Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des transformées bilatérales de Laplace directes et inverses ainsi que des transformées de Fourier

**Applications des transformées bilatérales de Laplace directes et inverses ainsi que des transformées de Fourier**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Page d'exercices n^o 26
Chapitre du cours :	Transformées bilatérales de Laplace directes et inverses, cas particulier des transformées de Fourier
Exercices de niveau 14.
Exo préc. :	Applications du changement de référentiels
Exo suiv. :	Applications des fonctions hyperboliques directes et inverses

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Applications des transformées bilatérales de Laplace directes et inverses ainsi que des transformées de Fourier
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des transformées bilatérales de Laplace directes et inverses ainsi que des transformées de Fourier », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans cette page d'exercices, la convention adoptée pour la définition de la transformée de Fourier ^[1] sera
sa forme normalisée «

\;{\widehat {f}}(\omega )={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\operatorname {e} ^{-i\,\omega \,t}\;dt\;

» ^[2]^, ^[3] et
toutes les intégrales intervenant sont généralisées avec les deux bornes infinies.

Résolution de l'équation de la chaleur

     Soient $\;f\;$ une fonction de la variable réelle $\;x\;$ continue et intégrable sur $\;\mathbb {R} \;$ et
     Soient $\;\alpha \;$ une constante réelle $\;>0$ .
     On se propose de résoudre l'équation de la chaleur à une dimension « $\;\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)=\alpha \;\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ pour $\;(x\,,\,t)\in \mathbb {R} \times \left[0\,,\,+\infty \right[\;$ » avec la C.I. ^[4] « $\;u(x,\,0)=f(x)\;$ » et
              On se propose de résoudre l'équation de la chaleur à une dimension « $\;\,\color {transparent}{\left(\partial u\right)_{\!x}(x,\,t)=\alpha \;\left(\partial ^{2}u\right)_{\!t}(x,\,t)}\;$ pour $\;\color {transparent}{(x\,,\,t)\in \mathbb {R} \times \left[0\,,\,+\infty \right[}\;$ » avecla C.A.L. ^[5] « $\;u(x<0,\,t)=0\;$ » ^[6].

Calcul des transformées de Fourier des dérivées partielles (par rapport à t ou x) de u en fonction de la transformée de Fourier de u, u et ses dérivées partielles étant considérées comme fonction de x

Calculer les transformées de Fourier ^[1] des fonctions « $\;x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)\;$ » et « $\;x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ » en fonction de « $\;{\widehat {u}}(k,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }u(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx\;$ »
Calculer les transformées de Fourier des fonctions en précisant les hypothèses nécessaires.

Solution

Préliminaire : Nous supposons que la fonction « $\;x\;\mapsto u(x,\,t_{0})\;$ » admet une transformée de Fourier ^[1] pour tout $\;t_{0}\,\geqslant \,0\;$ ^[7]^, ^[8] « $\;{\widehat {u}}(k,\,t_{0})={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }u(x,\,t_{0})\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx\;$ » ;

