Produit scalaire dans le plan/Produit scalaire de deux vecteurs

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Produit scalaire de deux vecteurs

Chapitre no1
Leçon : Produit scalaire dans le plan
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Produit scalaire

Définitions

Norme d'un vecteur

Définition

Soit ${\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {AB}}$$\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$

Sa norme, notée $||{\overrightarrow {u}}||$$||\overrightarrow{u}||$ est la longueur $AB$$AB$.

En vertu du théorème de Pythagore, si le vecteur $\scriptstyle {\vec {u}}$$\scriptstyle {\vec {u}}$ a pour coordonnées $(x,y)$$(x,y)$, sa norme s'écrit

$\|{\vec {u}}\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$$\|{\vec {u}}\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$

En partant des points $A$$A$ et $B$$B$ du vecteur, s'ils ont pour coordonnées respectives $(x_{A},y_{A})$$(x_{A},y_{A})$ et $(x_{B},y_{B})$$(x_{B},y_{B})$ alors :

$\|{\overrightarrow {AB}}\|={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}.$$\|{\overrightarrow {AB}}\|={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}.$

Propriété

• La norme d'un vecteur $||{\overrightarrow {u}}||\in \mathbb {R} ^{+}$$||\overrightarrow{u}|| \in \R^+$

• $||{\overrightarrow {u}}||=0\leftrightarrow {\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {0}}$$||\overrightarrow{u}|| = 0 \leftrightarrow\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$

Produit scalaire

Le produit scalaire est une opération qui se note $\cdot$$\cdot$, qui porte sur deux vecteurs et dont le résultat est un nombre réel (donc un scalaire).

Définition

On appelle produit scalaire de ^{$\textstyle {\vec {u}}$$\textstyle{\vec u}$} par ^{$\textstyle {\vec {v}}$$\textstyle{\vec v}$}

le nombre réel noté ^{${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$$\vec u\cdot\vec v$} défini par :

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\times \|{\vec {v}}\|\times \cos({\vec {u}},{\vec {v}})$$\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\vec u,\vec v)$

Carré scalaire

Définition

Soit ^{${\vec {u}}$$\vec u$} un vecteur :

^{${\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=\|{\vec {u}}\|\times \|{\vec {u}}\|\times \cos({\vec {u}},{\vec {u}})=\|{\vec {u}}\|^{2}\times \cos(0)=\|{\vec {u}}\|^{2}$$\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|\times\|\vec u\|\times\cos(\vec u,\vec u) = \| \vec u\|^2 \times \cos(0) = \| \vec u\|^2$}

Ce nombre est appelé carré scalaire de ^{${\vec {u}}$$\vec u$} et est aussi noté ^{${\vec {u}}^{2}$$\vec u^2$.}

^Remarques

• ^{Si $A$$A$, $B$$B$ et $C$$C$ sont trois points distincts, en posant ${\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {AB}}$$\overrightarrow u = \overrightarrow {AB}$ et ${\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {AC}}$$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}$ on a :}

${\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}}=AB\times AC\times \cos({\widehat {BAC}})$$\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat {BAC})$

• Si ^{$\textstyle {\vec {u}}$$\textstyle{\vec u}$} et ^{$\textstyle {\vec {v}}$$\textstyle{\vec v}$} sont colinéaires de même sens alors :

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\times \|{\vec {v}}\|$$\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\times\|\vec v\|$

• Si ^{$\textstyle {\vec {u}}$$\textstyle{\vec u}$} et ^{$\textstyle {\vec {v}}$$\textstyle{\vec v}$} sont colinéaires de sens contraires alors :

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=-\|{\vec {u}}\|\times \|{\vec {v}}\|$$\vec u \cdot\vec v = -\|\vec u\|\times\|\vec v\|$

• Quel que soit le vecteur ${\vec {v}}$$\vec v$, on a ${\vec {0}}\cdot {\vec {v}}=0$$\vec 0 \cdot\vec v = 0$

Propriétés

Soient ^{${\vec {u}}$$\vec u$}, ^{${\vec {v}}$$\vec v$} et ^{${\vec {w}}$$\vec w$} trois vecteurs et ^$k$$k$ un réel.

