Probabilités conditionnelles/Exercices/Sur les événements indépendants

Exercice 4-1

Soit une télévision qui n'est pas protégée contre les surtensions dues aux orages.

On définit alors deux événements $A$ et $B$ ainsi :

• $A$ est l'événement : « il y a un orage » ;
• $B$ est l'événement : « la télévision tombe en panne ».

Une télévision qui tombe en panne ne peut logiquement pas déclencher un orage. Par conséquent, on a :

$p_{B}(A)=p(A)$,

ce qui s'écrit :

${\frac {p(A\cap B)}{p(B)}}=p(A)$,

qui est équivalent à :

${\frac {p(A\cap B)}{p(A)}}=p(B)$,

qui s'écrit aussi :

$p_{A}(B)=p(B)$,

qui nous montre qu'un orage n’influe pas sur la probabilité que la télévision tombe en panne.

Il est donc inutile de protéger la télévision contre les surtensions dues aux orages.

Que pensez-vous du raisonnement précédent ?

Solution

Il est assez dangereux de faire un raisonnement physique de cause à effet pour en déduire une probabilité. Une télévision ne peut logiquement pas provoquer un orage en tombant en panne. Mais si l'on fait une étude purement statistique, on constatera que si l'on regarde s'il y a un orage quelque part les jours où une télévision tombe en panne, on constatera que la fréquence de ces orages sera plus élevée que si l'on fait l'observation au même endroit sans s'occuper de l'état de la télévision. Par conséquent, même si une télévision, en tombant en panne, ne peut pas déclencher un orage, on ne peut pas en déduire que $p_{B}(A)=p(A)$.

 

Exercice 4-2

Soit deux événements $A$ et $B$ vérifiant :

${\begin{cases}p(A)=0,8\\p(B)=0,6\\p(A\cup B)=0,92\end{cases}}$

Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

Solution

De la formule de Poincaré :

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

nous tirons :

$p(A\cap B)=p(A)+p(B)-p(A\cup B)=0,8+0,6-0,92=0,48$

Nous voyons aussi que l'on a :

$p(A)\times p(B)=0,8\times 0,6=0,48$

Nous avons bien :

$p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$

Ce qui permet d'affirmer que les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

 

Exercice 4-3

Une expérience aléatoire peut être modélisée par l'arbre pondéré suivant :

$p,\,r,\,s$ étant trois nombres réels de l'intervalle $[0;\,1]$

Soit $A'$, l'événement « $A$ est réalisé au moins une fois au cours de l'expérience aléatoire ».

Soit $B'$, l'événement « $B$ est réalisé au moins une fois au cours de l'expérience aléatoire ».

Montrer que $A'$ et $B'$ sont indépendants si et seulement si :

$pr(1-p)(1-s)=0$

Solution

On a :

$p(A')=1-p({\bar {A'}})=1-(1-p)(1-s)=p+s-ps$

$p(B')=1-p({\bar {B'}})=1-pr$

On en déduit :

$p(A')\times p(B')=(p+s-ps)(1-pr)=p+s-ps-p^{2}r-prs+p^{2}rs$

d'autre part, nous voyons que :

$p(A'\cap B')=p(1-r)+s(1-p)=p+s-pr-ps$

Si $A'$ et $B'$ sont indépendants, nous aurons la relation :

$p(A'\cap B')=p(A')\times p(B')$

qui se traduira donc par la relation :

$p+s-pr-ps=p+s-ps-p^{2}r-prs+p^{2}rs$

qui se simplifie en :

$-pr=-p^{2}r-prs+p^{2}rs$

qui donne :

$pr-p^{2}r-prs+p^{2}rs=0$

dont le premier membre se factorise sous la forme :

$pr(1-p)(1-s)=0$

 

Exercice 4-4

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Solution

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