      $\bullet \;$ la fonction « $\;x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)\;$ » admet une transformée de Fourier ^[1] « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}}}(k,\,t)\;$ » si « $\;\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)\;$ est intégrable en $\;x\;$ » ^[9]^, ^[10] soit « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}}}(k,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx\;$ »
           $\color {transparent}{\bullet }\;$ la fonction « $\;\color {transparent}{x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)}\;$ » admet une transformée de Fourier qui se réécrit « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}}}(k,\,t)=\left({\dfrac {\partial \left\lbrace {\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\,\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }u(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx\right\rbrace }{\partial t}}\right)_{\!k}(k,\,t)=\left({\dfrac {\partial {\widehat {u}}}{\partial t}}\right)_{\!k}(k,\,t)\;$ » ;
      $\bullet \;$ la fonction « $\;x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ » admet une transformée de Fourier ^[1] « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\;$ » si la fonction « $\;x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ » en admet une « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\;$ » et
      $\color {transparent}{\bullet }\;$ la fonction « $\;x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ » admet une transformée de Fourier ^[1] « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\;$ » si « $\;\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ est intégrable en $\;x\;$ » ^[9]^, ^[11] soit « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx\;$ » ou
           $\color {transparent}{\bullet }\;$ la fonction « $\;\color {transparent}{x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}(x,\,t)}\;$ » admet une transformée de Fourier en intégrant par parties ^[12] « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\left\lbrace {\cancel {\left[u(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\right]_{-\infty }^{+\infty }}}-\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }u(x,\,t)\;(-i\,k)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx\right\rbrace \;$ ^[13]
                 $\color {transparent}{\bullet }\;$ la fonction « $\;\color {transparent}{x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}(x,\,t)}\;$ » admet une transformée de Fourier en intégrant par parties « $\;\color {transparent}{{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)}$ $={\dfrac {i\,k}{\sqrt {2\,\pi }}}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }u(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx=i\,k\;{\widehat {u}}(k,\,t)\;$ » et
      $\color {transparent}{\bullet }\;$ la fonction « $\;x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ » admet une transformée de Fourier ^[1] « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\;$ » si la fonction « $\;\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ est intégrable en $\;x\;$ » ^[9]^, ^[14] ${\big \{}$ la fonction « $\;u(x,\,t_{0})\;$ » étant alors de classe C² ^[15] ${\big \}}$
           $\color {transparent}{\bullet }\;$ la fonction « $\;\color {transparent}{x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)}\;$ » admet une transformée de Fourier « $\;\color {transparent}{{\widehat {\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)}\;$ » soit « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx=i\,k\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\;$ » ^[16] puis
                   $\color {transparent}{\bullet }\;$ la fonction « $\;\color {transparent}{x\;\mapsto \left(\partial ^{2}u\right)_{\!t}(x,\,t)}\;$ » admet une transformée de Fourier « $\;\color {transparent}{{\widehat {\left(\partial ^{2}u\right)_{\!t}}}(k,\,t)}\;$ » en injectant l'expression de $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\;$ en fonction de $\;{\widehat {u}}(k,\,t)\;$ c.-à-d. « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)=i\,k\;{\widehat {u}}(k,\,t)\;$ »
                   $\color {transparent}{\bullet }\;$ la fonction « $\;\,\color {transparent}{x\;\mapsto \left(\partial ^{2}u\right)_{\!t}(x,\,t)}\;$ » admet une transformée de Fourier « $\;\color {transparent}{{\widehat {\left(\partial ^{2}u\right)_{\!t}}}(k,\,t)}\;$ » soit « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx=-k^{2}\;{\widehat {u}}(k,\,t)\;$ ».

« Transformation de Fourier » de l'équation de la chaleur et détermination de la solution « transformée de Fourier de u(x, t) » en fonction de « transformée de Fourier de f(x) »

     En transformant l'équation de la chaleur à une dimension « $\;\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)=\alpha \;\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ » par transformation de Fourier ^[1] en utilisant « $\;{\widehat {u}}(k,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }u(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx\;$ »
     En transformant l'équation de la chaleur à une dimension montrer que celle-ci se réécrit « $\;\left({\dfrac {\partial {\widehat {u}}}{\partial t}}\right)_{\!k}(k,\,t)=-\alpha \;k^{2}\;{\widehat {u}}(k,\,t)\;$ »,
     En transformant l'équation de la chaleur à une dimension vérifier la C.I. ^[4] en terme de transformée de Fourier ^[1] « $\;{\widehat {u}}(k,\,0)={\widehat {f}}(k)\;$ avec $\;{\widehat {f}}(k)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx\;$ » puis
     En transformant l'équation de la chaleur à une dimension résoudre « $\;\left({\dfrac {\partial {\widehat {u}}}{\partial t}}\right)_{\!k}(k,\,t)=-\alpha \;k^{2}\;{\widehat {u}}(k,\,t)\;$ ».

