées en parallèle peut se réduire à une résistance unique équivalente $R_{eq}$, tel que :

Valeur de la résistance équivalent avec une association parallèle

$R_{eq}={\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{R_{k}}}}}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}}}$

Début d'une démonstration

Démonstration

Toutes les résistances, puisqu'étant en parallèle, sont obligatoirement soumises à la même tension u :

• La résistance n^o 1 répond à la loi d'Ohm par : $u=R_{1}\times i_{R_{1}}$
• La résistance n^o 2 répond à la loi d'Ohm par : $u=R_{2}\times i_{R_{2}}$
• La résistance n^o 3 répond à la loi d'Ohm par : $u=R_{3}\times i_{R_{3}}$
• ...
• La résistance n^on répond à la loi d'Ohm par : $u=R_{n}\times i_{R_{n}}$

Pour la résistance équivalente :

• La résistance $R_{eq}$ répond à la loi d'Ohm par : $u_{R_{eq}}=R_{eq}\times i_{R_{eq}}$

Le circuit nous permet d'écrire :

${\begin{cases}u_{R_{eq}}=u\\i_{R_{eq}}=i_{R_{1}}+i_{R_{2}}+i_{R_{3}}+\cdots +i_{R_{n}}\end{cases}}$

${\frac {i_{R_{eq}}}{u_{R_{eq}}}}={\frac {i_{R_{1}}+i_{R_{2}}+i_{R_{3}}+\cdots +i_{R_{n}}}{u}}$

${\frac {i_{R_{eq}}}{u_{R_{eq}}}}={\frac {i_{R_{1}}}{u}}+{\frac {i_{R_{2}}}{u}}+{\frac {i_{R_{3}}}{u}}+\cdots +{\frac {i_{R_{n}}}{u}}$

${\frac {1}{R_{eq}}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}$

$R_{eq}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}}}$

Fin de la démonstration

Particularité

Si on a 2 résistances en parallèle, ou si on travaille par groupes de 2 résistances en parallèle à la fois, on peut utiliser cette formule un peu plus rapide :

$R_{eq}={\frac {R_{1}\times R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

Association mixte

Il suffit tout simplement de travailler alternativement sur un groupe série et parallèle.

Exercices

Faites ces exercices : Association de résistances.

À partir de ce point vous pouvez faire, sans trop de problème, ces exercices.