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Produit scalaire dans le plan : Produit scalaire de deux vecteurs
Produit scalaire dans le plan/Produit scalaire de deux vecteurs », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
Soit

Sa
norme, notée

est la longueur

.
En vertu du théorème de Pythagore, si le vecteur
a pour coordonnées
, sa norme s'écrit

En partant des points
et
du vecteur, s'ils ont pour coordonnées respectives
et
alors :

Propriété
* La norme d'un vecteur

Le produit scalaire est une opération qui se note
, qui porte sur deux vecteurs et dont le résultat est un nombre réel (donc un scalaire).
Définition
On appelle
produit scalaire de

par
le nombre réel noté
défini par :

Définition
Soit

un vecteur :
Ce nombre est appelé
carré scalaire de

et est aussi noté

.
- Si
,
et
sont trois points distincts, en posant
et
on a :
- Si
et
sont colinéaires de même sens alors :
- Si
et
sont colinéaires de sens contraires alors :
- Quel que soit le vecteur
, on a 
Soient
,
et
trois vecteurs et
un réel.
- Le produit scalaire est symétrique :

Démonstration
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car la fonction cosinus est paire.
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- Le produit scalaire est linéaire :

- Soient
et
deux vecteurs :
1.
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2.
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3.
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Démonstration de la 1ère formule
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par linéarité.
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par symétrie.
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Début d’un théorème
Théorème
Soient

et

deux vecteurs.
et
sont orthogonaux
si et seulement si
le produit scalaire

Fin du théorème
Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace.
Ou bien deux vecteurs égal à 0 sont perpendiculaires
Début d’un théorème
Fin du théorème
Démonstration
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(Chasles)
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par linéarité.
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car car car est le projeté orthogonal de sur
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Début d’un théorème
Fin du théorème
Si
, alors
Début d’un théorème
Théorème

ssi

Fin du théorème
Soit
et
et
d'où :