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Exercice : Fonctions génératrices en coordonnées cylindriquesOndes électromagnétiques guidées/Exercices/Fonctions génératrices en coordonnées cylindriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
E
x
,
E
y
,
B
x
,
B
y
{\displaystyle E_{x},\,E_{y},\,B_{x},\,B_{y}}
E
z
{\displaystyle E_{z}}
B
z
{\displaystyle B_{z}}
Établissez l’expression des champs électromagnétiques transverses
E
r
,
E
θ
,
B
r
,
e
t
B
θ
{\displaystyle E_{r},\,E_{\theta },\,B_{r},{\rm {~et~}}B_{\theta }}
Solution
Les deux équations de Maxwell aux rotationnels sont :
r
o
t
→
(
B
→
)
=
1
c
2
∂
E
→
∂
t
{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}})={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}
r
o
t
→
(
E
→
)
=
−
∂
B
→
∂
t
{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}
La première équation donne :
(
1
)
:
1
r
∂
B
z
∂
θ
+
j
k
B
θ
=
j
ω
c
2
E
r
{\displaystyle {\rm {(1)}}~:~{\frac {1}{r}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial \theta }}+jkB_{\theta }={\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{r}}
(
2
)
:
−
j
k
H
r
−
∂
B
z
∂
r
=
j
ω
c
2
E
θ
{\displaystyle {\rm {(2)}}~:~-jkH_{r}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}={\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{\theta }}
La deuxième équation donne :
(
3
)
:
1
r
∂
E
z
∂
θ
+
j
k
E
θ
=
−
j
ω
B
r
{\displaystyle {\rm {(3)}}~:~{\frac {1}{r}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial \theta }}+jkE_{\theta }=-j\omega B_{r}}
(
4
)
:
−
j
k
E
r
−
∂
E
z
∂
r
=
−
j
ω
B
θ
{\displaystyle {\rm {(4)}}~:~-jkE_{r}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial r}}=-j\omega B_{\theta }}
Réorganisées, ces 4 équations nous donnent deux systèmes à 2 inconnues. Regroupons (1) et (4) ainsi que (2) et (3) :
{
j
ω
c
2
E
r
−
j
k
B
θ
=
1
r
∂
B
z
∂
θ
−
j
k
E
r
+
j
ω
B
θ
=
∂
E
z
∂
r
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {{\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{r}-jkB_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial \theta }}}\\\displaystyle {-jkE_{r}+j\omega B_{\theta }={\frac {\partial E_{z}}{\partial r}}}\end{cases}}}
{
−
j
k
B
r
−
j
ω
c
2
E
θ
=
∂
B
z
∂
r
j
ω
B
r
+
j
k
E
θ
=
−
1
r
∂
E
z
∂
θ
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {-jkB_{r}-{\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{\theta }={\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}}\\\displaystyle {j\omega B_{r}+jkE_{\theta }=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial \theta }}}\end{cases}}}
Le déterminant de ces deux systèmes vaut
k
2
−
ω
2
c
2
=
−
k
⊥
2
{\displaystyle k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=-k_{\perp }^{2}}
On détermine donc les solutions suivantes :
{
E
r
=
−
1
k
⊥
2
(
j
ω
1
r
∂
B
z
∂
θ
+
j
k
∂
E
z
∂
r
)
E
θ
=
−
1
k
⊥
2
(
−
j
ω
∂
B
z
∂
r
+
j
k
1
r
∂
E
z
∂
θ
)
B
r
=
−
1
k
⊥
2
(
j
k
∂
B
z
∂
r
−
j
ω
c
2
1
r
∂
E
z
∂
θ
)
B
θ
=
−
1
k
⊥
2
(
j
ω
c
2
∂
E
z
∂
r
+
j
k
1
r
∂
B
z
∂
θ
)
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {E_{r}=-{\frac {1}{k_{\perp }^{2}}}\left(j\omega {\frac {1}{r}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial \theta }}+jk{\frac {\partial E_{z}}{\partial r}}\right)}\\\displaystyle {E_{\theta }=-{\frac {1}{k_{\perp }^{2}}}\left(-j\omega {\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}+jk{\frac {1}{r}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial \theta }}\right)}\\\displaystyle {B_{r}=-{\frac {1}{k_{\perp }^{2}}}\left(jk{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}-{\frac {j\omega }{c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial \theta }}\right)}\\\displaystyle {B_{\theta }=-{\frac {1}{k_{\perp }^{2}}}\left({\frac {j\omega }{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial r}}+jk{\frac {1}{r}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial \theta }}\right)}\\\end{cases}}}
