Opérations sur les fonctions/Somme et différence

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Somme

Définition

Définition

Soient deux fonctions ƒ et g respectivement définies sur les domaines ${\mathcal {D}}_{f}$ et ${\mathcal {D}}_{g}$.

La fonction somme de ƒ et g, notée $f+g$, est définie lorsque ƒ et g sont toutes les deux définies, c'est-à-dire sur ${\mathcal {D}}_{f}\cap {\mathcal {D}}_{g}$ par :

pour tout $x\in {\mathcal {D}}_{f}\cap {\mathcal {D}}_{g},~(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

Début de l'exemple

Exemple

Soient les deux fonctions ƒ et g définies sur $\mathbb {R}$ par

• $f:x\mapsto x^{2}-1$
• $g:x\mapsto 2x+3$

La fonction $h=f+g$ est définie par pour tout $x\in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}h(x)&=(f+g)(x)\\&=f(x)+g(x)\\&=x^{2}-1+2x+3\\\end{aligned}}$

Donc, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~h(x)=x^{2}+2x+2$.

Fin de l'exemple

Représentation graphique

Il est simple de construire la représentation graphique de $f+g$ à partir de celles de ƒ et g par le procédé ci-dessous.

On rappelle que l'ordonnée d'un point du graphe de la fonction ƒ situé à l'abscisse a vaut $f(a)$. De même, l'ordonnée d'un point du graphe de la fonction g situé à l'abscisse a vaut $g(a)$.

Pour avoir l'ordonnée du point du graphe de la fonction $f+g$ situé à l'abscisse a, qui vaut $f(a)+g(a)$, il suffit d'ajouter les ordonnées.

Différence

Définition

Définition

Soient deux fonctions ƒ et g respectivement définies sur les domaines ${\mathcal {D}}_{f}$ et ${\mathcal {D}}_{g}$.

La fonction différence de ƒ par g, notée $f-g$, est définie lorsque ƒ et g sont toutes les deux définies, c'est-à-dire sur ${\mathcal {D}}_{f}\cap {\mathcal {D}}_{g}$ par :

pour tout $x\in {\mathcal {D}}_{f}\cap {\mathcal {D}}_{g},~(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

Début de l'exemple

Exemple

Soient les deux fonctions ƒ et g définies sur $\mathbb {R}$ par

• $f:x\mapsto x^{2}-1$
• $g:x\mapsto 2x+3$

La fonction $h=f-g$ est définie par pour tout $x\in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}h(x)&=(f-g)(x)\\&=f(x)-g(x)\\&=x^{2}-1-(2x+3)\\&=x^{2}-1-2x-3\\\end{aligned}}$

Donc, pour tout $x\in \mathbb {R} ,~h(x)=x^{2}-2x-4$

Fin de l'exemple

Représentation graphique

Il est simple de construire la représentation graphique de $f-g$ à partir de celles de ƒ et g par le procédé ci-dessous.

L'ordonnée du point du graphe de la fonction $f-g$ situé à l'abscisse a vaut $f(a)-g(a)$

Pour avoir ce point, il suffit de soustraire $g(a)$ à $f(a)$.

Sens de variation

Début d’un théorème

Sens de variation de ƒ + g

Soit I un intervalle

• Si ƒ et g sont croissantes sur I, alors ƒ + g est croissante sur I
• Si ƒ et g sont décroissantes sur I, alors ƒ + g est décroissante sur I
• Si ƒ et g n'ont pas le même sens de variation, on ne peut rien déduire pour le sens de variation de ƒ + g.

Fin du théorème

Démonstration

Soit deux fonctions u et v strictement croissantes sur un intervalle I.

On veut démontrer que la fonction somme u+v est aussi strictement croissante.

Soient x1 et x2 appartenant à I tels que x1<x2 ;

Comme u et v sont strictement croissantes sur I

on a : u(x1)<u(x2) et v(x1)<v(x2)

par somme, u(x1) + v(x1) < u(x2) + v(x2)

donc (u+v)(x1) < (u+v)(x2)

donc u+v est strictement croissante sur I.