​

• Le produit scalaire est symétrique : ^{${\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}$$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$}

Démonstration

${\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {u}}$$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$ $=\left|\left|{\overrightarrow {v}}\right|\right|\times \left|\left|{\overrightarrow {u}}\right|\right|\times \cos \left({\overrightarrow {v}},{\overrightarrow {u}}\right)$$= \left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right| \times \left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right| \times \cos\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}\right)$ $=\left|\left|{\overrightarrow {u}}\right|\right|\times \left|\left|{\overrightarrow {v}}\right|\right|\times \cos \left(-\left({\overrightarrow {u}},{\overrightarrow {v}}\right)\right)$$= \left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right| \times \left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right| \times \cos\left(-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\right)$ $=\left|\left|{\overrightarrow {u}}\right|\right|\times \left|\left|{\overrightarrow {v}}\right|\right|\times \cos \left({\overrightarrow {u}},{\overrightarrow {v}}\right)$$= \left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right| \times \left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right| \times \cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ car la fonction cosinus est paire. $={\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}$$= \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$

• Le produit scalaire est linéaire : ${\begin{cases}(k\times {\overrightarrow {u}})\cdot {\overrightarrow {v}}=k\times ({\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}})\\({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {w}})\cdot {\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}+{\overrightarrow {w}}\cdot {\overrightarrow {v}}\end{cases}}$$\begin{cases} (k \times \overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}=k\times(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) \\ (\overrightarrow{u}+ \overrightarrow{w}) \cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} \end{cases}$

• Soient ^{${\vec {u}}$$\vec u$} et ^{${\vec {v}}$$\vec v$} deux vecteurs :

1.	$\left|\left|{\vec {u}}+{\vec {v}}\right|\right|^{2}$$\left|\left|\vec u + \vec v\right|\right|^2$ $=\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}+2{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}$$= \left|\left|\vec u\right|\right|^2 + 2\vec u \cdot \vec v + \left|\left|\vec v\right|\right|^2$ $\Longleftrightarrow$$\Longleftrightarrow$ ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$$\vec u \cdot \vec v$ $={\frac {1}{2}}\left(\left|\left|{\vec {u}}+{\vec {v}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}\right)$$= \frac{1}{2} \left(\left|\left|\vec u + \vec v\right|\right|^2 - \left|\left|\vec u\right|\right|^2 - \left|\left|\vec v\right|\right|^2\right)$
2.	$\left|\left|{\vec {u}}-{\vec {v}}\right|\right|^{2}$$\left|\left|\vec u - \vec v\right|\right|^2$ $=\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}-2{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}$$= \left|\left|\vec u\right|\right|^2 - 2\vec u \cdot \vec v + \left|\left|\vec v\right|\right|^2$ $\Longleftrightarrow$$\Longleftrightarrow$ ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$$\vec u \cdot \vec v$ $=-{\frac {1}{2}}\left(\left|\left|{\vec {u}}-{\vec {v}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}\right)$$= - \frac{1}{2} \left(\left|\left|\vec u - \vec v\right|\right|^2 - \left|\left|\vec u\right|\right|^2 - \left|\left|\vec v\right|\right|^2\right)$
3.	$\left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)\cdot \left({\vec {u}}-{\vec {v}}\right)$$\left(\vec u + \vec v\right) \cdot \left(\vec u - \vec v\right)$ $=\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}-\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}$$= \left|\left|\vec u\right|\right|^2 - \left|\left|\vec v\right|\right|^2$

Démonstration de la 1ère formule

$\left|\left|{\vec {u}}+{\vec {v}}\right|\right|^{2}$$\left|\left|\vec u + \vec v\right|\right|^2$ $=\left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)\cdot \left({\vec {u}}+{\vec {v}}\right)$$= \left(\vec u +\vec v\right) \cdot \left(\vec u + \vec v\right)$ $={\vec {u}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}$$= \vec u \cdot \vec u + \vec u \cdot \vec v + \vec v \cdot \vec u + \vec v \cdot \vec v$ par linéarité. $=\left|\left|{\vec {u}}\right|\right|^{2}+2{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}+\left|\left|{\vec {v}}\right|\right|^{2}$$= \left|\left|\vec u\right|\right|^2 + 2\vec u \cdot \vec v + \left|\left|\vec v\right|\right|^2$ par symétrie.

Produit scalaire et orthogonalité

Produit scalaire et orthogonalité

​

Début d’un théorème

Théorème

Soient ^{${\vec {u}}$$\vec u$} et ^{${\vec {v}}$$\vec v$} deux vecteurs.

^{${\vec {u}}$$\vec u$} et ^{${\vec {v}}$$\vec v$} sont orthogonaux

si et seulement si

le produit scalaire ^{${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=0$$\vec u\cdot \vec v = 0$}

Fin du théorème

Remarque

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace.

