Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Complexes, formes algébrique et trigonométrique

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Complexes, formes algébrique et trigonométrique
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Chapitre no 10
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Fonctions trigonométriques inverses
Chap. suiv. :Coniques
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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Complexes, formes algébrique et trigonométrique
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Rappel, forme algébrique et forme trigonométrique d'un complexe[modifier | modifier le wikicode]

     L'ensemble des nombres complexes, noté , peut être considéré comme une extension de l'ensemble des nombres réels , auquel
     L'ensemble des nombres complexes, noté , « on a ajouté un élément , appelé unité imaginaire, dont le carré est » [1] et
     L'ensemble des nombres complexes, noté , « en prolongeant les lois d'addition et de multiplication définies sur l'ensemble des réels » [2] ;

     toutefois l'ensemble des complexes ne conserve pas toutes les propriétés de l'ensemble des réels ,
     toutefois l'ensemble des complexes ne conserve pas toutes les propriétés en particulier est ordonné alors que ne l'est pas [3] ;

     on peut distinguer deux sous-ensembles particuliers de l'ensemble des complexes  :

  • « l'ensemble des réels » et
  • « l'ensemble des imaginaires purs noté » obtenu par multiplication de tout réel par l'unité imaginaire .

Forme algébrique d'un complexe, partie réelle et partie imaginaire[modifier | modifier le wikicode]

     Tout complexe [4] peut être écrit comme la somme d'un réel et d'un imaginaire pur , la forme obtenue «» étant la forme algébrique du complexe dans laquelle :

  • est appelé « partie réelle du complexe » et
  • est appelé « partie imaginaire du complexe » [5].

     On peut représenter le complexe dans un plan dit « complexe » [6] c-à-d, un plan contenant deux axes se coupant en un point [7],

  • l'un des axes servant à repérer la partie réelle du complexe [8] et
  • l'autre sa partie imaginaire [9] ;

     « le point ayant pour coordonnées les parties réelle et imaginaire est appelé image du complexe » « le complexe quant à lui définissant l’affixe du point » [10].

Notion de complexe conjugué[modifier | modifier le wikicode]

     Le complexe conjugué du complexe de forme algébrique «» dans laquelle est le complexe, noté en physique , ayant même partie réelle que mais une partie imaginaire opposée à celle de soit le complexe de forme algébrique «».

     Remarque : « ».

Forme trigonométrique d'un complexe, module et argument[modifier | modifier le wikicode]

     Reprenant la représentation du complexe dans le plan « complexe » [6] par son image , il est possible de repérer par

  • la distance le séparant de l'origine définissant le « module du complexe noté » et
  • l'angle que fait la direction avec l'axe des réels définissant l'« argument du complexe » [11] ;

     le complexe se réécrit alors sous sa « forme trigonométrique » [12].

     Retour sur la notion de complexe conjugué : le complexe conjugué du complexe de forme trigonométrique «» dans laquelle et sont respectivement le module et l'argument de , est le complexe, noté en physique , ayant même module que mais un argument opposé à celui de soit le complexe de forme trigonométrique «».

     Retour sur la notion de complexe conjugué : Remarque : Les deux définitions à partir des formes algébrique ou trigonométrique sont évidemment équivalentes, voir les paragraphes « détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique » et « détermination de la forme trigonométrique d'un complexe connaissant sa forme algébrique » plus loin dans ce chapitre.

Détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique[modifier | modifier le wikicode]

     Le complexe de « forme trigonométrique » [13] se réécrit en utilisant la « définition de l'exponentielle complexe », selon « » ; la comparaison de cette dernière forme avec la forme algébrique nous donne, par identification des parties réelles et des parties imaginaires

«» [14].

     Remarque : À partir de la forme trigonométrique du complexe conjugué relativement à celle du complexe , nous vérifions que la définition du complexe conjugué à partir de la forme trigonométrique celle du complexe conjugué à partir de la forme algébrique car
     Remarque : «» c.-à-d. mêmes parties réelles alors que
     Remarque : «» c.-à-d. des parties imaginaires opposées.

Détermination de la forme trigonométrique d'un complexe connaissant sa forme algébrique[modifier | modifier le wikicode]

     Le complexe étant connu par sa « forme algébrique », on souhaite déterminer sa « forme trigonométrique » où « est son module » et « son argument » quand celui-ci existe c.-à-d. quand .

Détermination du module[modifier | modifier le wikicode]

     En s'aidant de la représentation du complexe dans le plan complexe et en notant « l'image du complexe » nous déterminons « la distance le séparant du point origine qui doit être identifiée au module » du complexe d'où

«» [15].

Détermination de l'argument[modifier | modifier le wikicode]

     Souhaitant déterminer l'argument « du complexe » [16] « nous discuterons relativement à la valeur de sa partie réelle » :

  • « pour », le complexe est imaginaire pur et
    «»,
  • « pour », l'argument du complexe «» peut être mis sous la forme d'un [17] et on en déduit
    «»,
  • « pour », l'argument du complexe «» ne peut pas être mis sous la forme d'un  ; « son expression dépend alors de la valeur de la partie imaginaire » :
    « pour », « pour » le complexe est réel négatif et son argument vaut «»,
    « pour », « pour » l'argument du complexe «» alors que «» d'où
    «»,
    « pour », « pour » l'argument du complexe «» alors que «» d'où
    «».