Solution

     La transformation de Fourier ^[1] de l'équation de la chaleur à une dimension « $\;\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)=\alpha \;\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}}}(k,\,t)=\alpha \;{\widehat {\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\;$ » soit, avec $\left\lbrace \!{\begin{array}{c}{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}}}(k,\,t)=\left({\dfrac {\partial {\widehat {u}}}{\partial t}}\right)_{\!k}(k,\,t)\\{\widehat {\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)=-k^{2}\;{\widehat {u}}(k,\,t)\end{array}}\!\right\rbrace \;$ ^[17],
         La transformation de Fourier de l'équation de la chaleur à une dimension « $\;\color {transparent}{\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)=\alpha \;\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)}\;$ » $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\;\left({\dfrac {\partial {\widehat {u}}}{\partial t}}\right)_{\!k}(k,\,t)=-\alpha \;k^{2}\;{\widehat {u}}(k,\,t)\;$ » C.Q.F.D. ^[18] ;
     de la C.I. ^[4] « $\;u(x,\,0)=f(x)\;$ » on déduit, par transformation de Fourier ^[1] « $\;{\widehat {u}}(k,\,0)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }u(x,\,0)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx={\widehat {f}}(k)\;$ » C.Q.F.V. ^[19] ;
     l'équation aux dérivées partielles obtenue « $\;\left({\dfrac {\partial {\widehat {u}}}{\partial t}}\right)_{\!k}(k,\,t)+\alpha \;k^{2}\;{\widehat {u}}(k,\,t)=0\;$ » étant, pour $\;k\;$ fixé, une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène en $\;{\widehat {u}}(k,\,t)\;$
     l'équation aux dérivées partielles obtenue se résout en $\;{\widehat {u}}(k,\,t)=C(k)\;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}\;$ ^[20] avec « $\;C(k)\;$ fonction a priori arbitraire de $\;k\;$ ^[21] qui se détermine à l'aide de la C.I. ^[4] $\;{\widehat {u}}(k,\,0)={\widehat {f}}(k)\;$ » soit finalement
   l'équation aux dérivées partielles obtenue se résout en « $\;{\widehat {u}}(k,\,t)={\widehat {f}}(k)\;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}\;$ ».

Détermination de la solution u(x, t) de l'équation de la chaleur en fonction de f(x)

De la solution de la transformée de Fourier ^[1] de l'équation de la chaleur à une dimension précédemment obtenue, en déduire la solution de « $\;\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)=\alpha \;\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ » en fonction de $\;f(x)$ .

Solution

     La solution de la transformée de Fourier ^[1] de l'équation de la chaleur à une dimension « $\;\left({\dfrac {\partial {\widehat {u}}}{\partial t}}\right)_{\!k}(k,\,t)=-\alpha \;k^{2}\;{\widehat {u}}(k,\,t)\;$ » étant « $\;{\widehat {u}}(k,\,t)={\widehat {f}}(k)\;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}\;$ » ^[22]
              La solution de la transformée de Fourier de l'équation de la chaleur à une dimension « $\;\,\color {transparent}{\left(\partial {\widehat {u}}\right)_{\!k}(k,\,t)=-\alpha \;k^{2}\;{\widehat {u}}(k,\,t)}\;$ » étant « où $\;k\,\mapsto \,{\widehat {f}}(k)\;$ est la transformée de Fourier ^[1] de $\;f(x)\;$
          La solution de la transformée de Fourier de l'équation de la chaleur à une dimension est à symétrie hermitienne $\;{\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ » ^[23]^, ^[24] et holomorphe ^[25] sur son domaine de définition d'où
          La solution de la transformée de Fourier de l'équation de la chaleur à une dimension est intégrable en $\;k\;$ sur $\;\mathbb {R} \;$ $\Rightarrow$ il existe $\;u(x,\,t)\;$ telle que $\;{\widehat {u}}(k,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }u(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx\;$
          La solution de la transformée de Fourier de l'équation de la chaleur à une dimension est intégrable en $\;\color {transparent}{k}\;$ sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ il existe $\;\color {transparent}{u(x,\,t)}\;$ qui peut être déterminée par formule d'inversion ^[26] selon
          La solution de la transformée de Fourier de l'équation de la chaleur à une dimension est intégrable en $\;\color {transparent}{k}\;$ sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ il existe $\;u(x,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {u}}(k,\,t)\;\operatorname {e} ^{i\,k\,x}\;dk\;$ soit finalement
          La solution de la transformée de Fourier de l'équation de la chaleur à une dimension est l'originale de $\;{\widehat {u}}(k,\,t)={\widehat {f}}(k)\;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}$ se calcule par « $\;u(x,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {f}}(k)\;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}\;\operatorname {e} ^{i\,k\,x}\;dk\;$ » et
          La solution de la transformée de Fourier de l'équation de la chaleur à une dimension est en injectant $\;{\widehat {f}}(k)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x')\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x'}\;dx'\;$ dans le but d'exprimer $\;u(x,\,t)\;$ en fonction de $\;f(x)$ ,
          La solution de la transformée de Fourier de l'équation de la chaleur à une dimension est « $\;u(x,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}\;\left\lbrace {\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x')\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x'}\;dx'\right\rbrace \;\operatorname {e} ^{i\,k\,x}\;dk\;$ » ou encore
          La solution de la transformée de Fourier de l'équation de la chaleur à une dimension est « $\;u(x,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}\;\left\lbrace {\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x')\;\operatorname {e} ^{i\,k\,(x-x')}\;dx'\right\rbrace \;dk\;$ ».

