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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Opérations sur les fonctions : Somme et différence Opérations sur les fonctions/Somme et différence », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
Soient deux fonctions ƒ et
g respectivement définies sur les domaines
D
f
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}}
et
D
g
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{g}}
.
La fonction somme de ƒ et g , notée
f
+
g
{\displaystyle f+g}
g sont toutes les deux définies, c'est-à-dire sur
D
f
∩
D
g
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}\cap {\mathcal {D}}_{g}}
pour tout
x
∈
D
f
∩
D
g
,
(
f
+
g
)
(
x
)
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
{\displaystyle x\in {\mathcal {D}}_{f}\cap {\mathcal {D}}_{g},~(f+g)(x)=f(x)+g(x)}
Début de l'exemple
Exemple
Soient les deux fonctions ƒ et
g définies sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
par
f
:
x
↦
x
2
−
1
{\displaystyle f:x\mapsto x^{2}-1}
g
:
x
↦
2
x
+
3
{\displaystyle g:x\mapsto 2x+3}
La fonction
h
=
f
+
g
{\displaystyle h=f+g}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
h
(
x
)
=
(
f
+
g
)
(
x
)
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
=
x
2
−
1
+
2
x
+
3
{\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=(f+g)(x)\\&=f(x)+g(x)\\&=x^{2}-1+2x+3\\\end{aligned}}}
Donc, pour tout
x
∈
R
,
h
(
x
)
=
x
2
+
2
x
+
2
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~h(x)=x^{2}+2x+2}
.
Fin de l'exemple
Il est simple de construire la représentation graphique de
f
+
g
{\displaystyle f+g}
g par le procédé ci-dessous.
On rappelle que l'ordonnée d'un point du graphe de la fonction ƒ situé à l'abscisse a vaut
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
g situé à l'abscisse a vaut
g
(
a
)
{\displaystyle g(a)}
Pour avoir l'ordonnée du point du graphe de la fonction
f
+
g
{\displaystyle f+g}
a , qui vaut
f
(
a
)
+
g
(
a
)
{\displaystyle f(a)+g(a)}
ajouter les ordonnées.
Définition
Soient deux fonctions ƒ et
g respectivement définies sur les domaines
D
f
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}}
et
D
g
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{g}}
.
La fonction différence de ƒ par g , notée
f
−
g
{\displaystyle f-g}
g sont toutes les deux définies, c'est-à-dire sur
D
f
∩
D
g
{\displaystyle {\mathcal {D}}_{f}\cap {\mathcal {D}}_{g}}
pour tout
x
∈
D
f
∩
D
g
,
(
f
−
g
)
(
x
)
=
f
(
x
)
−
g
(
x
)
{\displaystyle x\in {\mathcal {D}}_{f}\cap {\mathcal {D}}_{g},~(f-g)(x)=f(x)-g(x)}
Début de l'exemple
Exemple
Soient les deux fonctions ƒ et
g définies sur
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
par
f
:
x
↦
x
2
−
1
{\displaystyle f:x\mapsto x^{2}-1}
g
:
x
↦
2
x
+
3
{\displaystyle g:x\mapsto 2x+3}
La fonction
h
=
f
−
g
{\displaystyle h=f-g}
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
h
(
x
)
=
(
f
−
g
)
(
x
)
=
f
(
x
)
−
g
(
x
)
=
x
2
−
1
−
(
2
x
+
3
)
=
x
2
−
1
−
2
x
−
3
{\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=(f-g)(x)\\&=f(x)-g(x)\\&=x^{2}-1-(2x+3)\\&=x^{2}-1-2x-3\\\end{aligned}}}
Donc, pour tout
x
∈
R
,
h
(
x
)
=
x
2
−
2
x
−
4
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~h(x)=x^{2}-2x-4}
Fin de l'exemple
Il est simple de construire la représentation graphique de
f
−
g
{\displaystyle f-g}
g par le procédé ci-dessous.
L'ordonnée du point du graphe de la fonction
f
−
g
{\displaystyle f-g}
a vaut
f
(
a
)
−
g
(
a
)
{\displaystyle f(a)-g(a)}
Pour avoir ce point, il suffit de soustraire
g
(
a
)
{\displaystyle g(a)}
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
.
Début d’un théorème
Sens de variation de ƒ + g
Soit
I un intervalle
Si ƒ et g sont croissantes sur I , alors ƒ + g est croissante sur I
Si ƒ et g sont décroissantes sur I , alors ƒ + g est décroissante sur I
Si ƒ et g n'ont pas le même sens de variation, on ne peut rien déduire pour le sens de variation de ƒ + g .
Fin du théorème
'Démonstration'
Soit deux fonctions u et v strictement croissantes sur un intervalle I.
On veut démontrer que la fonction somme u+v est aussi strictement croissante.
Soient x1 et x2 appartenant à I tels que x1<x2 ;
Comme u et v sont strictement croissantes sur I
on a : u(x1)<u(x2) et v(x1)<v(x2)
par somme, u(x1) + v(x1) < u(x2) + v(x2)
donc (u+v)(x1) < (u+v)(x2)
donc u+v est strictement croissante sur I.
