Produit scalaire dans le plan/Produit scalaire de deux vecteurs

**Produit scalaire de deux vecteurs**
Leçon : Produit scalaire dans le plan

Chapitre n^o 1
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Chap. suiv. :	Applications du produit scalaire dans le plan

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Produit scalaire

Définitions

Norme d'un vecteur

Définition

Soit $\vec{u} = \vec{A B}$

Sa norme, notée $| | \vec{u} | |$ est la longueur $A B$ .

En vertu du théorème de Pythagore, si le vecteur $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x, y)$ , sa norme s'écrit

‖ \vec{u} ‖ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .

En partant des points $A$ et $B$ du vecteur, s'ils ont pour coordonnées respectives $(x_{A}, y_{A})$ et $(x_{B}, y_{B})$ alors :

‖ \vec{A B} ‖ = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}} .

Propriété

La norme d'un vecteur $| | \vec{u} | | \in ℝ^{+}$
$| | \vec{u} | | = 0 \leftrightarrow \vec{u} = \vec{0}$

Produit scalaire

Le produit scalaire est une opération qui se note $\cdot$ , qui porte sur deux vecteurs et dont le résultat est un nombre réel (donc un scalaire).

Définition

On appelle produit scalaire de $\vec{u}$ par $\vec{v}$

le nombre réel noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$ défini par :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = ‖ \vec{u} ‖ \times ‖ \vec{v} ‖ \times \cos (\vec{u}, \vec{v})$

Carré scalaire

Définition

Soit $\vec{u}$ un vecteur :

$\vec{u} \cdot \vec{u} = ‖ \vec{u} ‖ \times ‖ \vec{u} ‖ \times \cos (\vec{u}, \vec{u}) = ‖ \vec{u} ‖^{2} \times \cos (0) = ‖ \vec{u} ‖^{2}$

Ce nombre est appelé carré scalaire de $\vec{u}$ et est aussi noté ${\vec{u}}^{2}$ .

Remarques

Si $A$ , $B$ et $C$ sont trois points distincts, en posant $\vec{u} = \vec{A B}$ et $\vec{v} = \vec{A C}$ on a :

$\vec{A B} . \vec{A C} = A B \times A C \times \cos (\hat{B A C})$

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de même sens alors :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = ‖ \vec{u} ‖ \times ‖ \vec{v} ‖$

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de sens contraires alors :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = - ‖ \vec{u} ‖ \times ‖ \vec{v} ‖$

Quel que soit le vecteur $\vec{v}$ , on a $\vec{0} \cdot \vec{v} = 0$

Propriétés

Soient $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs et $k$ un réel.

Le produit scalaire est symétrique : $\vec{v} \cdot \vec{u} = \vec{u} \cdot \vec{v}$

Démonstration

$\vec{v} \cdot \vec{u}$	$= \| \| \vec{v} \| \| \times \| \| \vec{u} \| \| \times \cos (\vec{v}, \vec{u})$
	$= \| \| \vec{u} \| \| \times \| \| \vec{v} \| \| \times \cos (- (\vec{u}, \vec{v}))$
	$= \| \| \vec{u} \| \| \times \| \| \vec{v} \| \| \times \cos (\vec{u}, \vec{v})$ car la fonction cosinus est paire.
	$= \vec{u} \cdot \vec{v}$

Le produit scalaire est linéaire : ${\begin{matrix} (k \times \vec{u}) \cdot \vec{v} = k \times (\vec{u} \cdot \vec{v}) \\ (\vec{u} + \vec{w}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{w} \cdot \vec{v} \end{matrix}$
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs :

1.

{| | \vec{u} + \vec{v} | |}^{2}

= {| | \vec{u} | |}^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {| | \vec{v} | |}^{2}

⟺

\vec{u} \cdot \vec{v}

= \frac{1}{2} ({| | \vec{u} + \vec{v} | |}^{2} - {| | \vec{u} | |}^{2} - {| | \vec{v} | |}^{2})

2.

{| | \vec{u} - \vec{v} | |}^{2}

= {| | \vec{u} | |}^{2} - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {| | \vec{v} | |}^{2}

⟺

\vec{u} \cdot \vec{v}

= - \frac{1}{2} ({| | \vec{u} - \vec{v} | |}^{2} - {| | \vec{u} | |}^{2} - {| | \vec{v} | |}^{2})

3.

(\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v})

= {| | \vec{u} | |}^{2} - {| | \vec{v} | |}^{2}

Démonstration de la 1ère formule

${\| \| \vec{u} + \vec{v} \| \|}^{2}$	$= (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v})$
	$= \vec{u} \cdot \vec{u} + \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} + \vec{v} \cdot \vec{v}$	par linéarité.
	$= {\| \| \vec{u} \| \|}^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {\| \| \vec{v} \| \|}^{2}$	par symétrie.

Produit scalaire et orthogonalité

Théorème

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux

si et seulement si

le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

Remarque

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de l'espace. Ou bien deux vecteurs égal à 0 sont perpendiculaires

Produit scalaire et projeté orthogonal

Théorème

Si $A$ , $B$ et $C$ sont trois points du plan $(A ≠ B et A ≠ C)$

et si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(A B)$ alors :

^{$\vec{A B} \cdot \vec{A C} = A B \times A H$} si $H \in [A B)$
^{$\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - A B \times A H$} si $H \in̸ [A B)$
^{$\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 0$} si $H = A$

Démonstration

$\vec{A B} . \vec{A C}$	$= \vec{A B} \cdot (\vec{A H} + \vec{H C})$ (Chasles)
	$= \vec{A B} \cdot \vec{A H} + \vec{A B} \cdot \vec{H C}$ par linéarité.
	^{$= \vec{A B} \cdot \vec{A H}$} car ^{$\vec{A B} \cdot \vec{H C} = 0$} car ^{$\vec{H C} ⊥ \vec{A B}$} car $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(A B)$

Calcul d'un produit scalaire analytiquement

Théorème

Soit un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$

Soient deux vecteurs quelconques $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , de composantes $\vec{u} (\binom{x}{y})$ et $\vec{v} (\binom{x^{'}}{y^{'}})$ ,

on a $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x^{'} + y y^{'}$

Conséquences

Normes

Si $\vec{u} (\binom{x}{y})$ , alors $| | \vec{u} | | = \sqrt{{\vec{u}}^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Critère d'orthogonalité

Théorème

$\vec{u} ⊥ \vec{v}$ ssi $x x^{'} + y y^{'} = 0$

Calcul du produit scalaire avec les normes

Soit $\vec{u} (\binom{x}{y})$ et $\vec{v} (\binom{x^{'}}{y^{'}})$ et $\vec{u} + \vec{v} (\binom{x + x^{'}}{y + y^{'}})$

$| | \vec{u} + \vec{v} | |^{2} = (x + x^{'})^{2} + (y + y^{'})^{2}$

$| | \vec{u} + \vec{v} | |^{2} = x^{2} + 2 x x^{'} + x'^{2} + y^{2} + 2 y y^{'} + y'^{2}$

$| | \vec{u} + \vec{v} | |^{2} = x^{2} + y^{2} + x'^{2} + y'^{2} + 2 (x x^{'} + y y^{'}) = | | \vec{u} | |^{2} + | | \vec{v} | |^{2} + 2 \vec{u} \cdot \vec{v}$

d'où :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} [| | \vec{u} + \vec{v} | |^{2} - | | \vec{u} | |^{2} - | | \vec{v} | |^{2}]$

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Produit scalaire dans le plan

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Applications du produit scalaire dans le plan