Leçons de niveau 16

Moment cinétique en mécanique quantique/Le spin ½

Une page de Wikiversité.
Aller à : navigation, rechercher
Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Moment cinétique en mécanique quantique : Le spin ½
Moment cinétique en mécanique quantique/Le spin ½
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

On étudie ici un opérateur moment cinétique vérifiant , que l’on notera plutôt . Cette étude est particulièrement intéressante car elle constitue un exemple de système à deux états, et car elle est importante dans la compréhension des propriétés de l'électron, particule fondamentale en physique et en chimie.

Notations[modifier | modifier le wikicode]

peut prendre les deux valeurs , il s'agit donc d'une situation où l'espace des états (ici l'espace des états de spin) est de dimension 2, on parle de système à deux états.

On note le ket propre de associé à la valeur propre et le ket propre de associé à la valeur propre  :



Dans un tel espace, les opérateurs peuvent être représentés sous forme de matrices 2x2, et en particulier les matrices hermitiques (qui vérifient , et qui représentent donc les opérateurs hermitiens ou observables) peuvent se décomposer selon :

Avec :



Ces matrices sont appelées matrices de Pauli.

On a alors simplement

Action des opérateurs et , spin dans une direction quelconque[modifier | modifier le wikicode]

D'après le chapitre précédent, on a les relations :

On en déduit l'action des opérateurs et sur les kets , par exemple :

Tous calculs faits, on obtient les matrices :

La diagonalisation des matrices de Pauli permet de déterminer les valeurs propres de et de , c'est-à-dire les valeurs de la composantes du spin dans ces directions que l’on peut mesurer. Le calcul est simple, il donne :

Pour avoir les valeurs mesurables de la composante du spin dans une direction quelconque , il faut considérer l'opérateur (en coordonnées sphériques ).

Sous forme matricielle (dans la base des kets ), cet opérateur s'écrit simplement

La diagonalisation de cette matrice donne :

Applications[modifier | modifier le wikicode]

Effet Zeeman[modifier | modifier le wikicode]

On applique un champ magnétique uniforme et constant . Le spin correspond à un moment magnétique est le rapport gyromagnétique. ( est le facteur de Landé, pour l'électron)

L'électron est donc soumis à une énergie . Cet hamiltonnien a pour éléments propres ceux de , au facteur près :

Les deux niveaux d'énergie s'écartent linéairement en fonction de , c’est l'effet Zeeman.

Résonance magnétique[modifier | modifier le wikicode]

On ajoute au champ uniforme et constant un champ tournant . Le hamiltonnien du système s'écrit alors :

Cet hamiltonnien dépend explicitement du temps, il est donc inutile de chercher les états stationnaires sous forme de vecteurs propres de cette matrice, il faut revenir à l'équation de Schrödinger générale :

avec

On effectue le changement de variable (correspondant au passage du repère initial au repère tournant suivant ) :

avec :

On obtient alors l'équation de Schrödinger, écrite dans le repère tournant :

avec

Ici ne dépend pas du temps, il suffit donc de diagonaliser cette matrice pour trouver les états propres , et ainsi résoudre cette équation différentielle.

On remarque que avec et tel que

On en déduit directement (avec les résultats du paragraphe précédent, et avec la méthode générale de résolution de l'équation de Schrödinger à partir des états stationnaires) :

(Avec la condition initiale ).

La probabilité d'obtenir une transition de l'état à l'instant initial vers l'état à l'instant t est donc :

Cette formule s’appelle la formule de Rabi, et exprime le fait que la probabilité de transition de la composante suivant 0z du spin oscille entre 0 et .

présente un pic en , c’est la résonance magnétique.