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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Ondes électromagnétiques : Interface entre deux diélectriques Ondes électromagnétiques/Interface entre deux diélectriques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Dans ce chapitre, on suppose vérifiées les hypothèses suivantes sur les milieux considérés :
diélectriques
linéaires, homogènes et isotropes (LHI)
sans charges ni courants
non absorbants
non magnétiques
On se placera dans la jauge de Lorenz. L'origine du repère utilisé est un point O situé à la surface de séparation entre les deux milieux considérés. Le point courant est noté M et repéré par le vecteur
O
M
→
=
r
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {OM}}}={\vec {r}}}
.
On étudie le comportement d'une onde électromagnétique :
plane
progressive, se propageant dans la direction
u
→
i
{\displaystyle {\vec {u}}_{i}}
monochromatique, de pulsation ω
polarisée rectilignement
à l'interface entre deux milieux d'indices optiques respectifs n 1 et n 2 .
On note :
k
0
=
ω
c
{\displaystyle k_{0}={\frac {\omega }{c}}}
le nombre d'onde dans le vide de cette onde
k
1
=
n
1
k
0
{\displaystyle k_{1}=n_{1}\,k_{0}}
le nombre d'onde de cette même onde dans le milieu 1
k
2
=
n
2
k
0
{\displaystyle k_{2}=n_{2}\,k_{0}}
le nombre d'onde de cette même onde dans le milieu 2
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
la normale au dioptre au lieu d'incidence
L'onde incidente a pour vecteur d'onde
k
→
i
=
k
1
u
→
i
{\displaystyle {\vec {k}}_{i}=k_{1}{\vec {u}}_{i}}
. L'angle d'incidence que
k
→
i
{\displaystyle {\vec {k}}_{i}}
forme avec la normale au dioptre est noté
i
1
{\displaystyle i_{1}}
L'expérience montre qu’il se forme alors deux ondes planes, progressives, monochromatiques de même pulsation ω :
une onde transmise, de vecteur d'onde
k
→
t
=
k
2
u
→
t
{\displaystyle {\vec {k}}_{t}=k_{2}{\vec {u}}_{t}}
. L'angle d'incidence que
k
→
t
{\displaystyle {\vec {k}}_{t}}
forme avec la normale au dioptre est noté
i
2
{\displaystyle i_{2}}
une onde réfléchie, de vecteur d'onde
k
→
r
=
k
1
u
→
r
{\displaystyle {\vec {k}}_{r}=k_{1}{\vec {u}}_{r}}
. L'angle d'incidence que
k
→
r
{\displaystyle {\vec {k}}_{r}}
forme avec la normale au dioptre est noté
i
1
′
{\displaystyle i'_{1}}
Au niveau du dioptre, les champs électrique et magnétique, incident, réfléchi et transmis s'écrivent sous la forme générale :
s
→
i
(
r
→
,
t
)
=
s
→
0
i
e
j
(
ω
t
−
k
→
i
⋅
r
→
)
{\displaystyle {\vec {s}}_{i}({\vec {r}},t)={\vec {s}}_{0i}e^{j(\omega t-{\vec {k}}_{i}\cdot {\vec {r}})}}
s
→
r
(
r
→
,
t
)
=
s
→
0
r
e
j
(
ω
t
−
k
→
r
⋅
r
→
)
e
j
φ
r
{\displaystyle {\vec {s}}_{r}({\vec {r}},t)={\vec {s}}_{0r}e^{j(\omega t-{\vec {k}}_{r}\cdot {\vec {r}})}e^{j\varphi _{r}}}
s
→
t
(
r
→
,
t
)
=
s
→
0
t
e
j
(
ω
t
−
k
→
t
⋅
r
→
)
e
j
φ
t
{\displaystyle {\vec {s}}_{t}({\vec {r}},t)={\vec {s}}_{0t}e^{j(\omega t-{\vec {k}}_{t}\cdot {\vec {r}})}e^{j\varphi _{t}}}
φ
t
{\displaystyle \varphi _{t}}
et
φ
r
{\displaystyle \varphi _{r}}
ne dépendent pas de
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
Le déphasage entre l'onde transmise et l'onde incidente vaut
(
k
→
i
−
k
→
t
)
⋅
r
→
+
φ
t
{\displaystyle ({\vec {k}}_{i}-{\vec {k}}_{t})\cdot {\vec {r}}+\varphi _{t}}
. Les milieux étant supposés homogènes, il est alors nécessaire que cette valeur soit indépendante de
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
.
