Produit vectoriel/Exercices/Applications en physique

Football et effet Magnus

Une balle de football « travaillée » tourne sur elle-même à la vitesse angulaire $\omega =10$ tours par seconde.

Elle possède en outre une vitesse initiale $v_{0}$ de 28 m/s et une masse de 450 g. On supposera ${\vec {\omega }}\perp {\vec {v}}_{0}$.

1° On appelle « effet Magnus » la portance induite par la rotation de la balle ; elle se met sous la forme :

${\overrightarrow {F}}=k{\overrightarrow {\omega }}\wedge {\overrightarrow {v}}$,

où $k$ est une constante qui dépend de la balle. On prendra $k=2.10^{-3}\ {\text{kg.rad}}^{-1}$.

Calculer la force initiale ${\overrightarrow {F_{0}}}$.

2° Montrer que si l'on néglige le poids et la traînée (ce qui est une approximation très grossière), le mouvement est circulaire uniforme, et déterminer alors le rayon du cercle.

Indication (cf. cet exercice de calcul différentiel) : l'accélération ${\vec {a}}:={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}$ vérifie :

${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {v}}}{v}}$ et $\left\|{\vec {a}}\right\|^{2}=\left\|{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right\|^{2}+{\frac {v^{4}}{R^{2}}}$, où $R$ est le rayon de courbure de la trajectoire.

3° Calculer l'angle $({\vec {v}}_{0},{\overrightarrow {M_{0}M}})$ de déviation du ballon lorsqu'il arrive à 30 m de son point de départ $M_{0}$.

Solution

1° $({\vec {v}}_{0},{\vec {F}}_{0},{\vec {\omega }})$ est orthogonale directe et $F_{0}=k\omega v_{0}=2.10^{-3}\times 20\pi \times 28\approx 3{,}52\ \mathrm {N}$.

2° $m{\vec {a}}={\vec {F}}$ est orthogonal :

• à ${\vec {\omega }}$ donc ${\vec {v}}$ reste orthogonal à ${\vec {\omega }}$, donc le ballon reste dans un plan orthogonal à ${\vec {\omega }}$ ;
• à ${\vec {v}}$ donc (d'après l'indication) ${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=0$ et $R={\frac {mv^{2}}{F}}={\frac {mv}{k\omega }}={\frac {mv_{0}}{k\omega }}={\frac {0{,}45\times 28}{2.10^{-3}\times 20\pi }}\approx 100\ \mathrm {m}$.

3° La balle décrit, sur un cercle de rayon $R$, un arc dont la corde mesure $M_{0}M$.

Sa déviation est donc $2\arctan {\frac {M_{0}M/2}{R}}\approx 2\arctan {\frac {30}{200}}\approx 0{,}58\ {\text{rad}}$, soit environ 33°.