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Applications du changement de référentiels

Applications des fonctions hyperboliques directes et inverses

↑ ^1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 ^1,11 ^1,12 et ^1,13 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes $\;{\big (}$ évoqués ici ${\big )}\;$ et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\ldots$
↑ Voir le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable (fin de la remarque 1) » du chap. $26$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chap. $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 et ^4,3 Condition Initiale.
↑ Condition À la Limite.
↑ Le support d'une fonction numérique étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, la fonction est ici dite « à support positif » $\;{\big (}$ a priori il s'agit de positif au sens large ${\big )}$ , elle est alors qualifiée de « causale » s'il s'agit d'une fonction du temps $\;{\big (}$ en supposant que la fonction traduise les effets d'une cause qui ce serait produite à l'instant $\;t=0$ , les effets ne peuvent se produire qu'à un instant postérieur à l'instant de la création de la cause, les valeurs de la fonction pour tout $\;t<0\;$ sont alors effectivement nulles ; par généralisation on maintient le qualificatif « causal » même si la fonction du temps ne traduit pas les effets d'une cause ${\big )}$ .
↑ Voir les paragraphes « la transformation de Fourier, un cas particulier de la transformation bilatérale de Laplace » et « rappel de la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction “ causale ” f(t) (sous condition d'existence) » du chap. $26$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », avec le remplacement de $\;f(t)\;$ fonction causale par $\;g(x)\;$ fonction à support positif $\;{\big (}$ voir la note ⁶ plus haut dans cette feuille d'exercices ${\big )}$ .
↑ $u(x,\,t_{0})\;$ transformable par Fourier pour tout $\;t_{0}\,\geqslant \,0\;$ $\Rightarrow$ $\;u(x,\,t_{0})\;$ d'ordre exponentiel nul c.-à-d. « $\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\forall \,\eta \,\geqslant \,0,\;\;{\Big \vert }\exp \!\left(-\eta \;x\right)\;u(x,\,t_{0}){\Big \vert }<M,\;\;\forall \,x>\Lambda \;$ et $\;\forall \,\Lambda >0\;$ » ${\big \{}$ voir la note « ⁷ » plus haut dans cette feuille d'exercices ${\big \}}$ .
↑ ^9,0 ^9,1 et ^9,2
Comparaison entre l'intégration de Riemann (bleu) et l'intégration de Lebesgue (rouge).
L'intégrabilité de la fonction étant initialement définie au sens de Riemann $\;{\big [}$ voir le paragraphe « intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , c.-à-d. applicable à toute fonction réelle bornée et presque partout continue, $\;{\big (}$ voir l'approche ci-contre en bleu par une somme d'aires de rectangles de même largeur sur l'axe des abscisses et de hauteur variant avec la valeur de la fonction en un point de sa largeur ${\big )}$ ,
                  l'intégrabilité de la fonction peut être étendue au sens de Lebesgue $\;{\big (}$ nécessitant des connaissances plus poussées ${\big )}\;$ ${\big (}$ voir l'approche ci-contre en rouge par une somme d'aires de rectangles de hauteur égale à des valeurs de la fonction régulièrement espacées et de largeur égale à l'intervalle d'abscisses correspondant à la hauteur du rectangle ${\big )}$ .
    Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse $\;{\big (}$ partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration ${\big )}\;$ et à la géométrie différentielle $\;{\big (}$ partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps ${\big )}$ .
   Henri-Léon Lebesgue (1875 - 1941), mathématicien français, reconnu comme l'un des plus grands de la 1^ère moitié du XX^ème siècle, à qui on doit principalement sa théorie d'intégration publiée en $\;1902\;$ et associée à la notion de « mesure de Lebesgue » prolongeant le concept intuitif de volume.
↑ En cas où on s'intéresserait à l'intégration de Lebesgue, la fonction « $\;x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)\;$ » admet une transformée de Fourier si $\;\left|\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)\right|\;$ est $\;\leqslant g(x)\in L^{1}\;$ où l'espace L¹ est celui des fonctions de valeur absolue intégrable au sens de Lebesgue.
↑ En cas où on s'intéresserait à l'intégration de Lebesgue, la fonction « $\;x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!i}(x,\,t)\;$ » admet une transformée de Fourier si $\;\left|\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}(x,\,t)\right|\;$ est $\;\leqslant g(x)\in L^{1}\;$ où l'espace L¹ est celui des fonctions de valeur absolue intégrable au sens de Lebesgue.
↑ Voir le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La raison de la nullité du 1^er terme entre accolades résulte du fait que $\;u(x,\,t_{0})\;$ est d'ordre exponentiel nul c.-à-d. « $\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\forall \,\eta \,\geqslant \,0,\;\;{\Big \vert }\exp \!\left(-\eta \;x\right)\;u(x,\,t_{0}){\Big \vert }<M,\;\;\forall \,x>\Lambda \;$ et $\;\forall \,\Lambda >0\;$ » $\;{\big \{}$ voir la note « ⁸ » plus haut dans cette feuille d'exercices ${\big \}}$ et qu'elle est à support positif $\;{\big (}$ voir la note ⁶ plus haut dans cette feuille d'exercices ${\big )}$ .