De même, le déphasage entre l'onde réfléchie et l'onde incidente vaut
(
k
→
i
−
k
→
r
)
⋅
r
→
+
φ
r
{\displaystyle ({\vec {k}}_{i}-{\vec {k}}_{r})\cdot {\vec {r}}+\varphi _{r}}
, qui doit être indépendant de
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
.
On aboutit alors au système suivant :
{
∀
r
→
,
(
k
→
i
−
k
→
t
)
⋅
r
→
=
0
∀
r
→
,
(
k
→
i
−
k
→
r
)
⋅
r
→
=
0
⇒
{
∀
r
→
,
(
n
1
u
→
i
−
n
2
u
→
t
)
⋅
r
→
=
0
∀
r
→
,
(
u
→
i
−
u
→
r
)
⋅
r
→
=
0
⇒
{
(
n
1
u
→
i
−
n
2
u
→
t
)
/
/
n
→
(
u
→
i
−
u
→
r
)
/
/
n
→
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{cases}\forall {\vec {r}},~({\vec {k}}_{i}-{\vec {k}}_{t})\cdot {\vec {r}}=0\\\forall {\vec {r}},~({\vec {k}}_{i}-{\vec {k}}_{r})\cdot {\vec {r}}=0\\\end{cases}}&\Rightarrow {\begin{cases}\forall {\vec {r}},~(n_{1}{\vec {u}}_{i}-n_{2}{\vec {u}}_{t})\cdot {\vec {r}}=0\\\forall {\vec {r}},~({\vec {u}}_{i}-{\vec {u}}_{r})\cdot {\vec {r}}=0\\\end{cases}}\\&\Rightarrow {\begin{cases}(n_{1}{\vec {u}}_{i}-n_{2}{\vec {u}}_{t})~//~{\vec {n}}\\({\vec {u}}_{i}-{\vec {u}}_{r})~//~{\vec {n}}\\\end{cases}}\\\end{aligned}}}
Début d’un théorème
Lois de Snell-Descartes
1° loi de Descartes :
n
→
,
u
→
i
,
u
→
r
,
u
→
t
{\displaystyle {\vec {n}},~{\vec {u}}_{i},~{\vec {u}}_{r},~{\vec {u}}_{t}}
sont dans un même plan
2° loi de Descartes de la réfraction :
n
1
sin
(
i
1
)
=
n
2
sin
(
i
2
)
{\displaystyle n_{1}\sin(i_{1})=n_{2}\sin(i_{2})}
2° loi de Descartes de la réflexion :
i
1
=
−
i
1
′
{\displaystyle i_{1}=-i'_{1}}
Fin du théorème
Dans cette section, on se place dans le cas simplifié où l'onde incidente est normale au dioptre. On a alors :
{
i
1
=
0
i
1
′
=
0
i
2
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}i_{1}=0\\i'_{1}=0\\i_{2}=0\end{cases}}}
On se place dans la base
(
u
→
x
,
u
→
y
,
u
→
z
)
{\displaystyle ({\vec {u}}_{x},{\vec {u}}_{y},{\vec {u}}_{z})}
telle que :
l'onde incidente soit polarisée rectilignement suivant
u
→
x
{\displaystyle {\vec {u}}_{x}}
le vecteur d'onde de l'onde incidente ait même sens et ^même direction que
u
→
z
{\displaystyle {\vec {u}}_{z}}
L'onde incidente a
pour vecteur d'onde
k
→
i
=
n
1
k
0
u
→
z
{\displaystyle {\vec {k}}_{i}=n_{1}k_{0}{\vec {u}}_{z}}
pour champ électrique
E
→
i
=
E
0
i
e
j
(
ω
t
−
n
1
k
0
z
)
u
→
x
{\displaystyle {\vec {E}}_{i}=E_{0i}e^{j(\omega t-n_{1}k_{0}z)}{\vec {u}}_{x}}
pour champ magnétique
B
→
i
=
B
0
i
e
j
(
ω
t
−
n
1
k
0
z
)
u
→
y
{\displaystyle {\vec {B}}_{i}=B_{0i}e^{j(\omega t-n_{1}k_{0}z)}{\vec {u}}_{y}}
, où
B
0
i
=
n
1
E
0
i
c
{\displaystyle B_{0i}=n_{1}{\frac {E_{0i}}{c}}}
L'onde réfléchie a
pour vecteur d'onde
k