Remarque concernant la notion de complexe conjugué[modifier | modifier le wikicode]

     À partir de la forme algébrique du complexe conjugué relativement à celle du complexe , nous vérifions que la définition du complexe conjugué à partir de la forme algébrique celle du complexe conjugué à partir de la forme trigonométrique car

     «» c.-à-d. mêmes modules alors que
     «» c.-à-d. des arguments opposés.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Et donc .
  2. La loi d'addition restant commutative, associative, avec le même élément neutre et telle que tout élément de l'ensemble possède un unique élément symétrique appelé opposé dans le cas de l'addition et
       la loi de multiplication restant commutative, associative, avec le même élément neutre et telle que tout élément de l'ensemble possède un unique élément symétrique appelé inverse dans le cas de la multiplication en ajoutant que
       la multiplication est distributive relativement à l'addition « » d'une part et que
       l'élément est absorbant relativement à la multiplication «» d'autre part.
  3. Dire qu'un complexe non réel est plus grand ou plus petit qu'un autre complexe n'a aucun sens !
  4. En physique on souligne les variables pour préciser qu'elles sont complexes.
  5. La partie imaginaire du complexe ne contient pas le facteur , c'est donc, par définition, un réel il faut donc distinguer un imaginaire pur qui de sa partie imaginaire qui .
  6. 6,0 et 6,1 Encore appelé plan « d'Argand » ;
       Jean-Robert Argand (1768 - 1822) est un mathématicien suisse amateur son occupation principale étant de tenir une librairie, on lui doit essentiellement une « géométrisation » des complexes publiée en mais celle-ci est restée dans l'ombre elle fut d'ailleurs trouvée ultérieurement et indépendamment par plusieurs autres mathématiciens et ce n'est que vers qu'elle réapparaît grâce à Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) mathématicien français et aussi à Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) mathématicien, astronome et physicien allemand, raison pour laquelle le plan complexe est encore appelé plan « d'Argand-Cauchy » ou plan « d'Argand-Gauss » ;
       Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), mathématicien français à qui on doit, entre autres, des critères de convergence des suites et des séries entières dans le domaine de l'analyse et dans celui de l'optique des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques ;
       Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps il fut surnommé « le prince des mathématiciens », on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines en , à l'âge de dix-neuf ans, Gauss caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone polygone régulier de côtés soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en la 1ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple ou ou encore de même que  ; dans le domaine de l'astronomie il publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter ; dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme dont certaines n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIXème siècle, Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes ;
       Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie ;
       James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
  7. Usuellement ces deux axes sont orthonormés.
  8. Cet axe étant appelé « axe des réels » sera noté pour la suite.
  9. Cet axe étant appelé « axe des imaginaires purs » sera noté pour la suite ; c'est parce que l'ensemble des parties imaginaires des éléments de est donc ordonné qu'il est possible de représenter un imaginaire pur sur un axe.
  10. « Affixe » est féminin.
  11. En fait l'angle que fait la direction avec l'axe des réels n'est défini que si le complexe n'a pas d'argument ;
       de plus l'angle que fait la direction , quand elle existe, avec l'axe des réels étant défini à près, il en est de même de l'argument du complexe également défini à près, ayant donc une infinité de déterminations possibles ; dans la pratique il est d'usage de privilégier une détermination particulière de cet argument celle dont la valeur absolue appartient à , c'est ce que nous ferons par la suite sans autre précision.
  12. Voir justification au paragraphe « détermination de la forme algébrique d'un complexe connaissant sa forme trigonométrique » plus exactement dans la note « 14 » plus loin dans le chapitre.
  13. Dans le cas où , son module et le 2ème facteur de la forme trigonométrique ne jouant aucun rôle, étant l'élément absorbant de la multiplication, il n'est pas gênant que l'argument de ne soit pas défini.
  14. Ces relations justifient l'expression de la forme trigonométrique dans la mesure où le module s'identifie à la distance et où l'argument s'identifie à l'angle de la représentation du complexe dans le plan complexe.
  15. Le complexe nul c.-à-d. à partie réelle et partie imaginaire simultanément nulles a un module nul.
  16. On rappelle qu'on ne peut pas définir d'argument pour le complexe nul.
  17. Voir le paragraphe « fonction arctangente » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  18. Si , d'où ,
        si , d'où ,
        les deux résultats étant en accord avec les résultats précédemment trouvés.
  19. Si , on vérifierait que «»,
       si , on vérifierait que «»,
       les deux résultats correspondant à l'une ou l'autre des relations «» ;
       la démonstration de ces relations résulte de «» soit,
       avec et inversion «», l'égalité pouvant être écrite comme cela car « peut être mis sous la forme d'un », on obtient, en posant «», «» ou encore, avec «», «» ;
       avec et inversion «», l'égalité doit être écrite comme cela car « ne peut pas être mis sous la forme d'un » mais doit l'être sous la forme d'un «», on obtient, après simplification et avec « », «» ou, avec «», «».