Leçons de niveau 16

Notions de thermodynamique des processus irréversibles/Exercices/Processus purs

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Exercices sur les Processus purs
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Exercices no1
Leçon : Notions de thermodynamique des processus irréversibles
Chapitre du cours : Processus purs

Exercices de niveau 16.

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Notions de thermodynamique des processus irréversibles/Exercices/Processus purs
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Exercice 1

Sujet d'examen - Université Pierre et Marie Curie - Licence E.E.A. - Session de juin 1987
Le sujet comporte deux parties indépendantes. Documents non autorisés.

Texte du sujet proposé

Partie I - Question de cours [ ... ]


Partie II - Problème : Étude d'un modèle de formation de la glace à la surface d'un lac (durée conseillée 1 H 30)

On considère un lac d'eau liquide dont la température est supposée constante et égale à la température de congélation Tc = 273 K. On suppose que brusquement l'air au -dessus du lac est à la température Ta = 263 K. À cet instant pris comme instant initial le lac est libre de glace. Puis il se couvre progressivement de glace. La température de l'air Ta est supposée rester maintenant constante. Soit l'épaisseur de glace à l'instant t. On ne prendra pas en considération dans le modèle étudié les variations de volume dues à la formation de la glace.

On choisit un axe x'0x perpendiculaire aux interfaces glace-air et eau liquide – glace ( voir Fig ) . L'origine 0 est à l'interface glace-air où la température de la glace à l'instant t est notée To(t). La température de la glace en un point d'abscisse x, à l'instant t, est notée Tx(t).

fig.

atmosphère à la température Ta
x'

|

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - - - - - - - - - - To(t)

|
|

.........................................Tx(t)

|
|

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Tc = T(t)

|
x

eau liquide

On note ρ la masse volumique de la glace, Cv sa capacité calorifique à volume constant, λ sa conductivité thermique et L sa chaleur latente de fusion.

On prendra pour les applications numériques :

ρ = 9 102 Kg m-3   ;   λ = 5 10-4 kcal m-1 s-1 K-1   ;   L = 80 kcal Kg-1

1) Soit le vecteur densité de flux thermique dans la glace à l'instant t. Rappeler l'hypothèse de Fourier. Établir l'équation de diffusion de la chaleur dans la glace.

Dans tout ce qui suit la capacité calorifique de la glace sera supposée nulle. Que devient alors dans ces conditions l'équation de diffusion dans la glace ? Quelles différences et quelles analogies faites vous avec « le problème du mur » ? Déterminer alors la distribution de température Tx(t) en fonction de To(t) , , Tc et x .

2) Calculer le flux Φ de à travers une surface Σ de glace en fonction de Σ , λ , , Tc et To(t). On orientera la normale à la surface dans le sens Ox' .

3) On supposera que le flux de chaleur transmis dans l'atmosphère par la surface Σ de glace peut s'écrire :

A Σ ( To(t) – Ta )   où   A = 10-2 kcal m-2 s-1 K-1

Faire le bilan des échanges de chaleur au niveau de l'interface glace-air .

Donner l'expression de Tc – To(t) en fonction de Tc + Ta , A , λ et . En déduire l'expression de Φ en fonction de Tc + Ta , Σ , , λ et A ( équation (1) ).

4) Pendant le temps dt , l'épaisseur de glace s'accroit de d au niveau de l'interface eau liquide – glace.

Faire le bilan des échanges de chaleur au niveau de cet interface. En déduire l'expression de Φ en fonction de L , ρ , d/dt et Σ . ( équation (2) )

5) À l'aide des équations (1) et (2), déterminer l'équation différentielle vérifiée par .

Montrer que   ( équation (3) )

avec  

Vérifier l'homogénéité de (3). Calculer numériquement et . Tracer la courbe en prenant des unités appropriées. Déterminer l'accroissement de l'épaisseur par unité de temps d/dt en fonction de , et t et le calculer à l'instant initial.

6) Déterminer To(t) en fonction de Ta , Tc , et t.

Montrer que l'équilibre thermique ne peut être atteint qu'au bout d'un temps infini. Que valent alors et d/dt ?