→
r
=
−
n
1
k
0
u
→
z
{\displaystyle {\vec {k}}_{r}=-n_{1}k_{0}{\vec {u}}_{z}}
pour champ électrique
E
→
r
=
E
→
0
r
e
j
(
ω
t
+
n
1
k
0
z
)
e
j
φ
r
{\displaystyle {\vec {E}}_{r}={\vec {E}}_{0r}e^{j(\omega t+n_{1}k_{0}z)}e^{j\varphi _{r}}}
pour champ magnétique
B
→
r
=
B
→
0
r
e
j
(
ω
t
+
n
1
k
0
z
)
e
j
φ
r
{\displaystyle {\vec {B}}_{r}={\vec {B}}_{0r}e^{j(\omega t+n_{1}k_{0}z)}e^{j\varphi _{r}}}
avec
B
→
0
r
=
−
n
1
c
u
→
z
∧
E
→
0
r
{\displaystyle {\vec {B}}_{0r}=-{\frac {n_{1}}{c}}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{0r}}
L'onde transmise a
pour vecteur d'onde
k
→
t
=
n
2
k
0
u
→
z
{\displaystyle {\vec {k}}_{t}=n_{2}k_{0}{\vec {u}}_{z}}
pour champ électrique
E
→
t
=
E
→
0
t
e
j
(
ω
t
−
n
2
k
0
z
)
e
j
φ
t
{\displaystyle {\vec {E}}_{t}={\vec {E}}_{0t}e^{j(\omega t-n_{2}k_{0}z)}e^{j\varphi _{t}}}
pour champ magnétique
B
→
t
=
B
→
0
t
e
j
(
ω
t
−
n
2
k
0
z
)
e
j
φ
t
{\displaystyle {\vec {B}}_{t}={\vec {B}}_{0t}e^{j(\omega t-n_{2}k_{0}z)}e^{j\varphi _{t}}}
avec
B
→
0
t
=
n
2
c
u
→
z
∧
E
→
0
t
{\displaystyle {\vec {B}}_{0t}={\frac {n_{2}}{c}}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{0t}}
Dans l'hypothèse de deux milieux sans charges ni courants, ni volumiques ni surfaciques :
les équations de passage du champ électrique donnent
E
0
i
u
→
x
+
E
→
0
r
e
j
φ
r
=
E
→
0
t
e
j
φ
t
{\displaystyle E_{0i}{\vec {u}}_{x}+{\vec {E}}_{0r}e^{j\varphi _{r}}={\vec {E}}_{0t}e^{j\varphi _{t}}}
les équations de passage du champ magnétique donnent
n
1
E
0
i
u
→
y
−
n
1
u
→
z
∧
E
→
0
r
e
j
φ
r
=
n
2
u
→
z
∧
E
→
0
t
e
j
φ
t
{\displaystyle n_{1}E_{0i}{\vec {u}}_{y}-n_{1}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{0r}e^{j\varphi _{r}}=n_{2}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{0t}e^{j\varphi _{t}}}
En remplaçant
E
→
t
{\displaystyle {\vec {E}}_{t}}
par sa valeur dans la deuxième équation, celle-ci devient :
−
(
n
2
+
n
1
)
u
→
z
∧
E
→
0
r
e
j
φ
r
=
(
n
2
−
n
1
)
E
0
i
u
→
y
{\displaystyle -(n_{2}+n_{1}){\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{0r}e^{j\varphi _{r}}=(n_{2}-n_{1})E_{0i}{\vec {u}}_{y}}
On fait alors le produit vectoriel par
u
→
z
{\displaystyle {\vec {u}}_{z}}
:
E
→
0
r
e
j
φ
r
=
n
1
−
n
2
n
1
+
n
2
E
0
i
u
→
x
{\displaystyle {\vec {E}}_{0r}e^{j\varphi _{r}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}E_{0i}{\vec {u}}_{x}}
L'équation de passage du champ électrique permet alors d'exprimer le champ transmis :
E
→
0
t
e
j
φ
t
=
2
n
1
n
1
+
n
2
E
0
i
u
→
x
{\displaystyle {\vec {E}}_{0t}e^{j\varphi _{t}}={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}E_{0i}{\vec {u}}_{x}}
