Produit scalaire dans le plan/Produit scalaire de deux vecteurs

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Produit scalaire

Définitions

Norme d'un vecteur

Définition

Soit ${\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {AB}}$

Sa norme, notée $||{\overrightarrow {u}}||$ est la longueur $AB$.

En vertu du théorème de Pythagore, si le vecteur $\scriptstyle {\vec {u}}$ a pour coordonnées $(x,y)$, sa norme s'écrit

$\|{\vec {u}}\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

En partant des points $A$ et $B$ du vecteur, s'ils ont pour coordonnées respectives $(x_{A},y_{A})$ et $(x_{B},y_{B})$ alors :

$\|{\overrightarrow {AB}}\|={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}.$

Propriété

• La norme d'un vecteur $||{\overrightarrow {u}}||\in \mathbb {R} ^{+}$
• $||{\overrightarrow {u}}||=0\leftrightarrow {\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {0}}$

Produit scalaire

Le produit scalaire est une opération qui se note $\cdot$, qui porte sur deux vecteurs et dont le résultat est un nombre réel (donc un scalaire).

Définition

On appelle produit scalaire de $\textstyle {\vec {u}}$ par $\textstyle {\vec {v}}$

le nombre réel noté ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ défini par :

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\times \|{\vec {v}}\|\times \cos({\vec {u}},{\vec {v}})$

Carré scalaire

Définition

Soit ${\vec {u}}$ un vecteur :

${\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=\|{\vec {u}}\|\times \|{\vec {u}}\|\times \cos({\vec {u}},{\vec {u}})=\|{\vec {u}}\|^{2}\times \cos(0)=\|{\vec {u}}\|^{2}$

Ce nombre est appelé carré scalaire de ${\vec {u}}$ et est aussi noté ${\vec {u}}^{2}$.

Remarques

• Si $A$, $B$ et $C$ sont trois points distincts, en posant ${\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {AB}}$ et ${\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {AC}}$ on a :

${\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}}=AB\times AC\times \cos({\widehat {BAC}})$

• Si $\textstyle {\vec {u}}$ et $\textstyle {\vec {v}}$ sont colinéaires de même sens alors :

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\times \|{\vec {v}}\|$

• Si $\textstyle {\vec {u}}$ et $\textstyle {\vec {v}}$ sont colinéaires de sens contraires alors :

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=-\|{\vec {u}}\|\times \|{\vec {v}}\|$

• Quel que soit le vecteur ${\vec {v}}$, on a ${\vec {0}}\cdot {\vec {v}}=0$

Propriétés

Soient ${\vec {u}}$, ${\vec {v}}$ et ${\vec {w}}$ trois vecteurs et $k$ un réel.

• Le produit scalaire est symétrique : ${\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}$

Démonstration

${\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {u}}$ $=\left|\left|{\overrightarrow {v}}\right|\right|\times \left|\left|{\overrightarrow {u}}\right|\right|\times \cos \left({\overrightarrow {v}},{\overrightarrow {u}}\right)$ $=\left|\left|{\overrightarrow {u}}\right|\right|\times \left|\left|{\overrightarrow {v}}\right|\right|\times \cos \left(-\left({\overrightarrow {u}},{\overrightarrow {v}}\right)\right)$ $=\left|\left|{\overrightarrow {u}}\right|\right|\times \left|\left|{\overrightarrow {v}}\right|\right|\times \cos \left({\overrightarrow {u}},{\overrightarrow {v}}\right)$ car la fonction cosinus est paire. $={\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}$

• Le produit scalaire est linéaire : ${\begin{cases}(k\times {\overrightarrow {u}})\cdot {\overrightarrow {v}}=k\times ({\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}})\\({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {w}})\cdot {\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {w}}\cdot {\overrightarrow {v}}\end{cases}}$
• Soient ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ deux vecteurs :

1.	$\left|\left|{\vec {u}}+{\vec {v}}\right|\right|^{2}$ $=\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}+2{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}$ $\Longleftrightarrow$ ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ $={\frac {1}{2}}\left(\left|\left|{\vec {u}}+{\vec {v}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}\right)$
2.	$\left|\left|{\vec {u}}-{\vec {v}}\right|\right|^{2}$ $=\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}-2{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}$ $\Longleftrightarrow$ ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$ $=-{\frac {1}{2}}\left(\left|\left|{\vec {u}}-{\vec {v}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}\right)$
3.	$\left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)\cdot \left({\vec {u}}-{\vec {v}}\right)$ $=\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}$

Démonstration de la 1ère formule

$\left|\left|{\vec {u}}+{\vec {v}}\right|\right|^{2}$ $=\left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)\cdot \left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)$ $={\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}$ par linéarité. $=\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}+2{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}$ par symétrie.

Produit scalaire et orthogonalité

Produit scalaire et orthogonalité

Début d’un théorème

Théorème

Soient ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ deux vecteurs.

${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont orthogonaux

si et seulement si

le produit scalaire ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0$

Fin du théorème

Remarque

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace. Ou bien deux vecteurs égal à 0 sont perpendiculaires

Produit scalaire et projeté orthogonal

Début d’un théorème

Théorème

Si $A$, $B$ et $C$ sont trois points du plan $\left(A\not =B\ {\text{et}}\ A\not =C\right)$

et si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $\left(AB\right)$ alors :

• ^{${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=AB\times AH$} si $H\in \left[AB\right)$
• ^{${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=-AB\times AH$} si $H\not \in \left[AB\right)$
• ^{${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0$} si $H=A$

Fin du théorème

Démonstration

${\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}}$ $={\overrightarrow {AB}}\cdot \left({\overrightarrow {AH}}+{\overrightarrow {HC}}\right)$ (Chasles) $={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AH}}+{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {HC}}$ par linéarité. $={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AH}}$ car ${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {HC}}=0$ car ${\overrightarrow {HC}}\bot {\overrightarrow {AB}}$ car $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $\left(AB\right)$

Calcul d'un produit scalaire analytiquement

Début d’un théorème

Théorème

Soit un repère orthonormé $(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}})$

Soient deux vecteurs quelconques ${\overrightarrow {u}}$ et ${\overrightarrow {v}}$, de composantes ${\overrightarrow {u}}{\dbinom {x}{y}}$ et ${\overrightarrow {v}}{\dbinom {x'}{y'}}$,

on a ${\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}=xx'+yy'$

Fin du théorème

Conséquences

Normes

Si ${\overrightarrow {u}}{\dbinom {x}{y}}$, alors $||{\overrightarrow {u}}||={\sqrt {{\overrightarrow {u}}^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

Critère d'orthogonalité

Début d’un théorème

Théorème

${\overrightarrow {u}}\bot {\overrightarrow {v}}$ ssi $xx'+yy'=0$

Fin du théorème

Calcul du produit scalaire avec les normes

Soit ${\overrightarrow {u}}{\dbinom {x}{y}}$ et ${\overrightarrow {v}}{\dbinom {x'}{y'}}$ et ${\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}{\dbinom {x+x'}{y+y'}}$

$||{\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}||^{2}=(x+x')^{2}+(y+y')^{2}$

$||{\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}||^{2}=x^{2}+2xx'+x'^{2}+y^{2}+2yy'+y'^{2}$

$||{\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}||^{2}=x^{2}+y^{2}+x'^{2}+y'^{2}+2(xx'+yy')=||{\overrightarrow {u}}||^{2}+||{\overrightarrow {v}}||^{2}+2{\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}$

d'où :

${\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}={\frac {1}{2}}\left[||{\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}||^{2}-||{\overrightarrow {u}}||^{2}-||{\overrightarrow {v}}||^{2}\right]$

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