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Exercice : SommeOpérations sur les fonctions/Exercices/Somme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit
f
{\displaystyle f}
la fonction définie sur
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}
par
f
(
x
)
=
−
2
x
+
4
+
1
x
{\displaystyle f(x)=-2x+4+{\frac {1}{x}}}
.
Écrire
f
{\displaystyle f}
comme somme de deux fonctions
u
{\displaystyle u}
et
v
{\displaystyle v}
(définies sur
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}
).
Donner le sens de variation de
u
{\displaystyle u}
et
v
{\displaystyle v}
.
En déduire celui de
f
{\displaystyle f}
.
Solution
f
=
u
+
v
{\displaystyle f=u+v}
avec (par exemple !) pour tout
x
∈
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle x\in \left]0,+\infty \right[}
,
u
(
x
)
=
−
2
x
+
4
{\displaystyle u(x)=-2x+4}
et
v
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle v(x)={\frac {1}{x}}}
.
Sur
]
0
,
+
∞
[
{\displaystyle \left]0,+\infty \right[}
:
u
{\displaystyle u}
, fonction affine de coefficient directeur
−
2
{\displaystyle -2}
, est décroissante ;
v
{\displaystyle v}
, fonction inverse, est décroissante.
f
{\displaystyle f}
, somme de deux fonctions décroissantes, est décroissante.