↑ En cas où on s'intéresserait à l'intégration de Lebesgue, la fonction « $\;x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!i}(x,\,t)\;$ » admet une transformée de Fourier si $\;\left|\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\right|\;$ est $\;\leqslant g(x)\in L^{1}\;$ où l'espace L¹ est celui des fonctions de valeur absolue intégrable au sens de Lebesgue.
↑ L'ensemble des fonctions de classe C² est celui des fonctions dont la dérivée 2^nde est continue.
↑ Obtenu à partir du résultat précédemment établi « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx=i\,k\;{\widehat {u}}(k,\,t)\;$ » en remplaçant la fonction $\;\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ par $\;\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\\{\widehat {u}}(k,\,t)\end{array}}\right\rbrace \;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\widehat {\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\\{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx=i\,k\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\;$ ».
↑ Voir la solution de la question « calcul des transformées de Fourier des dérivées partielles (par rapport à t ou x) de u en fonction de la transformée de Fourier de u, u et ses dérivées partielles étant considérées comme fonction de x » plus haut dans cet exercice.
↑ Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ Ce Qu'il Fallait Vérifier.
↑ Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Fonction qui est donc constante à $\;k\;$ fixé.
↑ Voir solution de la question « transformation de Fourier de l'équation de la chaleur et détermination de la solution “ transformée de Fourier de u(x, t) ” en fonction de “ transformée de Fourier de f(x) ” » plus haut dans cet exercice.
↑ Une fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ d'une variable réelle $\;\xi \;$ est « à symétrie hermitienne $\;{\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ » « si $\;{\underline {F}}(-\xi )=\left[{\underline {F}}(\xi )\right]^{*}\;$ avec $\;\left[{\underline {F}}(\xi )\right]^{*}\;$ conjugué de $\;{\underline {F}}(\xi )\;$ » ;
il s'agit d'un prolongement des électroniciens de la notion « symétrie hermitienne » d'une forme sesquilinéaire $\;{\underline {f}}\left(\;,\;\right)$ $\;{\Bigg [}$ appliquant $\;H^{2}$ $\;{\big (}$ où $\;H\;$ est un $\;\mathbb {C} -$ espace vectoriel ${\big )}\;$ dans $\;\mathbb {C} \;$ selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {f}}\left(x+{\underline {\lambda }}\;x'\,,\,y\right)={\underline {f}}\left(x\,,\,y\right)+{\underline {\lambda }}^{*}\;{\underline {f}}\left(x'\,,\,y\right)\\{\underline {f}}\left(x\,,\,y+{\underline {\mu }}\;y'\right)={\underline {f}}\left(x\,,\,y\right)+{\underline {\mu }}\;{\underline {f}}\left(x\,,\,y'\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ si sesquilinéaire à gauche ${\Bigg ]}\;$ cette dernière étant à symétrie hermitienne si $\;{\underline {f}}(y\,,\,x)=\left[{\underline {f}}(x\,,\,y)\right]^{*}\!$ ,
il s'agit d'un le prolongement de la « symétrie hermitienne » à la fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ de la variable réelle $\;\xi \;$ traduisant que $\;{\underline {F}}\;$ est de « module pair $\;\vert {\underline {F}}(-\xi )\vert =\vert {\underline {F}}(\xi )\vert \;$ » et d'« argument impair $\;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {F}}(-\xi )\right]$ $=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {F}}(\xi )\right]\;$ », ce qui n'a qu'un rapport lointain avec la « symétrie hermitienne » d'une forme sesquilinéaire d'où l'ajout « au sens des électroniciens ».
Charles Hermite (1822 - 1901) mathématicien français connu pour ses travaux sur la théorie des nombres, les formes quadratiques, les polynômes othogonaux, les fonctions elliptiques et les équations différentielles, il fut aussi l'un des 1^ers à utiliser les matrices ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.
↑ « $\;{\underline {\widehat {u}}}(k,\,t)={\underline {\widehat {f}}}(k)\;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}=\left\lbrace {\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx\right\rbrace \;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}\;$ » est effectivement à symétrie hermitienne $\;{\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ en effet
« $\;{\underline {\widehat {u}}}(-k,\,t)=\left\lbrace {\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\;\operatorname {e} ^{i\,k\,x}\;dx\right\rbrace \;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}=\left\lbrace {\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx\right\rbrace ^{*}\;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}=\left[{\underline {\widehat {u}}}(k,\,t)\right]^{*}\;$ ».
↑ C.-à-d. dérivable $\;{\big (}$ au sens complexe ${\big )}$ .
↑ Voir le paragraphe « expression de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle sous conditions d'existence et d'intégrabilité (remarque 1) » du chap. $26$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[Fourier-1] 1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 ^1,11 ^1,12 et ^1,13 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes $\;{\big (}$ évoqués ici ${\big )}\;$ et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\ldots$

