Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle

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     Soit la fonction scalaire $f$ de la variable réelle $x$ continue et dérivable en toute valeur d'un intervalle de définition.

Rappel des notions de continuité et dérivabilité de fonction

     Notions vues dans le secondaire.

Continuité d'une fonction

     La fonction est dite continue en $x_0$ si, quand $x\to x_0$, $f(x)$ admet une limite égale à $f(x_0)$ soit

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$.

Dérivabilité d'une fonction

     La fonction est dite dérivable en $x_0$ si $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ existe, sa valeur définissant $f^{\prime }(x_0)$ soit

$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(x_0)$  ;

     la fonction est dite dérivable sur un domaine de dérivabilité si son nombre dérivé existe pour toutes les valeurs du domaine.

     Propriétés du nombre dérivé : Le nombre dérivé est le cœfficient directeur $($ou pente$)$ de la tangente du graphe de $f(x)$ en fonction de $x$ au point d'abscisse $x_0$, l'équation de la tangente s'écrivant $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)[x-x_0]$,
     Propriétés du nombre dérivé : c'est encore la tangente de l'angle orienté ${\alpha }_0$ que fait la tangente du graphe de $f(x)$ en fonction de $x$ au point d'abscisse $x_0$, avec l'axe des abscisses soit, $f^{\prime }(x_0)=$ $\tan ({\alpha }_0)$.

Fonction dérivée f' d'une fonction f

     Si la fonction scalaire $f$ est dérivable sur un domaine $I$ de dérivabilité, « ses nombres dérivés $f^{\prime }(x_0)$ définis pour chaque valeur $x_0\in I$» sont les « images de $x_0$ par une fonction $f^{\prime }$»,
     cette fonction $f^{\prime }$ définie par «$\mathrm{\forall }x\in I,x\stackrel{f^{\prime }}{\to }{f}^{\prime }(x)$» est appelée « dérivée de la fonction $f$».

Théorème de dérivation des fonctions composées

Début d’un théorème

Théorème de dérivation d'une fonction composée

     À partir d'une « 1^ère fonction scalaire $f$ continue sur un intervalle $I$ et à valeurs dans l'intervalle $f(I)$» et une « 2^ème fonction scalaire $g$ continue sur l'intervalle $f(I)$», nous définissons la « fonction composée $g\circ f$ continue sur l'intervalle $I$» ;
     « si la fonction $f$ est dérivable en $x_0\in I$» et « la fonction $g$ dérivable en $f(x_0)\in f(I)$», « la fonction composée $g\circ f$ est dérivable en $x_0$» et son nombre dérivé se détermine par «${\{g\circ f\}}^{\prime }(x_0)=g^{\prime }[f(x_0)]f^{\prime }(x_0)$».

Fin du théorème

     Démonstration : la fonction $g$ étant dérivable en $f(x_0)\in f(I)$ $\Rightarrow$ «$\underset{y\to f(x_0)}{lim}\frac{g\left[y\right]-g[f(x_0)]}{y-f(x_0)}=g^{\prime }[f(x_0)]$» $\{$ou notant «$u(y)=\frac{g\left[y\right]-g[f(x_0)]}{y-f(x_0)}$» $\Rightarrow$ «$\underset{y\to f(x_0)}{lim}u(y)=g^{\prime }[f(x_0)]$»$\}$,

     Démonstration : la fonction $f$ étant continue en $x_0\in I$ $\Rightarrow$ $\underset{x\to x_0}{lim}y=f(x)=f(x_0)$ soit, en remplaçant $y$ par $f(x)$, «$\underset{f(x)\to f(x_0)}{lim}u[f(x)]=g^{\prime }[f(x_0)]$» ou, compte-tenu de $f(x)\to f(x_0)$ quand $x\to x_0$, «$\underset{x\to x_0}{lim}u[f(x)]=g^{\prime }[f(x_0)]$» que nous pouvons finalement réécrire «$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{g[f(x)]-g[f(x_0)]}{f(x)-f(x_0)}=g^{\prime }[f(x_0)]:\left(𝔞\right)$» ;

     Démonstration : pour terminer transformons le taux de variation $\frac{g[f(x)]-g[f(x_0)]}{x-x_0}$ de la fonction composée selon «$\frac{g[f(x)]-g[f(x_0)]}{x-x_0}=\frac{g[f(x)]-g[f(x_0)]}{f(x)-f(x_0)}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$» dans lequel
Démonstration : pour terminer le « 1^er facteur du 2^ème membre a pour limite $g^{\prime }[f(x_0)]$ quand $x\to x_0$» $\{$résultat $\left(𝔞\right)$ établi ci-dessus$\}$ et
Démonstration : pour terminer le « 2^ème facteur du 2^ème membre pour limite $f^{\prime }(x_0)$ quand $x\to x_0$» $\{$définition du nombre dérivé de $f$ en $x_0\}$ d'où

«$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{g[f(x)]-g[f(x_0)]}{x-x_0}=\left\{\underset{x\to x_0}{lim}\frac{g[f(x)]-g[f(x_0)]}{f(x)-f(x_0)}\right\}\left\{\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right\}=g^{\prime }[f(x_0)]f^{\prime }(x_0)$».

