Champ magnétique, magnétostatique/Exercices/Calculs de champs

Solénoïdes

Solénoïde fini

On considère un solénoïde d'axe (Oz), de rayon R, de longueur L, constitué de n spires par unité de longueur, chacune étant parcourue par une intensité I. Calculer le champ magnétique produit par le solénoïde en tout point de (Oz).

On pourra poser $\theta _{1}~$ et $\theta _{2}~$ les angles sous lesquels on voit depuis M respectivement l'avant et l'arrière du solénoïde par rapport à (Oz).

Solution

Soit M un point de l’axe (Oz)

• Tout plan contenant (Oz) est plan d'antisymétrie de la distribution, donc ${\vec {B}}(M)$ est suivant ${\vec {u}}_{z}$
• On considère tout d’abord le champ engendré par une « tranche de solénoïde » de longueur dl, vue depuis M sous un angle $\theta ~$ par rapport à (Oz). On assimile cette tranche à une bobine constituée de $\mathrm {d} n_{s}=n~\mathrm {d} l$ spires circulaires. Cette tranche crée en M un champ magnétique $\mathrm {d} {\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}nI}{2R}}\sin ^{3}(\theta )~\mathrm {d} l~{\vec {u}}_{z}$ (n spires circulaires).
• On va chercher à intégrer suivant $\theta ~$ : il faut donc s'affranchir de $~\mathrm {d} l$ : $z-z_{P}={\frac {R}{\tan(\theta )}}$ donc $\mathrm {d} l=dz_{P}=-{\frac {R}{\sin ^{2}(\theta )}}\mathrm {d} \theta$
• On obtient donc $\mathrm {d} {\vec {B}}(M)=-{\frac {\mu _{0}nI}{2}}\sin(\theta )\mathrm {d} \theta ~{\vec {u}}_{z}$.
• On intègre pour $\theta ~$ compris entre $\theta _{2}~$ et $\theta _{1}~$ :

${\vec {B}}(M)={\frac {\mu _{0}In}{2}}(\cos(\theta _{2})-\cos(\theta _{1})){\vec {u}}_{z}$

 

Solénoïde infini

Le champ magnétique engendré en tout point de l'espace par un solénoïde infini est souvent considéré comme un résultat de cours. Il est fortement conseillé de le connaître par cœur.

On considère un solénoïde infini d'axe (Oz), de rayon R, constitué de n spires par unité de longueur, chacune étant parcourue par une intensité I.

1. Calculer le champ magnétique produit par le solénoïde en tout point de (Oz).

2. Calculer le champ magnétique produit par le solénoïde en tout point de l'espace.

Solution

Question 1 : M est sur l'axe. On reprend l'exercice précédent en faisant tendre $\theta _{2}~$ vers 0 et $\theta _{1}~$ vers $\pi$. On obtient

${\vec {B}}(M)=\mu _{0}In{\vec {u}}_{z}$

Question 2 :

Les plans de symétrie sont :

• tout plan passant par l’axe (Oz) est plan d'antisymétrie de distribution : ainsi, le champ magnétique appartient à ce plan;
• tout plan perpendiculaire à (Oz) est plan de symétrie de distribution : ainsi, le champ magnétique est perpendiculaire à ce plan de symétrie. Le champ magnétique est donc colinéaire à l’axe (Oz).

De plus,

• la distribution est invariante par translation suivant z;
• la distribution est invariante par rotation autour de (Oz).

Donc ${\vec {B}}=B(r){\vec {u}}_{z}$

Première étape : À l'intérieur du solénoïde

• On choisit pour contour d'Ampère un rectangle orienté ABCD inclus dans le solénoïde et tel que:
  • $[AB]\subset (Oz)$
  • ${\overrightarrow {AB}}$ est orienté comme ${\vec {u}}_{z}$
  • $BC=~r$
• On applique le théorème d'Ampère :

${\begin{aligned}0&=\oint _{ABCD}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\int _{A}^{B}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\int _{B}^{C}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\int _{C}^{D}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\int _{D}^{A}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\mu _{0}In.AB+0+B(r)~{\vec {u}}_{z}.(-CD~{\vec {u}}_{z})\end{aligned}}$.