[transformée_de_Fourier-2] Voir le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable (fin de la remarque 1) » du chap. $26$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[Intégrale_impropre-3] Voir le paragraphe « intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chap. $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[C.I.-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 et ^4,3 Condition Initiale.

[C.A.L.-5] Condition À la Limite.

[u_fonction_causale_ou_à_support_positif-6] Le support d'une fonction numérique étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, la fonction est ici dite « à support positif » $\;{\big (}$ a priori il s'agit de positif au sens large ${\big )}$ , elle est alors qualifiée de « causale » s'il s'agit d'une fonction du temps $\;{\big (}$ en supposant que la fonction traduise les effets d'une cause qui ce serait produite à l'instant $\;t=0$ , les effets ne peuvent se produire qu'à un instant postérieur à l'instant de la création de la cause, les valeurs de la fonction pour tout $\;t<0\;$ sont alors effectivement nulles ; par généralisation on maintient le qualificatif « causal » même si la fonction du temps ne traduit pas les effets d'une cause ${\big )}$ .

[condition_pour_qu'une_fonction_de_x_admette_une_transformation_de_Fourier-7] Voir les paragraphes « la transformation de Fourier, un cas particulier de la transformation bilatérale de Laplace » et « rappel de la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction “ causale ” f(t) (sous condition d'existence) » du chap. $26$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », avec le remplacement de $\;f(t)\;$ fonction causale par $\;g(x)\;$ fonction à support positif $\;{\big (}$ voir la note ⁶ plus haut dans cette feuille d'exercices ${\big )}$ .

[fonction_d'ordre_exponentiel_nul-8] $u(x,\,t_{0})\;$ transformable par Fourier pour tout $\;t_{0}\,\geqslant \,0\;$ $\Rightarrow$ $\;u(x,\,t_{0})\;$ d'ordre exponentiel nul c.-à-d. « $\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\forall \,\eta \,\geqslant \,0,\;\;{\Big \vert }\exp \!\left(-\eta \;x\right)\;u(x,\,t_{0}){\Big \vert }<M,\;\;\forall \,x>\Lambda \;$ et $\;\forall \,\Lambda >0\;$ » ${\big \{}$ voir la note « ⁷ » plus haut dans cette feuille d'exercices ${\big \}}$ .

