Leçons de niveau 12

Produit scalaire dans le plan/Produit scalaire de deux vecteurs

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Produit scalaire de deux vecteurs
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Chapitre no1
Leçon : Produit scalaire dans le plan
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Produit scalaire[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Norme d'un vecteur[modifier | modifier le wikicode]


En vertu du théorème de Pythagore, si le vecteur a pour coordonnées , sa norme s'écrit


En partant des points et du vecteur, s'ils ont pour coordonnées respectives et alors :


Produit scalaire[modifier | modifier le wikicode]

Le produit scalaire est une opération qui se note , qui porte sur deux vecteurs et dont le résultat est un nombre réel (donc un scalaire).



Carré scalaire[modifier | modifier le wikicode]


Remarques[modifier | modifier le wikicode]

  • Si , et sont trois points distincts, en posant et on a :

  • Si et sont colinéaires de même sens alors :

  • Si et sont colinéaires de sens contraires alors :

  • Quel que soit le vecteur , on a

Propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Soient , et trois vecteurs et un réel.


  • Le produit scalaire est symétrique :
Démonstration
car la fonction cosinus est paire.


  • Le produit scalaire est linéaire :
  • Soient et deux vecteurs :
1.
2.
3.
Démonstration de la 1ère formule
par linéarité.
par symétrie.

Produit scalaire et orthogonalité[modifier | modifier le wikicode]

Produit scalaire et orthogonalité[modifier | modifier le wikicode]


Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque[modifier | modifier le wikicode]

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace.

Produit scalaire et projeté orthogonal[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


Démonstration
(Chasles)
par linéarité.
car car car est le projeté orthogonal de sur

Calcul d'un produit scalaire analytiquement[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


Conséquences[modifier | modifier le wikicode]

Normes[modifier | modifier le wikicode]

Si , alors

Critère d'orthogonalité[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


Calcul du produit scalaire avec les normes[modifier | modifier le wikicode]

Soit et et

d'où :


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