Coefficients de réflexion et transmission du champ électrique
r
_
=
E
_
0
r
E
0
i
=
E
0
r
e
j
φ
r
E
0
i
=
ρ
e
j
φ
r
{\displaystyle {\underline {r}}={\frac {{\underline {E}}_{0r}}{E_{0i}}}={\frac {E_{0r}e^{j\varphi _{r}}}{E_{0i}}}=\rho e^{j\varphi _{r}}}
t
_
=
E
_
0
t
E
0
i
=
E
0
t
e
j
φ
t
E
0
i
=
τ
e
j
φ
t
{\displaystyle {\underline {t}}={\frac {{\underline {E}}_{0t}}{E_{0i}}}={\frac {E_{0t}e^{j\varphi _{t}}}{E_{0i}}}=\tau e^{j\varphi _{t}}}
Début d’un théorème
Fin du théorème
Les vecteurs de Poynting des ondes considérées sont :
Pour l'onde incidente,
Π
→
i
=
E
→
i
∧
B
→
i
μ
=
n
1
E
0
i
2
μ
c
e
2
j
ω
t
u
→
z
{\displaystyle {\vec {\Pi }}_{i}={\frac {{\vec {E}}_{i}\wedge {\vec {B}}_{i}}{\mu }}={\frac {n_{1}E_{0i}^{2}}{\mu c}}e^{2j\omega t}{\vec {u}}_{z}}
Pour l'onde réfléchie,
Π
→
r
=
E
→
r
∧
B
→
r
μ
=
−
n
1
E
0
r
2
μ
c
e
2
j
ω
t
e
2
j
φ
r
u
→
z
{\displaystyle {\vec {\Pi }}_{r}={\frac {{\vec {E}}_{r}\wedge {\vec {B}}_{r}}{\mu }}=-{\frac {n_{1}E_{0r}^{2}}{\mu c}}e^{2j\omega t}e^{2j\varphi _{r}}{\vec {u}}_{z}}
Pour l'onde transmise,
Π
→
t
=
E
→
t
∧
B
→
t
μ
=
n
2
E
0
t
2
μ
c
e
2
j
ω
t
e
2
j
φ
t
u
→
z
{\displaystyle {\vec {\Pi }}_{t}={\frac {{\vec {E}}_{t}\wedge {\vec {B}}_{t}}{\mu }}={\frac {n_{2}E_{0t}^{2}}{\mu c}}e^{2j\omega t}e^{2j\varphi _{t}}{\vec {u}}_{z}}
Pouvoirs réflecteur et transmetteur
On définit respectivement les pouvoirs réflecteur et transmetteur de l'interface comme la proportion d'énergie réfléchie/transmise par l'interface.
R
=
P
r
P
i
{\displaystyle R={\frac {{\mathcal {P}}_{r}}{{\mathcal {P}}_{i}}}}
T
=
P
t
P
i
{\displaystyle T={\frac {{\mathcal {P}}_{t}}{{\mathcal {P}}_{i}}}}
La puissance surfacique étant reliée directement à la norme du vecteur de Poynting, on aboutit rapidement aux expressions suivantes.
Début d’un théorème
Coefficients de puissance en fonction des coefficients d'amplitude
R
=
r
2
=
(
n
1
−
n
2
n
1
+
n
2
)
2
{\displaystyle R=r^{2}=\left({\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}}
T
=
n
2
n
1
t
2
=
4
n
1
n
2
(
n
1
+
n
2
)
2
{\displaystyle T={\frac {n_{2}}{n_{1}}}t^{2}={\frac {4n_{1}n_{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}}
Fin du théorème
Dans l'hypothèse faite où il n'y a aucune perte, on retrouve tout à fait logiquement la relation
R
+
T
=
1
{\displaystyle R+T=1}
Les expressions des coefficients obtenus dans ce chapitre ne sont valables qu'en incidence normale .
Lorsque l'incidence varie, les résultats changent considérablement.
→ Pour plus d'information sur ce sujet, consulter le chapitre sur la polarisation par réflexion dans le cours sur la Polarisation de la lumière .