Programmation linéaire/Exercices/Caractériser une région polygonale convexe donnée

Exercice

Caractériser la zone coloriée par un système d'inéquations linéaires.

Solution

En premier lieu, on constate qu'aucun $x$ négatif n'appartient à la zone : $x\geq 0$ est solution

De même, on constate qu'aucun $y$ négatif n'appartient à la zone : $y\geq 0$ est également solution

La droite passant par les points A et B est une frontière du polygone, donc cherchons son équation. Elle est de la forme $y=ax+b$:

${\begin{cases}4=a\times 0+b\\3=a\times 4+b\end{cases}}$

${\begin{cases}b=4\\3=a\times 4+b\end{cases}}$

${\begin{cases}b=4\\3=a\times 4+4\end{cases}}$

${\begin{cases}b=4\\a=-{\frac {1}{4}}\end{cases}}$

d'où l'équation : $y=-{\frac {1}{4}}x+4$

Le point de coordonnées (0,0) est solution de la zone dont la droite précédente est frontière :

$0?-{\frac {1}{4}}0+4$

$0?4$

$0<4$

Donc l'inéquation correspondante à la zone définie pour ce polygone est : $y<-{\frac {1}{4}}x+4$

La droite passant par les points B et C est une frontière du polygone, donc cherchons son équation. Elle est de la forme $y=ax+b$:

${\begin{cases}3=a\times 4+b\\0=a\times 6+b\end{cases}}$

${\begin{cases}3=a\times 4+b\\3-0=a\times 4-a\times 6+b-b\end{cases}}$

${\begin{cases}3=a\times 4+b\\3=a\times -2\end{cases}}$

${\begin{cases}3=a\times 4+b\\a=-{\frac {3}{2}}\end{cases}}$

${\begin{cases}3=-{\frac {3}{2}}\times 4+b\\a=-{\frac {3}{2}}\end{cases}}$

${\begin{cases}3=-6+b\\a=-{\frac {3}{2}}\end{cases}}$

${\begin{cases}b=9\\a=-{\frac {3}{2}}\end{cases}}$

d'où l'équation : $y=-{\frac {3}{2}}x+9$

Le point de coordonnées (0,0) est solution de la zone dont la droite précédente est frontière :

$0?-{\frac {3}{2}}0+9$

$0?9$

$0<9$

Donc l'inéquation correspondante à la zone définie pour ce polygone est : $y<-{\frac {3}{2}}x+9$

La définition du polygone est donc : ${\begin{cases}x\geq 0\\y\geq 0\\y\leq -{\frac {1}{4}}x+4\\y\leq -{\frac {3}{2}}x+9\end{cases}}$