Produit scalaire et projeté orthogonal

Début d’un théorème

Théorème

Si $A$$A$, $B$$B$ et $C$$C$ sont trois points du plan $\left(A\not =B\ {\text{et}}\ A\not =C\right)$$\left( A \not= B \ \text{et}\ A \not= C \right)$

et si $H$$H$ est le projeté orthogonal de $C$$C$ sur la droite $\left(AB\right)$$\left(AB\right)$ alors :

• ^{${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=AB\times AH$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB \times AH$} si $H\in \left[AB\right)$$H\in\left[AB\right)$
• ^{${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=-AB\times AH$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = - AB \times AH$} si $H\not \in \left[AB\right)$$H\not\in\left[AB\right)$
• ^{${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0$${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=0$} si $H=A$$H=A$

Fin du théorème

​

Démonstration

${\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {AC}}$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ $={\overrightarrow {AB}}\cdot \left({\overrightarrow {AH}}+{\overrightarrow {HC}}\right)$$= \overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{HC}\right)$ (Chasles) $={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AH}}+{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {HC}}$$= \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH} + \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{HC}$ par linéarité. $={\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AH}}$$= \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$ car ${\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {HC}}=0$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{HC} = 0$ car ${\overrightarrow {HC}}\bot {\overrightarrow {AB}}$$\overrightarrow{HC} \bot \overrightarrow{AB}$ car $H$$H$ est le projeté orthogonal de $C$$C$ sur $\left(AB\right)$$\left(AB\right)$

Calcul d'un produit scalaire analytiquement

Début d’un théorème

Théorème

Soit un repère orthonormé $(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}})$$(O,{\overrightarrow {i}},{\overrightarrow {j}})$

Soient deux vecteurs quelconques ${\overrightarrow {u}}$$\overrightarrow{u}$ et ${\overrightarrow {v}}$$\overrightarrow{v}$, de composantes ${\overrightarrow {u}}{\dbinom {x}{y}}$$\overrightarrow{u} \dbinom{x}{y}$ et ${\overrightarrow {v}}{\dbinom {x'}{y'}}$$\overrightarrow{v} \dbinom{x'}{y'}$,

on a ${\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}=xx'+yy'$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy'$

Fin du théorème

Conséquences

Normes

Si ${\overrightarrow {u}}{\dbinom {x}{y}}$$\overrightarrow{u} \dbinom{x}{y}$, alors $||{\overrightarrow {u}}||={\sqrt {\overrightarrow {u}}}^{2}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$$||\overrightarrow{u}||=\sqrt{\overrightarrow{u}}^2 = \sqrt{x^2+y^2}$

Critère d'orthogonalité

Début d’un théorème

Théorème

${\overrightarrow {u}}\bot {\overrightarrow {v}}$$\overrightarrow{u} \bot \overrightarrow{v}$ ssi $xx'+yy'=0$$xx' + yy' = 0$

Fin du théorème

Calcul du produit scalaire avec les normes

Soit ${\overrightarrow {u}}{\dbinom {x}{y}}$$\overrightarrow{u} \dbinom{x}{y}$ et ${\overrightarrow {v}}{\dbinom {x'}{y'}}$$\overrightarrow{v} \dbinom{x'}{y'}$ et ${\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}{\dbinom {x+x'}{y+y'}}$$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \dbinom{x+x'}{y+y'}$

$||{\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}||^{2}=(x+x')^{2}+(y+y')^{2}$$||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = (x + x')^2 + (y+ y')^2$

$||{\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}||^{2}=x^{2}+2xx'+x'^{2}+y^{2}+2yy'+y'^{2}$$||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = x^2 + 2xx' +x'^2 +y^2 + 2yy' +y'^2$

$||{\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}||^{2}=x^{2}+y^{2}+x'^{2}+y'^{2}+2(xx'+yy')=||{\overrightarrow {u}}||^{2}+||{\overrightarrow {v}}||^{2}+2{\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}$$||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2 = x^2+ y^2 +x'^2+y'^2 + 2(xx' + yy') = ||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2 + 2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$

d'où :

${\overrightarrow {u}}\cdot {\overrightarrow {v}}={\frac {1}{2}}\left[||{\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}||^{2}-||{\overrightarrow {u}}||^{2}-||{\overrightarrow {v}}||^{2}\right]$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac 12 \left[ || \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} ||^2-|| \overrightarrow{u}||^2 - ||\overrightarrow{v}||^2 \right]$

Voir les exercices sur : Produit scalaire dans le plan/Exercices/Applications directes.

Produit scalaire dans le plan

Sommaire

Applications du produit scalaire dans le plan