• On simplifie (AB=CD) pour obtenir

${\vec {B}}(M)=\mu _{0}In{\vec {u}}_{z}$ si M est dans le solénoïde

Seconde étape : À l'extérieur du solénoïde

• On choisit pour contour d'Ampère un rectangle orienté $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ tel que:
  • $[A_{1}B_{1}]~$ est inclus dans le solénoïde
  • $[C_{1}D_{1}]~$ est à l'extérieur du solénoïde
  • ${\overrightarrow {A_{1}B_{1}}}$ est orienté comme ${\vec {u}}_{z}$
  • $[C_{1}D_{1}]~$ et (Oz) sont distants de r₁
• On applique le théorème d'Ampère :

${\begin{aligned}\mu _{0}nI.A_{1}B_{1}&=\oint _{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\int _{A_{1}}^{B_{1}}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\int _{B_{1}}^{C_{1}}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\int _{C_{1}}^{D_{1}}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}+\int _{D_{1}}^{A_{1}}{\vec {B}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\mu _{0}In.A_{1}B_{1}+0+B(r_{1})~{\vec {u}}_{z}.(-C_{1}D_{1}~{\vec {u}}_{z})\end{aligned}}$.

• On simplifie : $B(r_{1})=~0$, ce qui conduit à

${\vec {B}}(M)={\vec {0}}$ si M est à l'extérieur du solénoïde

 

Spire chargée en rotation

Une spire circulaire, de rayon R, d'axe (Oz), tourne à vitesse angulaire constante $\omega ~$ autour de son axe. Sachant que la spire porte une densité linéique de charge uniforme $\lambda$, déterminer le champ magnétique en tout point de (Oz).

Solution

La clé de l'exercice est de relier $\omega ~$ à I. On utilise pour cela la définition de I : $I={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}$.

• La charge portée par une portion élémentaire de spire est $\mathrm {d} q=\lambda R~\mathrm {d} \theta$.
• Donc $I=\lambda R{\dot {\theta }}=\lambda R\omega$
• Une fois cette expression obtenue, on peut conduire exactement le même raisonnement que pour une spire circulaire de courant « normale » et remplacer I par son expression dans le résultat final :

${\vec {B}}(z)={\frac {\mu _{0}\lambda \omega }{2}}{\frac {R^{3}}{(R^{2}+z^{2})^{\frac {3}{2}}}}{\vec {z}}$

 

Sphère chargée en rotation

Soit une sphère de centre O, de rayon R, en rotation autour d'un axe (Oz) à la vitesse angulaire constante $\omega ~$. Sachant que la sphère porte une densité surfacique de charge $\sigma ~$, calculer le champ magnétique créé en O par cette distribution.

Solution

Cet exercice ne diffère que peu du précédent. Pour le réussir, il faut voir la sphère comme un « empilement de spires élémentaires » constituées par les couronnes élémentaires.

• Soit une couronne élémentaire située à la colatitude $~\theta$. La surface de cette couronne vaut $\mathrm {d} S=2\pi R^{2}\sin(\theta )~\mathrm {d} \theta$.
• La couronne porte donc une charge $\mathrm {d} q=2\pi R^{2}\sigma \sin(\theta )~\mathrm {d} \theta$
• La charge portée par une portion élémentaire de couronne est $\mathrm {d} ^{2}q=R^{2}\sigma \sin(\theta )~\mathrm {d} \theta ~\mathrm {d} \varphi$
• La couronne en rotation se comporte comme une spire circulaire parcourue par un courant $\mathrm {d} I={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=R^{2}\sigma \sin(\theta ){\dot {\varphi }}~\mathrm {d} \theta =\omega R^{2}\sigma \sin(\theta )~\mathrm {d} \theta$
• Cette spire génère un champ magnétique en O valant, en réutilisant un calcul déjà fait, $\mathrm {d} {\vec {B}}(O)={\frac {\mu _{0}}{2R\sin(\theta )}}\sin ^{3}(\theta )\omega R^{2}\sigma \sin(\theta )~\mathrm {d} \theta ~{\vec {u}}_{z}={\frac {\mu _{0}\omega \sigma R}{2}}\sin ^{3}(\theta )~\mathrm {d} \theta ~{\vec {u}}_{z}$
• On linéarise l’expression grâce à $\sin ^{3}(\theta )={\frac {3\sin(\theta )-\sin(3\theta )}{4}}$, ce qui donne $\mathrm {d} {\vec {B}}(O)={\frac {\mu _{0}\omega \sigma R}{8}}(3\sin(\theta )-\sin(3\theta ))~\mathrm {d} \theta ~{\vec {u}}_{z}$
• Il ne reste qu’à intégrer pour $\theta ~$ entre 0 et $\pi$ : ${\vec {B}}(O)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\mu _{0}\omega \sigma R}{8}}(3\sin(\theta )-\sin(3\theta ))~\mathrm {d} \theta ~{\vec {u}}_{z}$
• On trouve finalement:

${\vec {B}}(O)={\frac {2}{3}}\mu _{0}\sigma R\omega {\vec {u}}_{z}$