[intégrabilité_d'une_fonction-9] 9,0 ^9,1 et ^9,2
Comparaison entre l'intégration de Riemann (bleu) et l'intégration de Lebesgue (rouge).
L'intégrabilité de la fonction étant initialement définie au sens de Riemann $\;{\big [}$ voir le paragraphe « intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , c.-à-d. applicable à toute fonction réelle bornée et presque partout continue, $\;{\big (}$ voir l'approche ci-contre en bleu par une somme d'aires de rectangles de même largeur sur l'axe des abscisses et de hauteur variant avec la valeur de la fonction en un point de sa largeur ${\big )}$ ,
l'intégrabilité de la fonction peut être étendue au sens de Lebesgue $\;{\big (}$ nécessitant des connaissances plus poussées ${\big )}\;$ ${\big (}$ voir l'approche ci-contre en rouge par une somme d'aires de rectangles de hauteur égale à des valeurs de la fonction régulièrement espacées et de largeur égale à l'intervalle d'abscisses correspondant à la hauteur du rectangle ${\big )}$ .
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse $\;{\big (}$ partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration ${\big )}\;$ et à la géométrie différentielle $\;{\big (}$ partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps ${\big )}$ .
Henri-Léon Lebesgue (1875 - 1941), mathématicien français, reconnu comme l'un des plus grands de la 1^ère moitié du XX^ème siècle, à qui on doit principalement sa théorie d'intégration publiée en $\;1902\;$ et associée à la notion de « mesure de Lebesgue » prolongeant le concept intuitif de volume.

[10] En cas où on s'intéresserait à l'intégration de Lebesgue, la fonction « $\;x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)\;$ » admet une transformée de Fourier si $\;\left|\left({\dfrac {\partial u}{\partial t}}\right)_{\!x}(x,\,t)\right|\;$ est $\;\leqslant g(x)\in L^{1}\;$ où l'espace L¹ est celui des fonctions de valeur absolue intégrable au sens de Lebesgue.

[11] En cas où on s'intéresserait à l'intégration de Lebesgue, la fonction « $\;x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!i}(x,\,t)\;$ » admet une transformée de Fourier si $\;\left|\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}(x,\,t)\right|\;$ est $\;\leqslant g(x)\in L^{1}\;$ où l'espace L¹ est celui des fonctions de valeur absolue intégrable au sens de Lebesgue.

[I.p.p.-12] Voir le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[13] La raison de la nullité du 1^er terme entre accolades résulte du fait que $\;u(x,\,t_{0})\;$ est d'ordre exponentiel nul c.-à-d. « $\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\forall \,\eta \,\geqslant \,0,\;\;{\Big \vert }\exp \!\left(-\eta \;x\right)\;u(x,\,t_{0}){\Big \vert }<M,\;\;\forall \,x>\Lambda \;$ et $\;\forall \,\Lambda >0\;$ » $\;{\big \{}$ voir la note « ⁸ » plus haut dans cette feuille d'exercices ${\big \}}$ et qu'elle est à support positif $\;{\big (}$ voir la note ⁶ plus haut dans cette feuille d'exercices ${\big )}$ .

[14] En cas où on s'intéresserait à l'intégration de Lebesgue, la fonction « $\;x\;\mapsto \left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!i}(x,\,t)\;$ » admet une transformée de Fourier si $\;\left|\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\right|\;$ est $\;\leqslant g(x)\in L^{1}\;$ où l'espace L¹ est celui des fonctions de valeur absolue intégrable au sens de Lebesgue.

[classe_C2-15] L'ensemble des fonctions de classe C² est celui des fonctions dont la dérivée 2^nde est continue.

[16] Obtenu à partir du résultat précédemment établi « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx=i\,k\;{\widehat {u}}(k,\,t)\;$ » en remplaçant la fonction $\;\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ par $\;\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\\{\widehat {u}}(k,\,t)\end{array}}\right\rbrace \;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\widehat {\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\\{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où « $\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\left({\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{\!t}(x,\,t)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx=i\,k\;{\widehat {\left({\dfrac {\partial u}{\partial x}}\right)_{\!t}}}(k,\,t)\;$ ».