Notion de dérivée logarithmique d'une fonction

     À partir de la « fonction scalaire $f$ dérivable en $x_0$ et telle que $f(x_0)$ soit $\ne 0$», on définit le « nombre dérivé logarithmique de $f$ en $x_0$» selon

«$\frac{f^{\prime }(x_0)}{f(x_0)}$» dans lequel $f^{\prime }(x_0)$ est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ ;

     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$la fonction scalaire « logarithme népérien $\ln \left(\right)$» est « continue et dérivable sur ${ℝ}_{+}^{\ast }$» de « dérivée 1^ère, pour $\mathrm{\forall }u\in {ℝ}_{+}^{\ast }$, ${\ln }^{\prime }\left(u\right)=\frac{1}{u}$»
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$et la « fonction scalaire $f$ est dérivable en $x_0$» de « nombre dérivé $f^{\prime }(x_0)$» avec «$f(x_0)>0$» d'où
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$le nombre dérivé logarithmique de $f$ en $x_0$ «$\frac{f^{\prime }(x_0)}{f(x_0)}$» se réécrivant selon «$\frac{1}{f(x_0)}{f}^{\prime }(x_0)=\{{\ln }^{\prime }[f(x_0)]\}{f}^{\prime }(x_0)$»
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$le nombre dérivé logarithmique de $f$ en $x_0$ s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée $\ln \circ f$ en $x_0$» soit
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$le nombre dérivé logarithmique de $f$ en $x_0$ «$\frac{f^{\prime }(x_0)}{f(x_0)}={\{\ln \circ f\}}^{\prime }(x_0)={\{\ln \left[f\right]\}}^{\prime }(x_0)$» ;

     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$la fonction scalaire composée « logarithme népérien de valeur absolue $\{\ln \circ |\left|\right\}\left(\right)$» est « continue et dérivable sur ${ℝ}_{-}^{\ast }$» de « dérivée 1^ère
         Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$la fonction scalaire composée « logarithme népérien de valeur absolue $\{\ln \circ |\left|\right\}\left(\right)$» est « pour $\mathrm{\forall }u\in {ℝ}_{-}^{\ast }$, ${\{\ln \circ |\left|\right\}}^{\prime }\left(u\right)=\frac{1}{u}$»
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$et la « fonction scalaire $f$ est dérivable en $x_0$» de « nombre dérivé $f^{\prime }(x_0)$» avec «$f(x_0)<0$» d'où
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$le nombre dérivé logarithmique de $f$ en $x_0$ «$\frac{f^{\prime }(x_0)}{f(x_0)}$» se réécrivant selon «$\frac{1}{f(x_0)}{f}^{\prime }(x_0)=\left\{{[\ln \circ |\left|\right]}^{\prime }[f(x_0)]\right\}{f}^{\prime }(x_0)$»
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$le nombre dérivé logarithmique de $f$ en $x_0$ s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée $[\ln \circ |\left|\right]\circ f$ en $x_0$» soit
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$le nombre dérivé logarithmique de $f$ en $x_0$ «$\frac{f^{\prime }(x_0)}{f(x_0)}={\{[\ln \circ |\left|\right]\circ f\}}^{\prime }(x_0)={\{\ln \left[\right|f\left|\right]\}}^{\prime }(x_0)$».

     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$En conclusion, à partir de la « fonction scalaire $f$ dérivable en $x_0$ $\{$de nombre dérivé $f^{\prime }(x_0)\}$ et telle que $f(x_0)$ soit $\ne 0$»,
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$En conclusion, le « nombre dérivé logarithmique de $f$ en $x_0$» à savoir «$\frac{f^{\prime }(x_0)}{f(x_0)}$» est aussi le « nombre dérivé de $\ln \left[\right|f\left|\right]$ en $x_0$» c'est-à-dire
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ$En conclusion, le « nombre dérivé logarithmique de $f$ en $x_0$» à savoir «$\frac{f^{\prime }(x_0)}{f(x_0)}={\{\ln \left[\right|f\left|\right]\}}^{\prime }(x_0)$» d'où le nom.

     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : Si la fonction scalaire $f$ est dérivable sur un domaine $I$ de dérivabilité, la fonction dérivée de $f$ est définie selon «$\mathrm{\forall }x\in I,x\stackrel{f^{\prime }}{\to }{f}^{\prime }(x)$» et
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : si l'image de $I$ par $f$ ne contient pas $0$ c'est-à-dire «$f(I)⊉\left\{0\right\}$» ou «$\mathrm{\forall }x\in I,f(x)\ne 0$»,
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : « ses nombres dérivés logarithmiques $\frac{f^{\prime }(x_0)}{f(x_0)}$ définis pour chaque valeur $x_0\in I$» sont les « images de $x_0$ par une fonction $h$»,
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : cette fonction $h$ définie par «$\mathrm{\forall }x\in I,x\stackrel{h}{\to }h(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$» est appelée « dérivée logarithmique de la fonction $f$»
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : $\{$c'est aussi la « dérivée de la fonction composée $[\ln \circ |\left|\right]\circ f=\ln \left[\right|f\left|\right]$»$\}$.

Dérivabilité du second ordre

Définition

     La fonction est dite dérivable en $x_0$ au 2^ème ordre si $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x_0)}{x-x_0}$ existe, sa valeur définissant $f^{″}(x_0)$, soit $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x_0)}{x-x_0}=f^{″}(x_0)$ .

Propriétés

     La valeur du nombre dérivé du 2^nd ordre traduit la façon dont la dérivée 1^ère varie avec la variable, une valeur positive correspondra à une « $\nearrow$ de la dérivée 1^ère » alors que
     La valeur du nombre dérivé du 2^nd ordre traduit la façon dont la dérivée 1^ère varie avec la variable, une valeur négative correspondra à une « $\searrow$».