Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des transformées bilatérales de Laplace directes et inverses ainsi que des transformées de Fourier

Dans cette page d'exercices, la convention adoptée pour la définition de la transformée de Fourier sera :

${\widehat {f}}(y)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xy}\,\mathrm {d} x$.

Exercice 26-1

Soient $f$ continue et intégrable sur $\mathbb {R}$ et $k$ une constante $>0$. On se propose de résoudre l'équation de la chaleur :

${\partial u \over \partial t}(x,t)=k{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}(x,t),\quad u(x,0)=f(x)$ pour $(x,t)\in \mathbb {R} \times \left]0,+\infty \right[$.

1. Calculer les transformées de Fourier des fonctions $x\mapsto {\partial u \over \partial t}(x,t)$ et $x\mapsto {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}(x,t)$ en fonction de ${\hat {u}}(y,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xy}u(x,t)dx$, en précisant les hypothèses nécessaires.
2. Montrer que ${\hat {u}}$ vérifie l'équation différentielle : ${\partial {\hat {u}} \over \partial t}(y,t)=-ky^{2}{\hat {u}}(y,t)$ et la résoudre.
3. En déduire $u(x,t)$ en fonction de $f(x)$.

Solution

1. ${\widehat {\partial u \over \partial t}}(y,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xy}{\partial u \over \partial t}(x,t)\,\mathrm {d} x={\partial \over \partial t}{\hat {u}}(y,t)$ à condition que $\left|{\partial u \over \partial t}(x,t)\right|\leq g(x)\in L^{1}$.
   ${\widehat {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}}(y,t)=-y^{2}{\hat {u}}(y,t)$ si $u$ est C² par rapport à $x$ et si ${\partial u \over \partial x}$ et ${\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}$ sont intégrables.
2. D'après la question 1, l'équation de la chaleur devient par transformée de Fourier :
   ${\partial {\hat {u}} \over \partial t}(y,t)=-ky^{2}{\hat {u}}(y,t)$, d'où ${\hat {u}}(y,t)=C(y)\operatorname {e} ^{-ky^{2}t}$, avec $C(y)={\hat {u}}(u,0)$.
3. $C={\hat {f}}$, donc $C$ est bornée, donc (comme $k>0$) $y\mapsto {\hat {u}}(y,t)$ est intégrable, et par le théorème d'inversion, $u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }{\hat {f}}(y)\operatorname {e} ^{-ky^{2}t}\operatorname {e} ^{\mathrm {i} xy}\,\mathrm {d} y$ p.p.
   On peut aussi remarquer que si l'on pose $g(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\operatorname {e} ^{-{x^{2} \over 2}}$ et $g_{s}(x)={1 \over s}g(x/s)$ alors ${\hat {g}}_{s}(y)=g(sy)$, donc ${\hat {u}}(y,t)=C(y)\operatorname {e} ^{-ky^{2}t}={\hat {f}}(y){\sqrt {2\pi }}g(y{\sqrt {2kt}})={\sqrt {2\pi }}{\hat {f}}(y){\hat {g}}_{\sqrt {2kt}}(y)$ d'où
   $u(x,t)=(f\star g_{\sqrt {2kt}})(x)={1 \over 2{\sqrt {\pi kt}}}\int _{\mathbb {R} }f(u)\operatorname {e} ^{-(x-u)^{2} \over 4kt}\,\mathrm {d} u$.

 

Exercice 26-2

Soit $f\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )$. Pour tout $h\in \mathbb {R}$ on pose $\tau _{h}(f)(x)=f(x-h)$ et si $h\neq 0$, $\Delta _{h}(f)={\tau _{h}(f)-f \over h}\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )$.

1. Montrer que ${\cal {F}}{\tau _{h}f}(x)=\operatorname {e} ^{\mathrm {i} hx}{\cal {F}}f(x)$ (on pourra raisonner par densité) et en déduire ${\cal {F}}(\Delta _{h}f)$.
2. On suppose désormais qu'il existe une suite $(h_{n})$ de réels non nuls, convergeant vers 0, et telle que la suite $(\Delta _{h_{n}}f)$ soit bornée dans $\mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )$ : $\forall n\in \mathbb {N} \quad \|\Delta _{h_{n}}f\|_{2}\leq c$. En utilisant le lemme de Fatou, montrer que $\left(\int _{\mathbb {R} }x^{2}|{\cal {F}}f(x)|^{2}\,\mathrm {d} \lambda (x)\right)^{1/2}\leq c$.
3. Soit $g\in \mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )$ telle que la fonction $x\mapsto xg(x)$ appartienne à $\mathrm {L} ^{2}(\mathbb {R} )$ ; montrer que $g$ est intégrable (on pourra écrire $\int |g|\,\mathrm {d} \lambda =\int _{|x|\leq 1}\ldots +\int _{|x|>1}\dots$, puis utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz).
4. Déduire de ce qui précède que $f$ est égale presque partout à une fonction continue.

Solution

1. Si $f\in \mathrm {L} ^{1}\cap \mathrm {L} ^{2}$, ${\cal {F}}{\tau _{h}f}(x)={\widehat {\tau _{h}f}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \tau _{h}f(y)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xy}\,\mathrm {d} \lambda (y)=$ (en posant $u=y-h$) ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int f(u)\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} x(u+h)}\,\mathrm {d} \lambda (u)=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xh}{\hat {f}}(x)=\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} hx}{\cal {F}}f(x)$. Par continuité sur $\mathrm {L} ^{2}$ des deux fonctionnelles qui coïncident sur $\mathrm {L} ^{1}\cap \mathrm {L} ^{2}$ (et par densité dans $\mathrm {L} ^{2}$ de ce sous-espace), elles coïncident encore sur $\mathrm {L} ^{2}$. D'où ${\cal {F}}(\Delta _{h}f)(x)={\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xh}-1 \over h}{\cal {F}}f(x)$.
2. $\int x^{2}|{\cal {F}}f(x)|^{2}\,\mathrm {d} \lambda (x)=\int \liminf \left|{\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xh_{n}}-1 \over h_{n}}{\cal {F}}f(x)\right|^{2}\,\mathrm {d} \lambda (x)\leq \liminf \int \left|{\operatorname {e} ^{-\mathrm {i} xh_{n}}-1 \over h_{n}}{\cal {F}}f(x)\right|^{2}\,\mathrm {d} \lambda (x)=\liminf \|{\cal {F}}(\Delta _{h_{n}}f)\|_{2}^{2}=\liminf \|\Delta _{h_{n}}f\|_{2}^{2}\leq c^{2}$.
3. $\int |g|\,\mathrm {d} \lambda =\langle |g|,\mathbf {1} _{[-1,1]}\rangle +\langle x^{2}|g|(x),{1 \over x}\mathbf {1} _{|x|>1}\rangle$.
4. D'après les questions 2 et 3, $g:={\cal {F}}f\in \mathrm {L} ^{1}$ donc ${\cal {F}}g={\hat {g}}$, or $f={\tilde {{\cal {F}}g}}$, donc $f={\tilde {\hat {g}}}$, continue.