Leçons de niveau 13

Probabilités conditionnelles/Introduction

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Chapitre no 1
Leçon : Probabilités conditionnelles
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Ce premier chapitre pose les fondements des probabilités conditionnelles.

Approche et définition[modifier | modifier le wikicode]

Si l'on étudie, sur une population donnée, la probabilité de réalisation d'un certain événement, on peut parfois être amené à se limiter à une certaine partie de la population. Il est possible alors que la probabilité de réalisation de cet événement ne soit pas la même sur la population totale et sur la restriction de la population que l'on a choisie.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On peut aussi considérer qu'un événement A influe par sa présence sur la réalisation d'un événement B.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Les deux exemples précédents nous montrent que si l'on considère deux événements A et B qui ne sont pas indépendants l'un de l'autre, c'est-à-dire si la réalisation de l'un influe sur la réalisation de l'autre, nous pouvons être amenés à définir plusieurs probabilités pour décrire le degré d'influence de l'un des événements sur l'autre. Supposons, pour fixer les idées, que la réalisation de l'événement A affecte la probabilité de réalisation de l'événement B. Même si nous connaissons la probabilité de réalisation de l'événement B sans tenir compte de la réalisation de l'événement A, nous ne pourrons pas utiliser celle-ci si nous savons que l'événement A est réalisé. Nous définirons une nouvelle probabilité de réalisation de l'événement B en présence de l'événement A.


Calcul d'une probabilité conditionnelle[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce paragraphe, nous allons donner une formule de calcul d'une probabilité conditionnelle.

Nous nous placerons d'abord dans le cas simplifié d'un univers où tous les événements élémentaires sont équiprobables. Nous savons qu'alors, la probabilité d'un événement peut se calculer pas la formule :


.


Soit maintenant deux événements et de  :

De Morgan's law.png

Voyons comment utiliser la formule précédente pour calculer la probabilité . Si l'on sait que l'événement A est réalisé, alors tous les cas possibles seront les événements élémentaires de qui seront dans . Les cas favorables seront alors tous les événements élémentaires qui réalisent tout en restant dans . Autrement dit, ce seront les événements qui se trouveront dans . Nous aurons alors :

.


En se limitant aux univers formés d'événements équiprobables, nous avons obtenu la formule :

.

Nous admettrons que cette formule reste valable pour des univers quelconques.

Nous retiendrons :


Début de l'exemple
Fin de l'exemple



Autres formules[modifier | modifier le wikicode]

représente la probabilité de l'événement sachant que est réalisé. Mais si est réalisé, on peut éventuellement voir comme un événement certain. En fait, tout se passe comme si l'on changeait d'univers. L'événement peut être vu comme un nouvel univers qui vient remplacer . La probabilité pourrait alors être définie comme la probabilité de l'événement en prenant comme nouvel univers.

Si nous avons dit cela, c'est pour dire que toutes les formules qui étaient valables dans l'univers sont aussi valables dans le pseudo nouvel univers .

On aura, par exemple :

.


On pourrait aussi écrire avec trois événements , et quelconques :

(mais cette formule n'est que rarement utile).