[17] Voir la solution de la question « calcul des transformées de Fourier des dérivées partielles (par rapport à t ou x) de u en fonction de la transformée de Fourier de u, u et ses dérivées partielles étant considérées comme fonction de x » plus haut dans cet exercice.

[C.Q.F.D.-18] Ce Qu'il Fallait Démontrer.

[C.Q.F.V.-19] Ce Qu'il Fallait Vérifier.

[résolution_d'une_équation_différentielle_linéaire_du_1er_ordre_homogène-20] Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène » du chap. $2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[21] Fonction qui est donc constante à $\;k\;$ fixé.

[22] Voir solution de la question « transformation de Fourier de l'équation de la chaleur et détermination de la solution “ transformée de Fourier de u(x, t) ” en fonction de “ transformée de Fourier de f(x) ” » plus haut dans cet exercice.

[symétrie_hermitienne_au_sens_des_électroniciens-23] Une fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ d'une variable réelle $\;\xi \;$ est « à symétrie hermitienne $\;{\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ » « si $\;{\underline {F}}(-\xi )=\left[{\underline {F}}(\xi )\right]^{*}\;$ avec $\;\left[{\underline {F}}(\xi )\right]^{*}\;$ conjugué de $\;{\underline {F}}(\xi )\;$ » ;
il s'agit d'un prolongement des électroniciens de la notion « symétrie hermitienne » d'une forme sesquilinéaire $\;{\underline {f}}\left(\;,\;\right)$ $\;{\Bigg [}$ appliquant $\;H^{2}$ $\;{\big (}$ où $\;H\;$ est un $\;\mathbb {C} -$ espace vectoriel ${\big )}\;$ dans $\;\mathbb {C} \;$ selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {f}}\left(x+{\underline {\lambda }}\;x'\,,\,y\right)={\underline {f}}\left(x\,,\,y\right)+{\underline {\lambda }}^{*}\;{\underline {f}}\left(x'\,,\,y\right)\\{\underline {f}}\left(x\,,\,y+{\underline {\mu }}\;y'\right)={\underline {f}}\left(x\,,\,y\right)+{\underline {\mu }}\;{\underline {f}}\left(x\,,\,y'\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ si sesquilinéaire à gauche ${\Bigg ]}\;$ cette dernière étant à symétrie hermitienne si $\;{\underline {f}}(y\,,\,x)=\left[{\underline {f}}(x\,,\,y)\right]^{*}\!$ ,
il s'agit d'un le prolongement de la « symétrie hermitienne » à la fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ de la variable réelle $\;\xi \;$ traduisant que $\;{\underline {F}}\;$ est de « module pair $\;\vert {\underline {F}}(-\xi )\vert =\vert {\underline {F}}(\xi )\vert \;$ » et d'« argument impair $\;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {F}}(-\xi )\right]$ $=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {F}}(\xi )\right]\;$ », ce qui n'a qu'un rapport lointain avec la « symétrie hermitienne » d'une forme sesquilinéaire d'où l'ajout « au sens des électroniciens ».
Charles Hermite (1822 - 1901) mathématicien français connu pour ses travaux sur la théorie des nombres, les formes quadratiques, les polynômes othogonaux, les fonctions elliptiques et les équations différentielles, il fut aussi l'un des 1^ers à utiliser les matrices ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.

[24] « $\;{\underline {\widehat {u}}}(k,\,t)={\underline {\widehat {f}}}(k)\;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}=\left\lbrace {\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx\right\rbrace \;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}\;$ » est effectivement à symétrie hermitienne $\;{\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ en effet
« $\;{\underline {\widehat {u}}}(-k,\,t)=\left\lbrace {\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\;\operatorname {e} ^{i\,k\,x}\;dx\right\rbrace \;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}=\left\lbrace {\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\;\operatorname {e} ^{-i\,k\,x}\;dx\right\rbrace ^{*}\;\operatorname {e} ^{-\alpha \,k^{2}\,t}=\left[{\underline {\widehat {u}}}(k,\,t)\right]^{*}\;$ ».

[holomorphe-25] C.-à-d. dérivable $\;{\big (}$ au sens complexe ${\big )}$ .

[détermination_de_la_transformée_de_Fourier_inverse-26] Voir le paragraphe « expression de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle sous conditions d'existence et d'intégrabilité (remarque 1) » du chap. $26$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

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