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Probabilités sur les ensembles finis : Formule des probabilités totales Probabilités sur les ensembles finis/Formule des probabilités totales », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
On dit que des événements
B
1
,
B
2
,
.
.
.
,
B
n
{\displaystyle B_{1},B_{2},...,B_{n}}
forment une
partition de
Ω
{\displaystyle \Omega }
si :
ils sont non vides ;
ils sont deux à deux incompatibles ;
leur réunion est
Ω
{\displaystyle \Omega }
Début d’un théorème
Théorème
Soient
n événements
B
1
,
B
2
,
.
.
.
,
B
n
{\displaystyle B_{1},B_{2},...,B_{n}}
, de probabilités non nulles, réalisant une partition de l'univers
Ω
{\displaystyle \Omega }
. Pour tout événement
A
{\displaystyle A}
, on a :
p
(
A
)
=
p
(
A
∩
B
1
)
+
p
(
A
∩
B
2
)
+
.
.
.
+
p
(
A
∩
B
n
)
=
p
B
1
(
A
)
×
p
(
B
1
)
+
p
B
2
(
A
)
×
p
(
B
2
)
+
.
.
.
+
p
B
n
(
A
)
×
p
(
B
n
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}p(A)&=p(A\cap B_{1})+p(A\cap B_{2})+...+p(A\cap B_{n})\\&=p_{B_{1}}(A)\times p(B_{1})+p_{B_{2}}(A)\times p(B_{2})+...+p_{B_{n}}(A)\times p(B_{n}).\end{aligned}}}
En particulier,
p
(
A
)
=
p
(
A
∩
B
)
+
p
(
A
∩
B
¯
)
{\displaystyle p(A)=p(A\cap B)+p(A\cap {\overline {B}})}
.
Fin du théorème
